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2026-04-29T09:55:26Z

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Die '''Poissonzahl''' (nach [[Siméon Denis Poisson]], [[Formelzeichen]] ''<math>\mu</math>'' oder ''<math>\nu</math>'') ist ein [[Materialkennwert]] in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] bzw. [[Festigkeitslehre]]. Sie wird überdies '''Querkontraktionszahl''' oder selten auch ''Querdehnungszahl'' bzw. ''Querdehnzahl'' genannt und ist eine [[dimensionslose Größe]]. Den internationalen und nationalen Normen entsprechen die Bezeichnung ''Poissonzahl'' und das Formelzeichen ''<math>\mu</math>''.<ref name="ISO 527">DIN EN ISO 527-1:2019-12: ''Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften – Teil 1: Allgemeine Grundsätze''.</ref><ref>DIN EN ISO 80’000-4:2020-01: ''Größen und Einheiten – Teil 4: Mechanik.''</ref><ref>DIN 13’316:1980-09: ''Mechanik ideal elastischer Körper; Begriffe, Größen, Formelzeichen.''; inkl. Berichtigung 1:2018-11.</ref><ref>DIN 1304-1:1994-03: ''Formelzeichen – Teil 1: Allgemeine Formelzeichen''.</ref><ref>ASTM E 132:2017: ''Standard Test Method for Poisson’s Ratio at Room Temperature.''</ref> Die Verwendung von ''<math>\nu</math>'' erleichtert jedoch die Unterscheidung von der mit ''<math>\mu</math>'' bezeichneten zweiten [[Lamé-Konstanten]].

Die Poissonzahl beschreibt das [[Querkontraktion]]sverhalten der Werkstoffe und dient der Berechnung des Verformungsverhaltens der Bauteile unter mechanischer [[Beanspruchung (Technische Mechanik)|Beanspruchung]]. Sie ist auch ein Maß für die [[Kompressibilität]] der Werkstoffe. In der [[Elastizitätstheorie]] ist sie eine der [[Elastische Konstante|elastischen Konstanten]] eines [[Werkstoff|Materials]]. Bei realen Werkstoffen, insbesondere bei [[Kunststoff|Polymerwerkstoffen]], ist die Poissonzahl keine [[Physikalische Konstante|Konstante]], sondern von [[Chemie|chemischen]] und [[Physik|physikalischen]] Strukturparametern sowie äußeren Einflüssen wie [[Temperatur]] und Höhe, Dauer und Geschwindigkeit der Beanspruchung abhängig.<ref>Gerhard Schenkel: ''Verfahren zum Bestimmen der Poissonzahl insbesondere bei Kunststoffen.'' In: ''Kunststoffe'' 63(1973)1, S. 49–53.</ref><ref>Uwe Frank: ''Die Querkontraktionszahl von Kunststoffen, dargestellt am Beispiel amorpher Thermoplaste.'' Diss. Universität Stuttgart 1984.</ref><ref name="Pósfalvi">Ödön Pósfalvi: ''Über das Elastizitätsgesetz und die Poissonsche Zahl von gummielastischen Werkstoffen''. In: ''Ö.''
''Periodica Polytechnica''. ''Transportation Engineering''; Budapest, Bd. 10, Ausg. 1 (1982) S. 61–66. [https://pp.bme.hu/tr/article/view/6862/5967 Link zum Artikel] </ref><ref name="Dassow">Jörg Dassow: ''Messung und Beschreibung der Querkontraktionszahl von teilkristallinen Thermoplasten als nichtlinear viskoelastischer Materialkennwert.'' Diss. RWTH Aachen 1996.</ref> Sie kann auch richtungsabhängig sein, so bei faserigen [[Natur]]stoffen wie [[Holz]] oder bei [[Faserverbundwerkstoff|Faser-]] und [[Sandwichbauweise|Schicht-Verbundwerkstoffen]].<ref name="Vinson">Jack R. Vinson und Tsu-Wei Chou: ''Composite Materials and their Use in Structures''. Applied Science Publishers, London 1975.</ref>

== Definition ==
[[Datei:Querkontraktion am einachsig gezogenen Stab.png|mini|hochkant=1.1|Querkontraktion am einachsig gezogenen Stab]]
Die Poissonzahl ist definiert als negatives Verhältnis zwischen der [[Dehnung]] <math>\varepsilon_{y}</math> senkrecht zur Richtung <math>x</math> der einachsigen [[Mechanische Spannung|Spannung]] <math>\sigma_{x}</math> und der Dehnung <math>\varepsilon_{x}</math> in Spannungsrichtung, in allgemeiner Form ausgedrückt:

: <math>\nu_{xy} = -\frac {\varepsilon_{y}} {\varepsilon_{x}}</math>.
Der erste Index bezeichnet die Richtung der Belastung, der zweite die Richtung der Kontraktion.<ref name="Vinson"></ref> Es existiert auch die umgekehrte Index-Konvention.<ref>VDI-Richtlinie 2014-1:1989-07: ''Entwicklung von Bauteilen aus Faser-Kunststoff-Verbund – Teil 1: Grundlagen''.</ref>

Bei konstanter Spannung im Querschnitt und homogenen [[Isotropie|isotropen]] Materialeigenschaften ist die Poissonzahl anhand der Länge <math>l</math> und der Querschnittsabmessung <math>d</math> des unverformten Zugstabes sowie deren Änderungen unter Last bestimmbar:<ref name="ISO 527"></ref>

: <math>\nu = -\frac {\Delta d/d} {\Delta l/l}</math>.

Die Änderungen <math>\Delta l</math> und <math>\Delta d</math> sowie die zugehörigen Dehnungen werden bei einer Zunahme der Abmessungen mit positivem Vorzeichen eingesetzt, bei einer Abnahme mit negativem Vorzeichen.

Gelegentlich findet auch der Kehrwert <math>m = 1/\nu</math> der Poissonzahl unter verschiedenen Bezeichnungen Anwendung, so etwa als ''Querdehnzahl'' oder als ''Poisson’sche Konstante'', z. B. in der [[Geotechnik]] und der [[Felsmechanik]].<ref>Christian Spang: ''Einführung in die Felsmechanik''. Seminar Regensburg 2014. [https://www.dr-spang.de/seminar_download/2014/P1410_Praesentation.pdf]</ref>

== Wertebereich ==
Der Wertebereich der Poissonzahl ist physikalisch begrenzt durch fehlende Querkontraktion einerseits, wenn also die Querschnittsabmessungen trotz Längsverformung unverändert bleiben, und Inkompressibilität anderseits. Unter zugdominanter Beanspruchung nimmt das Volumen in der Regel zu, bei Druckdominanz ab. Eine Ausnahme bilden [[Auxetik|auxetische]] Werkstoffe<ref>Klaas Kölln: ''Morphologie und mechanische Eigenschaften von Zellulosefasern''. [http://e-diss.uni-kiel.de/diss_1173/d1173.pdf Dissertation Uni Kiel] (PDF; 2,0 MB) S. 22.</ref>, die sich umgekehrt verhalten und eine negative Querkontraktionszahl aufweisen.

=== Isotropes Verhalten ===
Die Grenzen der Poissonzahl können aus der [[Volumendehnung]] <math>\varepsilon_{V}</math> bestimmt werden. Für isotropes, linear-elastisches Verhalten und hinreichend kleine Verformungen ist die Volumendehnung bestimmt durch:<ref>[[Wolfgang Demtröder]]: ''Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme'', 5. Aufl., 2008, S. 173.</ref><ref>[[Dieter Meschede]]: ''Gerthsen Physik'', 2010, 24. Aufl., S. 140.</ref>

: <math>\varepsilon_{V} = \frac {\Delta V}V = \varepsilon_{x} \cdot (1-2\nu)</math>.

Daraus ergibt sich der Wertebereich <math>0 \le \nu\le0{,}5</math>. An der unteren Grenze liegen z. B. gewisse [[Schaumstoff]]e, die kaum eine Querkontraktion aufweisen. Im einachsigen [[Zugversuch]] würde ein Material mit <math>\nu = 0</math> sein Volumen maximal ändern, ein Material mit <math>\nu = 1/2</math> überhaupt nicht.

An der oberen Grenze befinden sich [[Gummi]]werkstoffe und [[Elastomere]], sowie Werkstoffe, die sich [[Plastizität (Physik)|plastisch]] verhalten und mit <math>\nu=0{,}5</math> praktisch inkompressibel sind ([[Gesetz der Volumenkonstanz|Volumenkonstanz]]). Bei solchen Materialien ergeben sich in den Cauchy’schen Konstitutivgleichungen Polstellen. Für die Berechnung von nahezu oder voll inkompressiblen Materialien (z. B. Gummimaterialien, entropieelastischen Materialien, hyperelastischen Materialien) sollten Green’sche Materialmodelle verwendet werden.<ref>[[Ray W. Ogden|Raymond W. Ogden]]: ''Non-Linear Elastic Deformations''. Dover Publications, Mineola NY 1984.</ref>

=== Orthotropes Verhalten ===
Poissonzahlen <math>\nu>0{,}5</math> können bei [[Anisotropie|anisotropem]] Verhalten auftreten, wobei dann die Poissonzahlen bei vertauschten Belastungs- und Kontraktionsrichtungen entsprechend kleiner sind. Bei linear-elastisch [[Orthotropie|orthotropem]] Verhalten treten sechs unterschiedliche Poissonzahlen auf. Je zwei davon sind einander im Verhältnis der [[Elastizitätsmodul]]n in den entsprechenden Richtungen zugeordnet. Bei Verwendung der oben verwendeten Index-Konvention gilt die Beziehung<ref name="Vinson"></ref>

: <math> \frac {\nu_{xy}}{\nu_{yx}} = \frac {E_{x}}{E_{y}}</math>; <math> \frac {\nu_{yz}}{\nu_{zy}} = \frac {E_{y}}{E_{z}}</math>; <math> \frac {\nu_{zx}}{\nu_{xz}} = \frac {E_{z}}{E_{x}} </math>.

Dies kann bei diversen porösen Materialien, bei Faserverbundwerkstoffen oder Holz beobachtet werden.

Die physikalischen Querkontraktionsgrenzen ergeben die Bedingungen
: <math>0\le\nu_{xy} + \nu_{xz} \le 1{,}0</math>; <math>0\le\nu_{yz} + \nu_{yx} \le 1{,}0</math>; <math>0\le\nu_{zx} + \nu_{zy} \le 1{,}0</math>,

aus denen für die einzelnen Poissonzahlen je der Wertebereich <math>0\le \nu_{ij} \le1{,}0</math> hervorgeht. Für das arithmetische Mittel aller Poissonzahlen gilt <math>0\le \overline{\nu} \le0{,}5</math>.

Die Poissonzahl <math>\nu_{xy}</math> eines einachsig in x-Richtung [[Faserverbundkunststoff|faserverstärkten Kunststoffs]], z. B. eines [[Unidirektionale Schicht|UD-Tapes]] oder einer Einzelschicht nach der [[Klassische Laminattheorie|Klassischen Laminattheorie]], setzt sich zusammen aus den Poissonzahlen <math>\nu_F</math> des Fasermaterials und <math>\nu_M</math> der Kunststoffmatrix, die mit den zugehörigen Flächenanteilen <math> {A_F}/{A} = \varphi</math> der Fasern bzw. <math>{A_M}/{A} = ({A}-{A_F})/{A} = 1-\varphi</math> gewichtet sind, gemäß<ref>Helmut Schürmann: ''Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden''. Springer Verlag Berlin 2005.</ref>

: <math>\nu_{xy} = \varphi \cdot \nu_F + (1 - \varphi) \cdot \nu_M </math>.

Die Poissonzahl quer zu den Fasern ist mit der oben angegebenen Beziehung durch <math>\nu_{yx} = \nu_{xy} \cdot E_{y}/ E_{x}</math> bestimmt.

=== Auxetisches Verhalten ===
Materialien mit negativer Poissonzahl sind selten. Ihnen eigentümlich ist die Zunahme der Querschnittsabmessungen unter einachsiger Längsbeanspruchung. Sie verhalten sich in der Regel anisotrop. Beispiele für solche [[Auxetik|auxetischen]] Materialien sind gewisse [[Schaumstoff|Polymerschäume]], [[Kristall]]e oder [[Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff|Carbonfasern]]. Bei Berücksichtigung dieser auxetischen Materialien, jedoch nur bei Annahme der Isotropie, erweitert sich der Wertebereich der Poissonzahl auf <math>-1<\nu \le 0{,}5</math>.

== Poissonzahl als elastische Konstante ==
Die Poissonzahl <math>\nu</math> ist als Verhältnis zweier Dehnungen die einzige dimensionslose elastische Konstante der linearen Elastizitätstheorie. Alle übrigen beschreiben die [[Steifigkeit|Werkstoffsteifigkeit]] und vermitteln als Modul oder als [[Lamé-Konstante]]n eine Beziehung zwischen den [[Mechanische Spannung|Spannungen]] und den zugehörigen [[Verformung]]en. Da zwei dieser Konstanten das linear-elastische Verhalten eines isotropen, homogenen Festkörpers vollständig beschreiben, kann die Poissonzahl, wie die anderen Konstanten auch, durch [[Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten|Umrechnung]] anhand zweier beliebiger anderer Konstanten bestimmt werden. In der Praxis von Bedeutung ist der Zusammenhang der Poissonzahl <math>\nu</math> mit dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math>, dem [[Schubmodul]] <math>G</math> und dem [[Kompressionsmodul]] <math>K</math>:
: <math>\nu = \frac E{2G} -1 = \frac {3K-E} {6K} = \frac {3K-2G} {6K+2G}</math>.
Mit den beiden [[Lamé-Konstanten]] <math>\lambda</math> und <math>\mu \equiv G</math>, die in der linearen Elastizitätstheorie den Zusammenhang zwischen dem [[Spannungstensor|Spannung]]s- und dem [[Verzerrungstensor]] beschreiben, ist die Poissonzahl verbunden durch:
: <math>\nu = \frac{\lambda}{2 \cdot (\lambda + \mu)}</math>.

{| class="wikitable sortable float-right"
|+ Poissonzahl <math>\nu</math> für einige Materialien
|- style="background:#CCCCCC"
! Material !! Poissonzahl <math>\nu</math>
|-
| [[Kork]] || 0,00 (etwa)
|-
| [[Beryllium]] || 0,032
|-
| [[Bor]] || 0,21
|-
| [[Schaumstoff]] || 0,10…0,40
|-
| [[Siliciumcarbid]] || 0,17
|-
| [[Beton]] || 0,20
|-
| [[Sand]] || 0,20…0,45
|-
| [[Eisen]] || 0,21…0,259
|-
| [[Glas]] || 0,18…0,3
|-
|[[Silicium]] ([[Polykristall|polykristallin]]) || 0,22<ref name="Hopcroft">{{Literatur | Autor=Matthew A. Hopcroft, William D. Nix, Thomas W. Kenny | Titel=What is the Young’s Modulus of Silicon? | Sammelwerk=Journal of Microelectromechanical Systems | Band=19 | Nummer=2 | Datum=2010 | Seiten=229–238 | DOI=10.1109/JMEMS.2009.2039697}}</ref>
|-
| [[Siliciumnitrid|Si3N4]] || 0,25
|-
| [[Stahl]] || 0,27…0,30
|-
| [[Lehm]] || 0,30…0,45
|-
| [[Kupfer]] || 0,35<ref name="Dubbel">Karl-Heinrich Grote, [[Jörg Feldhusen]]: ''Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau''. 23. Aufl. 2011, S. E125.</ref>
|-
| [[Aluminium]] || 0,35<ref>{{Literatur |Autor=Friedrich Ostermann |Hrsg= |Titel=Anwendungstechnologie Aluminium |Auflage=3.|Verlag=Springer Vieweg |Ort= Berlin/Heidelberg|Datum=2014 |ISBN= 978-3-662-43807-7|Seiten=212 |Online={{Google Buch|BuchID=h-5ICAAAQBAJ|Seite=212|Hervorhebung=}} |Abruf=2019-01-20 |DOI=10.1007/978-3-662-43807-7}}</ref>
|-
| [[Titan (Element)|Titan]] || 0,33<ref name="Dubbel" />
|-
| [[Magnesium]] || 0,35
|-
| [[Nickel]] || 0,31<ref name="Dubbel" />
|-
| [[Messing]] || 0,37
|-
| [[Polymethylmethacrylat|PMMA (Plexiglas)]] || 0,40…0,43
|-
| [[Blei]] || 0,44
|-
| [[Gummi]] || 0,50<ref name="Pósfalvi" />
|-
| [[Faserverbundkunststoff]] (abhängig von der Faserorientierung) || 0,05…0,55
|-
| [[Holz]] („[[Orthotropie|orthotropes]]“ Material) (abhängig von der Faserorientierung) || 0,035…0,67
|}

== Zahlenwerte ==
Die in der Literatur angegebenen Poissonzahlen einzelner Werkstoffe können z. T. stark differieren. Für metallische Werkstoffe, vor allem für [[Stahl]], wird häufig ein Wert von <math>\nu = 0{,}3</math> oder <math>\nu = 1/3</math> angenommen und für [[thermoplast]]ische [[Kunststoff]]e 0,35, falls keine genaueren Werte bekannt sind. Die Poissonzahl von Thermoplasten nimmt mit der Belastungsdauer <math>t</math>, der Temperatur <math>\vartheta</math>, der Dehnung <math>\varepsilon</math> und der Werkstoffsteifigkeit leicht zu. Diese Abhängigkeiten lassen sich mit der Beziehung
:<math>\nu(t,\vartheta) \approx 0,5 - \frac{1}{18}\cdot \frac{E}{E^*}\cdot \frac{E_C(t,\vartheta)}{E_C(t,\vartheta_0)}</math>
näherungsweise erfassen.<ref>Johannes Kunz: ''Betrachtungen zur Poissonzahl.'' In: ''KunststoffXtra''1-2(2023), S. 28–31.</ref> Darin sind <math>E</math> der Kurzzeit-Elastizitätsmodul in <math>N/mm^2</math>, <math>E^* = 1000\,N/mm^2</math> ein Bezugsmodul und <math>E_C(t,\vartheta)</math> bzw. <math>E_C(t,\vartheta_0)</math> die [[Kriechmodul]]n bei der Belastungszeit <math>t</math> und der Temperatur <math>\vartheta</math> bzw. der Bezugstemperatur <math>\vartheta_0\approx 23\,^\circ\mathrm C</math>.

Eine Abweichung in der Poissonzahl wirkt sich in der Berechnung des Bauteilverhaltens unter mechanischer Beanspruchung oft weniger stark aus als eine Abweichung im E-Modul, so dass sich mit einem Näherungswert brauchbare Resultate ergeben.
[[Datei:Glaspoissonzahl.gif|mini|hochkant=1.73|Einflüsse der Zugabe ausgewählter [[Glas]]bestandteile auf die Poissonzahl eines speziellen Basisglases.<ref>[http://www.glassproperties.com/poisson_ratio/ ''Calculation of the Poisson Ratio for Glasses''.] Glassproperties.com</ref>]]

== Messtechnik ==
Die Messverfahren zur Bestimmung der Poissonzahl lassen sich grundsätzlich in die direkten und die indirekten Methoden unterscheiden. Die meisten Verfahren basieren auf der Annahme isotropen, linear-elastischen Materialverhaltens, setzen also die Anwendbarkeit der klassischen Elastizitätstheorie voraus.<ref name = "Dassow"></ref> In diesem Fall erfordert die Bestimmung der Poissonzahl die Messung zweier physikalischer Größen, die mit der Poissonzahl in Beziehung stehen.

=== Direkte Methoden ===
Als direkte Methoden gelten jene, bei denen die räumlichen Verformungen unter definierter Belastung gemessen werden. Diese auf Dehnungsmessung basierenden Verfahren sind dadurch gekennzeichnet, dass an einachsig gezogenen Prüfkörpern gleichzeitig die Längenänderungen in Belastungsrichtung und quer dazu gemessen und über die Definitionsgleichung der Poissonzahl miteinander in Beziehung gesetzt werden.<ref> Bernd Lewen: ''Das nichtlinear viskoelastische Verhalten von Kunststoffen am Beispiel der Zeit-Temperatur-Verschiebung und der Querkontraktionszahl''. Diss. RWTH Aachen 1991</ref> Die simultane Messung beider Verformungen nach dem gleichen Prüfprinzip hat den Vorteil, dass sie unter denselben Prüfbedingungen erfolgt. Nachteilig ist der Fehler, der sich aus der Definition der Poissonzahl als Quotient zweier Messgrößen mit ihren Streuungen ergeben kann, insbesondere im Bereich kleiner Dehnungen.

Die Messung der Längenänderungen kann berührend erfolgen, z. B. mittels [[elektromagnetische Induktion|induktiven]] [[Dehnungssensor|Weggebern]] oder [[Dehnungsmessstreifen]], oder dann berührungsfrei mittels optischer Verfahren. Unter diesen stehen die [[Videoextensometer|Video]]- und die [[Laserextensometer|Laserextensometrie]] im Vordergrund. Zur Anwendung gelangten u. a. auch schon [[Holografie|holografische]] Dehnungsmessungen. Berührungslose Messverfahren werden mit Vorteil bei Werkstoffen angewendet, bei denen wegen ihrer geringen [[Härte]] durch die Berührung mit den Messgebern die Messresultate verfälscht werden könnten.

=== Indirekte Methoden ===
Bei den indirekten Methoden werden zwei physikalische Größen gemessen, die untereinander über die Poissonzahl in Beziehung stehen, und entsprechend ausgewertet. Zu diesen Größen zählen in erster Linie Moduln und [[Schallgeschwindigkeit]]en. Die Problematik dieses Vorgehens besteht darin, die Kompatibilität der Messresultate aus zwei verschiedenen Prüfanordnungen und ihren spezifischen Parametern zu gewährleisten. Dies gilt insbesondere auch für die Bestimmung der Poissonzahl anhand der Messung des Elastizitätsmoduls <math>E</math> und des [[Schubmodul]]s <math>G</math>.

Die Bestimmung der Poissonzahl aus Schallgeschwindigkeitsmessungen basiert auf gleichzeitig aufgebrachten [[Longitudinalwelle|Longitudinal-]] und [[Transversalwelle]]n, insbesondere auch von solchen im [[Ultraschall]]bereich. Da deren Geschwindigkeiten <math>c_L</math> bzw. <math>c_T</math> beide von der Poissonzahl abhängigen, kann diese anhand der Messresultate berechnet werden über:<ref>Helmut Gebrande: ''[[Landolt-Börnstein]]'', Neue Serie, Gruppe V, Bd. 1, ''Physikalische Eigenschaften der Gesteine'' (Teilband b). Springer-Verlag 1982</ref>

: <math> \nu = {\frac{1}{2}} \cdot \frac{c_L^2 - 2 c_T^2}{c_L^2 -c_T^2} </math>.

Bei der Volumendilatometrie wird die Poissonzahl anhand der Volumenänderung <math>\Delta V/V</math> des Probekörpers unter hydrostatischem Druck <math>p</math> bestimmt, aufgebracht in einem geeigneten Druckgefäß. Mit dem Elastizitätsmodul <math>E</math> als zweiter Messgröße ergibt sich

: <math>\nu = {\frac{1}{2}} \cdot \left(1-3 \cdot \frac{V}{\Delta V} \cdot \frac{p}{E}\right ) </math>.

Die Volumendilatometrie wird auch etwa den direkten Methoden zugeordnet.<ref name = "Dassow"></ref>

== Siehe auch ==
* [[Elastizitätsmodul]]
* [[Schubmodul]]
* [[Kompressionsmodul]]
* [[Auxetisches Material]]
* [[Orthotropie]]

== Weblinks ==
* [https://www.engineeringtoolbox.com/poissons-ratio-d_1224.html Poissonzahlen verschiedener Materialien]
* [https://silver.neep.wisc.edu/~lakes/Poisson.html Materialien mit negativen Poissonzahlen] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elastische Konstante]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Technische Mechanik]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]

Poissonzahl - Versionsgeschichte

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