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Als '''Poisson-Mannigfaltigkeit''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]], die mit einer '''Poisson-Struktur''' versehen ist. Eine Poisson-Struktur ist eine [[bilineare Abbildung]] auf der [[Algebra über einem Körper|Algebra]] der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]], welche die Eigenschaften einer [[Poisson-Klammer]] erfüllt. Benannt sind die Poisson-Mannigfaltigkeit, -Struktur und -Klammer nach dem Physiker und Mathematiker [[Siméon Denis Poisson]].

== Definition ==

Eine '''Poisson-Struktur''' auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> kann entweder als Klammer oder als Bivektor definiert werden.

=== Als Poisson-Klammer ===

Eine '''Poisson-Struktur''' auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine bilineare Abbildung

:<math>\{\cdot,\cdot\}_M \colon C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M)</math>,

so dass die Klammer [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrisch]]

:<math>\{f,g\}=-\{g,f\}</math>,

ist, der [[Jacobi-Identität]]

:<math>\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0</math>

genügt und für alle <math>f,g,h \in C^\infty(M)</math> eine [[Derivation (Mathematik)|Derivation]] darstellt, das heißt die [[Produktregel|Leibniz-Regel]] gilt

:<math>\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g</math>.

Die bilineare Abbildung <math>\{\cdot,\cdot\}</math> der Poisson-Struktur heißt [[Poisson-Klammer]] und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson-Struktur wird Poisson-Mannigfaltigkeit genannt.<ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 609–610.</ref>

=== Als Poisson-Bivektorfeld ===

Ein [[Bivektor#Bivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|Bivektorfeld]] <math>\omega\in \mathfrak{X}^2(M):=\Gamma(\wedge^2 TM)</math> auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist genau dann ein '''Poisson-Bivektorfeld''' (auch '''Poisson-Bivektor''' oder '''Poisson-Tensor''' genannt), wenn für die [[Schouten-Nijenhuis-Klammer]] auf dem Multivektorfeld <math>[[\omega,\omega]]_S=0</math> gilt. Man nennt dann <math>(M,\omega)</math> eine Poisson-Mannigfaltigkeit.<ref name="Waldmann-Poisson-Geometrie">{{Literatur |Autor=Stefan Waldmann |Titel=Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung |Verlag=Springer Verlag|Seiten=213|Datum=2001 |ISBN=978-3-540-72517-6}}</ref>

Beide Definitionen sind äquivalent, es gilt
:<math> \{ f,g \} = \omega(\mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}g) = \langle \mathrm{d}f \otimes\mathrm{d}g, \omega \rangle </math>.

== Beispiel ==
Sei <math>\mathfrak{g}</math> eine [[Lie-Algebra]] mit Lie-Klammer <math>[\cdot, \cdot]</math> und <math>\mathfrak{g}^*</math> ihr [[Dualraum]] mit der Paarung <math>\langle \cdot , \cdot \rangle \colon \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \R</math>. Auf <math>\mathfrak{g}^*</math> kann für <math>F, G \colon \mathfrak{g}^* \to \R</math> durch

:<math>\{F,G\}_\pm (\mu) := \pm \left \langle \mu, \left[ \frac{\delta F}{\delta \mu}, \frac{\delta G}{\delta \mu} \right] \right \rangle</math>

mit <math>\mu \in \mathfrak{g}^*</math> eine Poisson-Klammer erklärt werden. Mit <math>\tfrac{\delta F}{\delta \mu} \in \mathfrak{g}</math> wird hier die [[Funktionalableitung]] von <math>F</math> nach <math>\mu</math> bezeichnet.
Die Klammer <math>\{\cdot,\cdot\}_\pm</math> wird Lie-Poisson-Klammer genannt. Zusammen mit dieser Poisson-Klammer wird <math>\mathfrak{g}^*</math> zu einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Diese Aussage heißt Satz von Lie-Poisson.<ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 613.</ref>

== Anwendungen ==
Insbesondere ist jede [[symplektische Mannigfaltigkeit]] auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur

:<math>\{f, g\} := \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g</math>

durch eine [[Differentialform|2-Form]] <math>\omega\in \mathfrak{X}^2(M):=\Gamma(\wedge^2 TM)</math> genannt ein Poisson-Bivektor von <math>(M,\{,\}_M)</math>
:<math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm d x^j</math>
beziehungsweise deren Komponenten <math>\omega_{ij}</math> in lokalen Koordinaten gegeben.<ref>{{literatur|Autor=Izu Vaisman|Titel=The Poisson Bivector and the Schouten-Nijenhuis Bracket|TitelErg=Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds|Jahr=1994|Herausgeber=Birkhäuser Basel|DOI=10.1007/978-3-0348-8495-2_2}}</ref>

Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.

Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur [[Nichtkommutative Geometrie|nichtkommutativen Geometrie]] und geometrischen Quantisierung.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4231918-3|LCCN=sh87008043}}

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]

Poisson-Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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