imported>AndiPersti: /* Definition */ Stil

2025-12-15T15:24:47Z

Definition: Stil

Neue Seite

Die '''Poisson-Klammer''', benannt nach [[Siméon Denis Poisson]], ist ein [[Bilineare Abbildung|bilinearer]] [[Differentialoperator]] in der kanonischen ([[Hamiltonsche Mechanik|hamiltonschen]]) [[Mechanik]]. Sie ist ein Beispiel für eine [[Lie-Klammer]], also für eine Multiplikation in einer [[Lie-Algebra]].

== Definition ==
Die Poisson-Klammer ist definiert als

:<math>\left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )}</math>

mit
* <math>f</math> und <math>g</math> [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] der [[Generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] <math>q_k</math> und der [[Kanonischer Impuls|kanonisch konjugierten Impulse]] <math>p_k</math>
* <math>s</math> Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen <math>F</math> und <math>G</math> definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als [[Index (Mathematik)|Indizes]] an die Klammer geschrieben:

:<math>\{F,G\}_{ab}:=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right)</math>.
Man sagt <math>F</math> und <math>G</math> ''Poisson-kommutieren'', wenn die Poisson-Klammer verschwindet (<math>\{F,G\}=0</math>). <math>F</math> und <math>G</math> stehen dann auch ''in Involution'', weil die Größen, die durch diese Funktionen beschrieben werden, unabhängig voneinander sind und sich in ihrer Entwicklung nicht gegenseitig beeinflussen. Eine Funktion <math>F</math>, die mit der [[Hamilton-Funktion]] <math>H</math> Poisson-kommutiert, ist eine [[Erhaltungsgröße]].

== Eigenschaften ==
* [[Bilineare Abbildung|Bilinearität]]
:<math>\,\{c_1 f_1+c_2 f_2,g\}=c_1 \{f_1,g\}+ c_2 \{f_2,g\}</math>

* [[Antisymmetrische Bilinearform|Antisymmetrie]]
:<math>\{f,g\}=-\{g,f\}</math>, insbesondere <math>\{f,f\}=0</math>

* [[Produktregel]]
:<math>\,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}</math>

* [[Jacobi-Identität]]
:<math>\,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0</math>

* Invarianz unter [[kanonische Transformation|kanonischen Transformationen]]
:Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die [[Zeitentwicklung]] einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien <math>(\mathbf{q},\mathbf{p})</math> und <math>(\mathbf{Q},\mathbf{P})</math> zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:

::<math>\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}</math>.

=== Fundamentale Poisson-Klammern ===

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

:<math>\left \{ q_k, q_l \right \} = 0</math>
:<math>\left \{ p_k, p_l \right \} = 0</math>
:<math>\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}</math> ([[Kronecker-Delta]])

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

:<math>\begin{alignat}{2}
& \frac{\partial q_k}{\partial q_l} = \delta_{kl} \quad && \frac{\partial p_k}{\partial q_l} = 0\\
& \frac{\partial q_k}{\partial p_l} = 0 \quad && \frac{\partial p_k}{\partial p_l} = \delta_{kl}
\end{alignat}</math>

== Anwendung ==
* Mithilfe der Poisson-Klammer kann die [[Evolution (Mathematik)|Zeitevolution]] einer beliebigen [[Observable]]n <math>f(q_k,p_k,t)</math> eines [[Hamiltonsches System|Hamiltonschen Systems]] <math>H(q_k,p_k)</math> ausgedrückt werden ([[Hamiltonsche Bewegungsgleichungen]]):

::<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f,H\} +\frac{\partial f}{\partial t}</math>.

* Dual zur [[Bewegungsgleichung]] der [[Observable]]n ist die [[Liouville-Gleichung]], die die Dynamik der [[Verteilungsdichte]] in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] beschreibt:

::<math> \dot{\rho}=\{H,\rho\}.</math>

* In der [[Quantenmechanik]] wird im Rahmen der kanonischen [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] die Poisson-Klammer ersetzt durch <math>\textstyle \left(-\frac{{\rm i}}{\hbar}\right)</math> multipliziert mit dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]:<ref>Hong-Tao Zhang: ''A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software'', {{arXiv|quant-ph/0204081}}</ref>

::<math>\{H,f\}\rightarrow-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}]</math>

:Außerdem werden Observablen durch [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit [[Hamiltonoperator]] <math>\hat{H}</math> im [[Heisenberg-Bild]]. Diese Bewegungsgleichung heißt [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung]]. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der [[Dichtematrix#Zeitentwicklung|Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung]].

* Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine [[Lie-Algebra]].

* Allgemein definiert man auf einer [[Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit]] mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch <math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j</math>, die Poisson-Klammer der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> durch:

:<math>\{f, g\} = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.</math>

* Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei <math>J: T^*M \rightarrow TM</math> der durch <math>J^{-1}(v)(w) = \omega(v, w)</math> beschriebene [[Isomorphismus]]. Weiter sei für eine Funktion <math>f</math> das Vektorfeld <math>X_f</math> definiert als <math>J(\mathrm d f)</math>. Damit gilt dann

:<math>\{f, g\} = \omega(X_f, X_g).</math>

== Weblinks ==
* {{MathWorld|PoissonBracket|Poisson Bracket}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Symplektische Topologie}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]

Poisson-Klammer - Versionsgeschichte

imported>AndiPersti: /* Definition */ Stil