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2025-12-10T06:24:35Z

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Die '''Poisson-Boltzmann-Gleichung''' – benannt nach [[Siméon Denis Poisson]] und [[Ludwig Boltzmann]] – beschreibt die [[Elektrostatik|elektrostatischen]] Wechselwirkungen zwischen Molekülen in Flüssigkeiten mit darin gelösten [[Ion]]en.
Die Poisson-Boltzmann-Gleichung kann mithilfe einer [[Mean field theory|Mean-Field-Näherung]] hergeleitet werden.

Sie ist vor allem in den Gebieten der [[Physikalische Chemie|Physikalischen Chemie]] und [[Biophysik]] von großer Bedeutung. Hier dient sie zur Modellierung der impliziten [[Solvatisierung]]. Mit diesem Verfahren ist es möglich, die Auswirkungen von Lösungsmitteln auf die Strukturen und Wechselwirkungen von Molekülen in Lösungen verschiedener [[Ionenstärke]] näherungsweise zu berechnen. Da die Poisson-Boltzmann-Gleichung für [[Komplexes System|komplexe Systeme]] nicht analytisch lösbar ist, wurden verschiedene Computer-Programme entwickelt, um sie numerisch zu lösen. Die Poisson-Boltzmann-Gleichung wird insbesondere für biologisch relevante Systeme wie [[Protein]]e, [[Desoxyribonukleinsäure|DNA]] oder [[Ribonukleinsäure|RNA]] eingesetzt.

== Mathematische Beschreibung ==
Die Gleichung kann unter Verwendung von [[SI-Einheiten]] wie folgt geschrieben werden:

:<math>
\vec{\nabla} \cdot \left[\varepsilon(\vec{r})\vec{\nabla}\Psi(\vec{r})\right] = -\left( \rho^{f}(\vec{r}) + \sum_{i}c_{i}^{\infty}z_{i}\lambda(\vec{r})q \exp\left(\frac{-z_{i}q\Psi(\vec{r})}{kT}\right) \right)
</math>
mit
* <math>\varepsilon(\vec{r})</math> bezeichnet die ortsabhängige [[dielektrische Leitfähigkeit]]
* <math>\Psi(\vec{r})</math> das elektrostatische [[Elektrostatik#Potential und Spannung|Potential]]
* <math>\rho^{f}(\vec{r})</math> eine fixierte [[Ladungsdichte]]
* <math>c_{i}^{\infty}</math> die Konzentration des Ions der Sorte <math>i</math> in unendlicher Entfernung zur fixierten Ladungsdichte (im englischen: "bulk"). In unendlicher Entfernung trifft man die Konvention <math>\Psi^\text{bulk}=0</math>
* <math>z_i</math> die Valenz des Ions
* <math>q</math> die Ladung eines Protons ([[Elementarladung]])
* <math>k</math> die [[Boltzmannkonstante]]
* <math>T</math> die Temperatur
* <math>\lambda(\vec{r})</math> ist ein Maß für die Zugänglichkeit des Ortes <math>r</math> zu den Ionen der Lösung.

Für kleine elektrische Potentiale kann die Poisson-Boltzmann-Gleichung [[Linearisierung|linearisiert]] werden und liefert dann die [[Debye-Hückel-Theorie|Debye-Hückel-Näherung]].<ref>Federigo Fogolari, Alessandro Brigo, Henriette Molinari: ''The Poisson-Boltzmann equation for biomolecular electrostatics. A tool for structural biology.'' In: ''Journal of Molecular Recognition.'' Band 15 (2002), Heft 6, S. 377–392. PMID 12501158, [[doi:10.1002/jmr.577]]</ref>

== Erweiterungen ==
Haben die Ionen eine gewisse Größe, können Excluded-Volume-Effekte beispielsweise mit der modifizierten Poisson-Boltzmann-Gleichung beschrieben werden.<ref>Borukhov, Itamar, David Andelman, and Henri Orland. "Steric effects in electrolytes: A modified Poisson-Boltzmann equation." ''Physical review letters'' 79.3 (1997): 435.</ref>

== Einschränkungen ==
Die Poisson-Boltzmann-Theorie ist aufgrund ihres Mean-Field-Charakters nur im Falle schwacher elektrostatischer Kopplung und bei nicht zu hohen Ionenkonzentrationen gültig.<ref>{{Literatur |Autor=Nir Gavish, Doron Elad and Arik Yochelis |Titel=From Solvent-Free to Dilute Electrolytes: Essential Components for a Continuum Theory |Sammelwerk=Journal of Physical Chemistry Letters |Band=9 |Nummer=1 |Datum=2018 |Seiten=36–42 |Sprache=en |DOI=10.1021/acs.jpclett.7b03048}}</ref> Im Falle starker elektrostatischer Kopplung kann zur Beschreibung die elektrostatische [[Strong Coupling Theory]] herangezogen werden.

Um [[ionische Flüssigkeit]]en beschreiben zu können, wurden verallgemeinerte Poisson-Boltzmann-Gleichungen höherer Ordnung entwickelt.<ref>{{Literatur |Autor=R. Blossey, A. C. Maggs, R. Podgornik |Titel=Structural interactions in ionic liquids linked to higher-order Poisson-Boltzmann equations |Sammelwerk=[[Physical Review E]] |Band=95 |Nummer=6 |Verlag= |Ort= |Datum=2017 |Seiten=060602 |DOI=10.1103/PhysRevE.95.060602}}</ref>

Es gibt einen [[Variationsrechnung|Variationsansatz]], der zur Beschreibung geladener Systeme unter Berücksichtigung von Fluktuationen dient. Damit geht diese Variationstheorie über den Poisson-Boltzmann Ansatz hinaus.<ref>{{Literatur |Autor=Ralf Blossey, Sahin Buyukdagli |Titel=Beyond Poisson-Boltzmann: fluctuations and fluid structure in a self-consistent theory |Datum=2016-01-04 |DOI=10.1088/0953-8984/28/34/343001}}</ref>

== Weblinks ==
* [https://www.poissonboltzmann.org/ APBS PB solver]
* [https://www.eyesopen.com/products/toolkits/zap.html Zap] – A Poisson-Boltzmann electrostatics solver

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Physikalische Chemie]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]
[[Kategorie:Ludwig Boltzmann]]

Poisson-Boltzmann-Gleichung - Versionsgeschichte

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