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Das '''Pochhammer-Symbol''' ist eine [[spezielle Funktion]], die in der [[Kombinatorik]] und in der Theorie der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen Funktionen]] verwendet wird. Der Name geht auf [[Leo August Pochhammer]] zurück.<ref>L. Pochhammer: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0102 Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten].'' Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung <math>(x)_n</math> für den Binomialkoeffizienten, <math>[x]_n</math> für die fallende Faktorielle und <math>[x]_n^+</math> für die steigende Faktorielle.</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html |titel=Pochhammer Symbol |werk=[[MathWorld]] |hrsg= |datum= |abruf=2019-02-09 |sprache=en}}</ref>

Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man [[verallgemeinertes Pochhammer-Symbol]].

== Definition ==
Das Pochhammer-Symbol wird über die [[Gammafunktion]] definiert:
:<math>(x,n) \equiv \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}</math>
Aus der [[Gammafunktion#Grundlegende Funktionalgleichungen|Funktionalgleichung der Gammafunktion]] folgt dann
:<math>(x,n) \equiv x (x+1) \dotsm (x+n-1)</math>.

Man hat also eine Identität
:<math>(x,n)=x^{\overline{n}}</math>
mit der [[Steigende Faktorielle|steigenden Faktoriellen]].

=== Erläuterungen ===
Das Pochhammer-Symbol wird auch als <math>(x)_n</math> notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich
:<math>(x_1,\dots,x_r)_n:=\prod\limits_{i=1}^r (x_i)_n.</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Pochhammer.svg|mini|[[Funktionsgraph]]en der ersten vier Pochhammer-Symbole]]
* Das Pochhammer-Symbol ist eine [[meromorphe Funktion]].
* Ist <math>n \in \mathbb{N}</math>, so kann <math>(x,n)</math> als Polynom in <math>x</math> dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame [[Nullstelle]] bei <math>x=0</math>.
* Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]:
:<math>(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}</math>
* Divisionsregel:
** <math>\frac{(x,n)}{(x,m)} = (x+m,n-m) ;\quad n>m</math>
** <math>\frac{(x,n)}{(x,m)} = \frac{1}{(x+m,m-n)} ;\quad m>n</math>
* Spezielle Werte:
** <math>(1,n) = n!</math>
** <math>(\tfrac{1}{2},n) = 2^{-n} (2n-1)!!</math>
** <math>(0,0) = 1</math>
* Weitere Identitäten:
** <math>(x,N-k)=\frac{(x,N)(-1)^k}{(-x-N+1,k)}</math>
** <math>(x,m)(x+m,n)=(x,m+n)</math>

== ''q''-Pochhammer-Symbol ==

=== Begrenztes ''q''-Pochhammer-Symbol ===
Das {{nowrap|<math>q</math>-}}Pochhammer-Symbol<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/q-PochhammerSymbol.html |titel=''q''-Pochhammer Symbol |werk=[[MathWorld]] |hrsg= |datum= |abruf=2019-02-09 |sprache=en}}</ref> ist das {{nowrap|<math>q</math>-}}Analog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei {{nowrap|<math>q</math>-}}Analoga klassischer Formeln. Hierbei wird das {{nowrap|<math>q</math>-}}Analogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang

:<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n</math>,

über folgende Formel definiert:

:<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dotsb + q^{n - 1}</math>

Das {{nowrap|<math>q</math>-}}Pochhammer-Symbol wird über die [[formale Potenzreihe]] in der Variablen <math>q</math> definiert:

:<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\dotsm(1-aq^{n-1})</math>

mit der Zusatzbedingung:

:<math>(a;q)_0 = 1</math>.

Sie werden auch {{nowrap|<math>q</math>-}}Reihen genannt und <math>(a;q)_n </math> als <math> (a)_n</math> abgekürzt, z. B. <math>(q;q)_n= (q)_n = \prod_{k=1}^{n} (1-q^k)=(1-q)(1-q^2)\dotsm(1-q^n)</math>.

Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das [[Elliptisches Nomen|elliptische Nomen]] beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.

=== Unendliches ''q''-Pochhammer-Symbol ===
Das {{nowrap|<math>q</math>-}}Pochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

:<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)</math>

Der Spezialfall

:<math>\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

wird als Eulersches Produkt<ref>Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch ''Euler function'', doch ist dieser Begriff mehrdeutig.</ref> bezeichnet.

Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:

:<math>[q(\varepsilon);q(\varepsilon)]_{\infty} = 2^{1/3}|\varepsilon|^{1/12} (1 - \varepsilon^2)^{1/6} q(\varepsilon)^{-1/24}\pi^{-1/2}K(\varepsilon)^{1/2} </math>
:<math>[q(\varepsilon)^2;q(\varepsilon)^2]_{\infty} = |\sin[2\arcsin(\varepsilon)]|^{1/6} q(\varepsilon)^{-1/12}\pi^{-1/2}K(\varepsilon)^{1/2} </math>
:<math>[q(\varepsilon);q(\varepsilon)^2]_{\infty} = 2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon)]|^{1/12}q(\varepsilon)^{1/24} </math>
:<math>q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] </math>
:<math>K(w) = \int_{0}^{\pi/2} [1 - w^2 \sin(\alpha)^2]^{-1/2} \,\mathrm{d}\alpha </math>

=== Partitionszahlenfolge und Pentagonalzahlensatz ===
Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der [[Partitionsfunktion]] eine entscheidende Rolle.

Denn die [[Maclaurinsche Reihe]] für den [[Kehrwert]] des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen<ref>{{Internetquelle |url=https://www.whitman.edu/mathematics/cgt_online/book/section03.03.html |titel=3.3 Partitions of Integers |abruf=2021-08-30}}</ref> als Koeffizienten:

:<math>(x;x)_{\infty}^{-1} = \sum_{k = 0}^{\infty} P(k)x^{k}</math>
Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die [[Fünfeckszahl|Fünfeckszahlen]] und Kartenhauszahlen als Exponenten:
:<math>(x;x)_{\infty} = \sum_{k = 0}^{\infty} \bigl[x^{K(2k)} - x^{F(2k+1)} - x^{K(2k+1)} + x^{F(2k+2)}\bigr]</math>
Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:
:<math>F(n) = \tfrac{1}{2}n(3n-1)</math>
:<math>K(n) = \tfrac{1}{2}n(3n+1)</math>
Diese Tatsache<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumberTheorem.html |titel=Pentagonal Number Theorem |sprache=en |abruf=2021-08-30}}</ref> basiert auf dem [[Pentagonalzahlensatz]] von [[Leonhard Euler]].

=== Thetafunktion und Psifunktion ===
Das Eulersche Produkt<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/q-PochhammerSymbol.html |titel=q-Pochhammer Symbol |sprache=en |abruf=2021-08-30}}</ref> kann auch mit der Jacobischen [[Thetafunktion]] und der [[Ramanujansche Psifunktion|Ramanujanschen Psifunktion]] ausgedrückt werden:

: <math>(x;x)_{\infty} = \vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{2/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{1/24} = \sqrt[6]{\psi_{R}(x^2)\vartheta_{00}(x)\vartheta_{01}(x)^4}</math>
Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:
: <math>(x;x)_{\infty} = 3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta_{10}(\tfrac{1}{6}\pi;x^{1/6}) = 2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta_{10}(x)^{1/6}\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{2/3}</math>

Der Mathematiker [[Srinivasa Ramanujan]] entdeckte folgende Beziehung<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html |titel=Ramanujan g- and G-Functions |sprache=en |abruf=2021-08-30}}</ref> zu den Thetafunktionen:

: <math>(x;x^2)_{\infty} = \sqrt[6]{\psi_{R}(x^2)^{-1}\vartheta_{00}(x)^{-1}\vartheta_{01}(x)^2} = 2^{1/6}x^{1/24}\vartheta_{10}(x)^{-1/6}\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{1/3} </math>

Sie finden sich in seinem Aufsatz ''Modular Equations and Approximations to π''. Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

: <math>(x;x)_{\infty}(x;x^2)_{\infty} = \vartheta_{01}(x)</math>

Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:
: <math>\vartheta_{01}(x) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl[x^{\Box(2n - 1)} - x^{\Box(2n)}\bigr] = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^2 </math>
: <math>\vartheta_{00}(x) = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} x^{\Box(n)} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^2 </math>
: <math>\vartheta_{10}(x) = 2x^{1/4} + 2x^{1/4}\sum_{n = 1}^{\infty} x^{2\bigtriangleup(n)} = 2x^{1/4}\prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n})^2 </math>
Die Ramanujansche Ψ-Funktion <math>\psi_{R}(x)</math> ist über jene Formel definiert:

: <math>\psi_{R}(x) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} x^{\bigtriangleup(n)}</math>

=== Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ===
Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die [[Rogers-Ramanujan-Kettenbruch|Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion]] R(x) dargestellt werden:

: <math>R(x) = x^{1/5}\biggl[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2\bigtriangleup(n)}}{(x;x)_{n}}\biggr]\biggl[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{\Box(n)}}{(x;x)_{n}}\biggr]^{-1} = x^{1/5}\frac{(x;x^5)_{\infty}(x^4;x^5)_{\infty}}{(x^2;x^5)_{\infty}(x^3;x^5)_{\infty}} = </math>
: <math>= \tan\biggl\langle\frac{1}{2}\arccot\biggl\{\frac{\vartheta_{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta_{01}(x^5)^2 - \vartheta_{01}(x)^2]}{2\,\vartheta_{01}(x^5)[\vartheta_{01}(x)^2 - \vartheta_{01}(x^{1/5})^2]} + \frac{1}{2}\biggr\}\biggr\rangle =</math>
:<math>= \tan\biggl\langle\frac{1}{2}\arccot\biggl\{\frac{1}{2}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x^{1/10})\vartheta_{01}(x^{1/10})\vartheta_{10}(x^{1/10})}{\vartheta_{00}(x^{5/2})\vartheta_{01}(x^{5/2})\vartheta_{10}(x^{5/2})}\biggr]^{1/3}+\frac{1}{2}\biggr\}\biggr\rangle =</math>
:<math>= \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x)^2}{2\vartheta_{01}(x^5)^2}\biggr]\biggr\}^{1/5}\tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x)^2}{2\vartheta_{01}(x^5)^2}\biggr]\biggr\}^{2/5} =</math>
:<math>= \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x^{1/2})^2}{2\vartheta_{01}(x^{5/2})^2}\biggr]\biggr\}^{2/5}\cot\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x^{1/2})^2}{2\vartheta_{01}(x^{5/2})^2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>
In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die [[Rogers-Ramanujan-Identitäten]] repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:

:<math>\bigtriangleup(n) = \tfrac{1}{2}n(n+1)</math>
:<math>\Box\,(n) = n^2</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Kombinatorik]]

Pochhammer-Symbol - Versionsgeschichte

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