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2017-01-03T22:46:13Z

typog: Unterscheidung der beiden epsilons

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Das '''Plummer-Potential''' ist ein [[Abstraktion|abstraktes]] [[Mathematik|mathematisches]] [[Skalarpotential|Potential]]. Es wurde nach [[Henry Crozier Keating Plummer|H. C. Plummer]] benannt, der es 1911 zur Berechnung von [[Kugelsternhaufen]] einführte. Es ist bei der [[Numerik|numerischen]] Behandlung von Problemen nützlich, die [[Term]]e wie den [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] <math>\textstyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}</math> beinhalten.

Durch seine nahe Verwandtschaft mit dem [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-]] und [[Gravitation]]spotential – beides sind Spezialfälle des Plummer-Potentials – finden sich die meisten Anwendungen dieses Potentials in der [[Elektrodynamik]] und der [[Gravitationstheorie]].

Die Potentialfunktion besitzt die Form

:<math>\Phi(r, \epsilon) = \Phi_{\epsilon}(r) = - \frac{ \mathrm{const.} }{\sqrt{(r^2 + \epsilon^2)} }</math>

Setzt man nun <math> \epsilon = 0 </math>, so erhält man das klassische <math> \tfrac{1}{r} </math> (Coulomb-)Potential, das in der [[Isaac Newton|Newtonschen]] Gravitationstheorie und in der Elektrodynamik eine wichtige Rolle spielt:

:<math>\varphi_\mathrm{G} = G \frac{M}{r}</math> (Gravitations-Potential)

bzw.

:<math>\varphi_\mathrm{C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}</math> (Coulomb-Potential)

Es bietet sich deshalb an, das Plummer-Potential und das Coulomb-Potential gegenüberzustellen: Im Gegensatz zum Coulomb-Potential besitzt das Plummer-Potential an der Stelle <math> r = 0 </math> keine [[Definitionslücke|Singularität]], sondern hat einen endlichen Wert <math> \Phi(r = 0, \epsilon) = - \tfrac{\mathrm{const.}}{\epsilon} </math>; das normale <math>\tfrac{1}{r}</math>-Potential hingegen ergibt für <math>r = 0</math> den undefinierten Ausdruck <math>\tfrac{1}{0}</math>. Damit ist das Plummer-Potential im Nullpunkt [[stetig]] und [[differenzierbar]], was für [[Analysis|analytische]] Berechnungen interessant ist.

== Anwendung ==
Eine wichtige Anwendung für das Plummer-Potential findet sich in der [[Astronomie]], bei der [[Simulation]] der Dynamik von Sternhaufen und Galaxien. Bei Simulationen mit sehr vielen Körpern (sogenannten [[Mehrkörper-Problem|Mehrkörper]]-Simulationen) ist man oftmals nicht primär an den Kollisionen oder Beinahekollisionen einzelner Körper interessiert, sondern an den sich großräumig ausbildenden Strukturen. Da es praktisch unmöglich ist, solche Kollisionen schon bei den Anfangsbedingungen einer Simulation auszuschließen, greift man gerne auf das Plummer-Potential zurück, da es für große Abstände eine gute [[Approximation]] des Gravitationspotentials ist und für kleine Abstände nicht über alle Grenzen wächst. Kommen sich zwei Körper nun zu nahe, dann fliegen sie praktisch durcheinander durch, ohne dass eine übermäßige Kraft auftritt.

[[Kategorie:Gravitation]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Plummer-Potential - Versionsgeschichte

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