imported>Pedalito: Revert, irgendwie verrutscht oder falsch formatiert?

2024-11-04T19:51:43Z

Revert, irgendwie verrutscht oder falsch formatiert?

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{{Redundanztext
|3=Plattentheorie
|4=Platte (Technische Mechanik)
|12=f|2=Februar 2018|1=[[Benutzer:Acky69|Acky69]] ([[Benutzer Diskussion:Acky69|Diskussion]]) 23:36, 23. Feb. 2018 (CET)}}
'''Plattentheorien''' beschreiben die Eigenschaften von [[Platte (Technische Mechanik)|Platten]] in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]]. Um die Berechnungen handhabbar zu machen, bedient sie sich einiger Vereinfachungen und legt fest, unter welchen Bedingungen sie gültig ist.

Dabei wird ein im Allgemeinen dreidimensionales dynamisches Problem durch Vernachlässigung kleiner Größen in ein zweidimensionales Problem überführt, das dynamisch, quasi-statisch oder statisch ist.

Plattentheorien dürfen angewandt werden, wenn angenommen werden kann,
* dass die Platte als ebenes [[Flächentragwerk]] ausschließlich [[Normalenvektor|normal]] zu ihrer Mittelebene (<math>z=0</math>) beansprucht wird (Unterscheidung zur [[Scheibe (Technische Mechanik)|Scheibe]]) und
* dass die [[Mechanische Spannung|Normalspannung]] <math>\sigma_{Z}</math> normal zur Mittelfläche vernachlässigt werden kann: <math>\sigma_{Z} \approx 0</math>.

== Theorien ==
Je nach Größenordnung der äußeren [[Belastung (Physik)|Lasten]] und [[Beschleunigung]]en sowie der [[Randbedingung]]en des ursprünglichen 3D-Problems muss eine geeignete Plattentheorie gewählt werden, die das ursprüngliche Problem hinreichend gut nähert.

=== Nach Geometrie der Platte ===
Abhängig vom Verhältnis der Plattendicke <math>d</math> gegenüber den übrigen geometrischen Ausdehnungen, z. B. zur [[charakteristische Länge|charakteristischen Länge]] <math>l</math>, sind zu unterscheiden:
* Ist dieses Verhältnis vernachlässigbar klein: <math>\frac d l \ll 1</math>, so kann eine Theorie dünner Platte verwendet werden. Bei dünnen Platten bleiben gerade Linienabschnitte, die ursprünglich [[orthogonal]] auf der Mittelfläche standen, in guter Näherung auch im verformten Zustand gerade und orthogonal zur verformten Mittelfläche (Normalenhypothese, Kirchhoff-Love-Hypothese; vgl. [[Bernoullische Annahmen|Bernoulli-Balken]]).
* Ist erst die 3. [[Potenz]] des o. g. Verhältnisses sehr klein: <math>\left( \frac d l \right) ^3 \ll 1</math>, so handelt es sich um moderat dicke Platten. Bei moderat dicken Platten sind die [[Verwölbung]]en nicht mehr vernachlässigbar und es müssen Theorien verwendet werden, in denen unverformte gerade senkrechte Linien im verformten Zustand zwar gerade bleiben, aber nicht mehr senkrecht auf der Mittelfläche stehen (Theorie für schubweiche Platten; vgl. [[Timoshenko-Balken]]).

=== Nach Größe der Verformung ===
Abhängig vom Verhältnis (des [[Betragsfunktion|Betrages]]) der [[Verformung]]en <math>u</math> der Platte zu ihrer Dicke <math>d</math> sind zu unterscheiden:
* Ist dieses Verhältnis klein: <math>\frac u d \ll 1</math>, so kann eine lineare Plattentheorie verwendet werden (Plattentheorie nach [[Gustav Robert Kirchhoff|Kirchhoff]]).
* Ist die [[Durchbiegung]] in der Größenordnung der Plattendicke: <math>\frac u d \approx 1</math>, so muss die [[nichtlinear]]e Theorie für moderate Durchbiegung verwendet werden, wobei trotz kleiner Verzerrungen das Platten- und das [[Scheibentheorie|Scheibenproblem]] nicht mehr entkoppelt ist (Plattentheorie nach [[Theodore von Kármán|von Kármán]]).
* Liegen die Durchbiegungen in der Größenordnung der Plattenabmessungen (charakteristische Länge): <math>\frac u d \gg 1</math>, so muss eine Plattentheorie für große Deformation verwendet werden, wobei es sich, je nach Randbedingungen und äußeren Lasten, entweder um ein reines [[Biegung (Mechanik)|Biege-]] oder um ein reines Membran- bzw. [[Schalentheorie|Schalenproblem]] handeln kann.

=== Übersicht ===
{| class="wikitable"
|'''große Durchbiegungen'''
u <math>\gg</math> d bzw. u ≈ l
|Biegung oder Schalenproblem
| colspan="3" |räumlicher Spannungszustand
|-
|'''moderate Durchbiegungen'''
u ≈ d
|nichtlineare Plattentheorie
(Plattenproblem gekoppelt mit Scheibenproblem)
| colspan="2" rowspan="2" |ebener Spannungszustand;
Verzerrungen

parallel zur Mittelebene

sind proportional

zum Abstand von der Mittelebene
| rowspan="2" |räumlicher Spannungs-
zustand
|-
|'''kleine Durchbiegungen'''
u <math>\ll</math>d
|lineare Plattentheorie
(Plattenproblem entkoppelt von Scheibenproblem)
|-
|
|
|*gerade,
orthogonal
|*gerade,
nicht orthogonal
|*nicht gerade,
nicht orthogonal
|-
|
|
|'''dünne Platte'''
d/l <math>\ll</math> 1
|'''moderat dicke Platte'''
(d/l)³ <math>\ll</math> 1
|'''dicke Platte'''

|}
<nowiki>*)</nowiki> Linien, die im unverformten Zustand gerade und orthogonal auf der Mittelebene sind, sind im verformten Zustand…

== Beteiligte Wissenschaftler ==
* [[Jakob II Bernoulli]]
* [[Ernst Florens Friedrich Chladni]]
* [[Leonhard Euler]]
* [[Sophie Germain]]
* [[Joseph-Louis Lagrange]]
* [[Claude Louis Marie Henri Navier]]
* [[Siméon Denis Poisson]]
* [[Gustav Robert Kirchhoff]]
* [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh]]
* [[Augustus Edward Hough Love]]
* [[Theodore von Kármán]]
* [[Stepan Tymoschenko]]
* [[Raymond D. Mindlin]]
* [[Eric Reissner]]
* Yakov Solomonovich Uflyand<ref>Englische Transkription. Geboren 1916 in Sankt Petersburg.</ref>

== Literatur ==
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. [[Ernst & Sohn]], Berlin 2018, S. 702–716, ISBN 978-3-433-03229-9.

== Weblinks ==
* [http://userwww.hs-nb.de/biw/mathiak/Umdrucke/Skript_Plattentheorie.pdf Skript Prof. Dr. F.U. Mathiak: Plattentheorie] (PDF-Datei; 2,87 MB){{Toter Link |datum=2024-03 |fix-attempted=1 |url= http://userwww.hs-nb.de/biw/mathiak/Umdrucke/Skript_Plattentheorie.pdf}}
* [https://pdfhost.io/v/QJvM9KDGC_Microsoft_Word_Vorlesung_Plattendoc.pdf Skript Dr.-Ing. I. Raecke: Vorlesungsmanuskript Flächentragwerke I/II - Elastische Platten] (PDF-Datei; 1,94 MB), Fakultät für Maschinenbau, Institut für Mechanik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elastostatik]]
[[Kategorie:Baustatik]]

Plattentheorie - Versionsgeschichte

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