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2025-02-03T10:40:28Z

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In der [[Physik]] ist eine '''Plasmaoszillation''' (auch '''Langmuir-Welle''') eine [[Periode (Physik)|periodische]] [[Schwingung|Oszillation]] der [[Ladungsdichte]] in einem [[Ausbreitungsmedium|Medium]], zum Beispiel in einem [[Plasma (Physik)|Plasma]] oder einem [[Metall]]. Das [[Quasiteilchen]], das aus der [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] dieser Oszillationen hervorgeht, ist das [[Plasmon (Physik)|Plasmon]].

== Plasmafrequenz ==
Werden die freien [[Elektron]]en in einem [[Elektronengas]] lokal verdichtet, wirkt auf sie die [[Coulombkraft]], die die homogene Ladungsverteilung wiederherzustellen versucht. Durch ihre [[Trägheit]] werden die Elektronen an der neutralen Lage vorbeischießen und einen neuen Ladungsüberschuss aufbauen, wodurch es zu einer periodischen Schwingung kommt. Die [[Kreisfrequenz]], mit der die Elektronendichte um die mittlere Dichte oszilliert, heißt '''Plasmafrequenz''':

:<math>\omega_\mathrm{p} = \sqrt{ \frac{4 \pi n_\mathrm{e} e^{2} }{ m_{\mathrm{e}} } }</math> ([[CGS-Einheitensystem|CGS-Einheiten]]),
:<math>\omega_\mathrm{p} = \sqrt{\frac{n_\mathrm{e} e^{2}}{\varepsilon_{0} m_{\mathrm{e}}}}</math> ([[Internationales Einheitensystem|SI-Einheiten]]),

worin

* ''<math>n_e</math>'' die [[Elektronendichte]] ist,
* ''<math>e</math>'' die [[Elementarladung]],
* ''<math>\varepsilon_{0}\!</math>'' die [[elektrische Feldkonstante]] und
* ''<math>m_{\mathrm{e}}</math>'' die [[Elektron]]enmasse.

Betrachtet man den Ladungsträger in einem [[Dielektrikum]] mit einer [[Permittivität]] <math>\varepsilon_\mathrm{r} > 1</math>, so verringert sich die Plasmafrequenz:
:<math>\omega_\mathrm{p} = \sqrt{\frac{n_\mathrm{e} e^{2}}{\varepsilon_\mathrm{r} \varepsilon_{0} m_\mathrm{e}}}</math> (SI-Einheiten).

Die [[Plasmaresonanz]] ist eine dispersionslose, also von der Ausdehnung unabhängige, Anregung. Eine in das Material eindringende [[elektromagnetische Welle]] kann die Schwingung anregen und erfährt dabei sowohl [[Absorption (Physik)|Absorption]] als auch [[Brechung (Physik)|Brechung]].

=== Herleitung ===

Die drei notwendigen Gleichungen zur Herleitung der Plasmafrequenz sind:

''1.)'' Die '''[[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung der Elektrostatik]]''', welche das Potential in Abhängigkeit von der Ladungsdichte beschreibt:
:<math>\Delta \Phi(\mathbf r,t) = -\frac{q n(\mathbf r,t)}{\varepsilon}</math>

wobei

* <math>\Delta</math> [[Laplace-Operator]]
* ''<math>\Phi</math>'' [[Elektrostatik#Potential und Spannung|Elektrostatisches Potential]]
* ''<math>q</math>'' [[Elektrische Ladung]] der Teilchen
* ''<math>n</math>'' [[Teilchendichte]]
* ''<math>\varepsilon = \varepsilon_{0} \varepsilon_\mathrm{r} </math>'' [[Permittivität]]

''2.)'' Die '''[[Kontinuitätsgleichung]]''', welche die Erhaltung der Teilchen beschreibt:

:<math> q \frac{\partial n(\mathbf r,t)}{\partial t}+ \operatorname{div}\, \mathbf{j}(\mathbf r,t) = 0\,</math>

mit

* ''<math>\mathbf{j} = q n \mathbf{v} </math>'' [[Elektrische Stromdichte]] mit Teilchengeschwindigkeit ''<math>\mathbf{v}</math>'' (Die Gleichung kann sowohl für die [[Ladungserhaltung]] – wie hier – oder für die Teilchenerhaltung formuliert werden.)

''3.)'' Das '''[[Newtonsche Gesetze|zweite newtonsche Gesetz]]''', welches die kinetische Antwort der Teilchen in Bezug auf die Kraft <math>\mathbf{F}</math> des [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] <math>\mathbf{E}</math> beschreibt:

:''<math>\mathbf{F}(\mathbf r,t) = m \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf r,t)}{\partial t} </math>''

mit

* ''<math>\mathbf{F}(\mathbf r,t) = q \mathbf{E}(\mathbf r,t) = - q \operatorname{grad}\, \Phi(\mathbf r,t)</math>''

Für kleine Dichteschwankungen kann, unter Benutzung des unter 2.) gezeigten Zusammenhangs für die Stromdichte, die zeitliche Ableitung der Teilchengeschwindigkeit allein durch die zeitliche Ableitung der Stromdichte ausgedrückt werden:

:''<math>\frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf r,t)}{\partial t} = \frac{\partial \frac{\mathbf{j}(\mathbf r,t)}{qn(\mathbf r,t)} }{\partial t} \approx \frac{1}{\, qn_{0}} \frac{\partial \mathbf{j}(\mathbf r,t) }{\partial t}</math>''

Dies beinhaltet die Annahme, dass die relativen Dichteschwankungen klein sind im Vergleich zu den relativen Änderungen der Teilchengeschwindigkeiten. Damit erhält man durch Rückeinsetzen in die 3.) Gleichung

:''<math>-q \operatorname{grad}\, \Phi(\mathbf r,t) = \frac{m}{qn_0} \frac{\partial \mathbf{j}(\mathbf r, t)}{\partial t}</math>''

welche durch Anwendung der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz-Operation]] auf die gesamte Gleichung

:''<math>-q \Delta\, \Phi(\mathbf r, t) = \frac{m}{qn_0} \frac{\partial \operatorname{div}\, \mathbf{j}(\mathbf r, t)}{\partial t}</math>''

ein Einsetzen der '''[[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung der Elektrostatik]]''' auf der linken und der '''[[Kontinuitätsgleichung]]''' auf der rechten Seite erlaubt:

:''<math>\frac{q^2}{\varepsilon} n(\mathbf r,t) = -\frac{m}{n_0} \frac{\partial^2 n(\mathbf r,t)}{\partial t^2}</math>''

Damit ergibt sich die Gleichung für eine harmonische Schwingung mit der Plasma-Eigenfrequenz

:''<math>\omega_\mathrm{p}^2 = \frac{q^2 \, n_0}{m \, \varepsilon} </math>''

== Dispersionsrelation ==
Weil die Plasmafrequenz unabhängig von der [[Wellenlänge]] ist (!), haben Plasmaoszillationen eine [[Phasengeschwindigkeit]], die proportional zur Wellenlänge ist, und eine verschwindende [[Gruppengeschwindigkeit]]. Die im Beispiel oben einfallende elektromagnetische Welle regt die Ladungsträger des Plasmas zum Schwingen an (senkrecht zur [[Ausbreitungsrichtung]], weil die Welle transversal ist), bewirkt aber keinen Ladungstransport in Einfallsrichtung der Welle.

Wenn die Elektronen eine endliche thermische Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{e,th} = \sqrt \frac{k_\mathrm B T_\mathrm{e}}{m_\mathrm e}</math> haben mit
* <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]]
* <math>m_{\mathrm{e}}</math>: [[Masse (Physik)|Masse]] der Elektronen
* <math>T_{\mathrm{e}}</math>: die auf <math>m_{\mathrm{e}}</math> normierte [[Elektronentemperatur]] <math>T</math>,

wirkt der [[Elektronendruck]] zusätzlich zum elektrischen Feld als [[Rückstellkraft]]. Dann propagieren die Oszillationen mit der ''[[David Bohm|Bohm]]-[[Eugene Gross|Gross]]-[[Dispersionsrelation]]''<ref name="Bittencourt2004">{{cite book|author=J. A. Bittencourt|title=Fundamentals of Plasma Physics|url=https://books.google.de/books?id=qCA64ys-5bUC&pg=PA269&hl=de|accessdate=11. November 2012|date=17. Juni 2004|publisher=Springer|isbn=978-0-387-20975-3|pages=269–}}</ref>

:<math>\omega^2 = \omega_\mathrm{pe}^2 + 3(k \cdot v_{\mathrm{e,th}})^2</math> (''k'': [[Wellenzahl]]).

Wenn die räumliche Skala groß ist gegenüber der [[Debye-Länge]], spielt der Druck eine untergeordnete Rolle:

:<math>\omega \approx \omega_\mathrm{pe}.</math>

Auf kleinen Skalen dagegen dominiert der Druck:

:<math>\begin{align}
\omega^2 & \approx 3(k \cdot v_{\mathrm{e,th}})^2\\
\Leftrightarrow \omega & \approx k \sqrt{3} \cdot v_{\mathrm{e,th}}\\
\Leftrightarrow v_\mathrm{ph} \equiv \frac{\omega}{k} & \approx \sqrt{3} \cdot v_\mathrm{e,th} ,
\end{align}</math>

d. h. die Wellen werden [[Dispersion (Physik)|dispersion]]s<nowiki/>los mit der Phasengeschwindigkeit <math>\sqrt{3} \cdot v_\mathrm{e,th},</math>, so dass die [[Plasmawelle]] einzelne Elektronen beschleunigen kann. Dieser Prozess ist eine Art kollisionslose Dämpfung, [[Landau-Dämpfung]] genannt. Aus dem Grund ist die Dispersionbeziehung bei großem ''<math>k</math>'' schwer zu beobachten und nur selten wichtig.

== Anwendung ==
Elektronen mit einer bestimmten Plasmafrequenz können also fast instantan Bewegungen ausführen, die „langsamer“ als die Plasmafrequenz ablaufen. Das heißt insbesondere, dass Plasmen elektromagnetische Wellen mit Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz fast vollständig [[Reflexion (Physik)|reflektieren]], für Wellen mit Frequenzen oberhalb der Plasmafrequenz hingegen [[Transparenz (Physik)|transparent]] sind.

=== Reflexion von Licht an Metallen ===
Die Plasmafrequenz liegt in metallischen [[Festkörper]]n bei typischen Elektronendichten von <math>n_\mathrm{e} = 10^{28} \, \mathrm{m}^{-3}</math> im Bereich von <math>\omega_\mathrm p = 5 \cdot 10^{15} \, \mathrm{s}^{-1}</math>, was über die Phasengeschwindigkeit für elektromagnetische Wellen in eine Wellenlänge von <math>\lambda_\mathrm p \approx 300 \, \mathrm{nm}</math> umgerechnet werden kann, die im [[UV-Licht|UV-Bereich]] liegt. Metalle reflektieren deshalb Licht im optischen Bereich und erst recht Radio- und Radarwellen. Elektromagnetische Wellen mit höherer Frequenz, wie UV- oder Röntgenstrahlung, werden dagegen transmittiert, so lange keine anderen Resonanzen oberhalb der Plasmafrequenz (z. B. elektronische Übergänge aus niederenergetischen Schalen) diese absorbieren.

=== Reflexion von Radiowellen an der Atmosphäre ===
Plasmaoszillationen in der [[Ionosphäre]] der Erde sind der Grund dafür, dass mit [[Kurzwelle]]n ausgestrahlte Radioprogramme eine sehr große [[Reichweite (Funktechnik)|Reichweite]] besitzen. Die [[Radiowellen]] treffen auf die Ionosphäre und regen die Elektronen zum Schwingen an. Aus der relativ geringen Elektronendichte der F-Schicht von nur 10<sup>12</sup> m<sup>−3</sup> kann eine Plasmafrequenz von etwa 9 MHz berechnet werden. Dies führt zu einer Reflexion aller senkrecht einfallenden Wellen mit tieferer Frequenz an der Ionosphäre. Bei flacherem Einfallswinkel kann die benutzbare [[Maximum Usable Frequency|Grenzfrequenz]] auf Werte bis über 50 MHz steigen. Über Kurzwelle ausgesendete Programme kann man deshalb auch an Orten empfangen, die eigentlich im Sichtschatten des Senders liegen. Eine Kommunikation mit höher fliegenden [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] oder [[Global Positioning System|GPS]] ist nur über noch höhere Frequenzen im [[UKW]]-Band möglich.

== Siehe auch ==
* [[Raman-Streuung]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Plasmaphysik]]
[[Kategorie:Schwingung]]

Plasmaoszillation - Versionsgeschichte

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