imported>Meinichselbst: Parameter fix

2025-09-17T23:41:17Z

Parameter fix

Neue Seite

Die '''Plücker-Matrix''' ist eine spezielle [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrische]] <math>4\times 4</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die eine Gerade im [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] charakterisiert. Die Matrix ist durch die 6 [[Plücker-Koordinaten]] mit 4 Freiheitsgraden beschrieben. Benannt sind sie nach dem deutschen Mathematiker [[Julius Plücker]].

== Definition ==
Eine Gerade im Raum ist definiert durch zwei verschiedene Punkte
<math>A = \left(A_0, A_1, A_2, A_3 \right)^\top \in \mathbb{R}\mathcal{P}^3</math>
und
<math>B = \left(B_0, B_1, B_2, B_3 \right)^\top\in \mathbb{R}\mathcal{P}^3</math>
in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] des [[Projektiver Raum|projektiven Raums]]. Ihre Plücker-Matrix ist:

:<math>
[\mathbf{L}]_{\times}\propto\mathbf{A}\mathbf{B}^{\top}-\mathbf{B}\mathbf{A}^{\top}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -L_{01} & -L_{02} & -L_{03}\\
L_{01} & 0 & -L_{12} & -L_{13}\\
L_{02} & L_{12} & 0 & -L_{23}\\
L_{03} & L_{13} & L_{23} & 0
\end{array}\right)
</math>

Wobei die [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrische]] <math>4\times 4</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] durch die 6 [[Plücker-Koordinaten]]
:<math>
\mathbf{L}\propto(L_{01}, L_{02}, L_{03}, L_{12}, L_{13}, L_{23})^\top
</math>
mit
:<math> L_{ij} = A_iB_j - B_iA_j </math>
beschrieben ist. Die Plücker-Koordinaten erfüllen die [[Graßmann-Plücker-Relation]]
:<math>
L_{01} L_{23} -L_{02} L_{13}+L_{03} L_{12}=0
</math>
und sind bis auf skalare Vielfache definiert. Jede Plücker-Matrix besitzt lediglich [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] 2 und vier Freiheitsgrade (wie jede Gerade in <math>\mathbb{R}^3</math>). Sie ist unabhängig von der Wahl der Punkte A und B und ist außerdem eine Verallgemeinerung der [[Geradengleichung]] bzw. des [[Kreuzprodukt]]s für sowohl den Schnitt zweier Geraden, als auch der Verbindungsgeraden durch zwei Punkte in der projektiven Ebene.

== Eigenschaften ==

Die Plücker-Matrix erlaubt es folgende geometrische Operationen im [[Matrix-Vektor-Produkt]] auszudrücken:

* Ebene enthält Gerade: <math>\mathbf{0}=[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}</math>

* <math>\mathbf{X}=[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}</math> ist der Schnittpunkt der Geraden <math>\mathbf{L}</math> mit der Ebene <math>\mathbf{E}</math> ('Meet')

* Punkt liegt auf Gerade: <math>\mathbf{0}=[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}\mathbf{X}</math>

* <math>\mathbf{E}=[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}\mathbf{X}</math> ist die gemeinsame Ebene <math>\mathbf{E}</math>, die den Punkt <math>\mathbf{X}</math> und die Gerade <math>\mathbf{L}</math> enthält ('Join').

* Richtung einer Geraden: <math>[\mathbf{L}]_{\times}\pi^\infty=[\mathbf{L}]_{\times}(0,0,0,1)^\top=(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0)^\top</math> (Anmerkung: Kann auch als Ebene durch den Koordinatenursprung, orthogonal zur Geraden interpretiert werden)

* Punkt der am dichtesten am Koordinatenursprung liegt: <math>\mathbf{X}_{0}\cong[\mathbf{L}]_{\times}[\mathbf{L}]_{\times}\pi^{\infty}.</math>

== Eindeutigkeit ==

Zwei beliebige unterschiedliche Punkte auf der Geraden lassen sich durch [[Linearkombination]] von <math>\mathbf{A}</math> und <math>\mathbf{B}</math> finden:

:<math> \mathbf{A}^{\prime}\propto\mathbf{A}\alpha+\mathbf{B}\beta\text{ und }\mathbf{B}^{\prime}\propto\mathbf{A}\gamma+\mathbf{B}\delta </math>.

Ihre Plücker-Matrix ist dann:
:<math>
[\mathbf{L}^\prime]_{\times} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{B}^{\prime\top}-\mathbf{B}^{\prime}\mathbf{A}^{\prime\top}
=(\mathbf{A}\alpha+\mathbf{B}\beta)(\mathbf{A}\gamma+\mathbf{B}\delta)^{\top}-(\mathbf{A}\gamma+\mathbf{B}\delta)(\mathbf{A}\alpha+\mathbf{B}\beta)^{\top}
=\underset{\lambda}{\underbrace{(\alpha\delta-\beta\gamma)}}[\mathbf{L}]_{\times},
</math>
also bis auf ein skalares Vielfaches identisch zu <math> [\mathbf{L}]_{\times}</math>.

== Schnittpunkt mit Ebene ==

[[Datei:Pluecker meet.svg|mini|Der Schnittpunkt einer Geraden im Raum L mit einer Ebene E als Multiplikation mit der Plücker-Matrix]]

Es sei <math>\mathbf{E}=(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3})^{\top}\in\mathbb{R}\mathcal{P}^{3}</math> eine Ebene mit der Gleichung
:<math>E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.</math>
die die Gerade <math>\mathbf{L}</math> nicht enthält. Dann beschreibt das Matrix-Vektor-Produkt der Plückermatrix mit der Ebene einen Punkt
:<math>
\mathbf{X}=[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}
=\mathbf{A}\underset{\alpha}{\underbrace{\mathbf{B}^{\top}\mathbf{E}}}-\mathbf{B}\underset{\beta}{\underbrace{\mathbf{A}^{\top}\mathbf{E}}}
=\mathbf{A}\alpha+\mathbf{B}\beta,
</math>
der auf der Geraden <math>\mathbf{L}</math> liegt, da er eine Linearkombination von <math>\mathbf{A}</math> und <math>\mathbf{B}</math> ist.
<math>\mathbf{X}</math> liegt auch auf der Ebene <math>\mathbf{E}</math>
:<math>
\mathbf{E}^{\top}\mathbf{X}
=\mathbf{E}^{\top}[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}
=\underset{\alpha}{\underbrace{\mathbf{E}^{\top}\mathbf{A}}}\underset{\beta}{\underbrace{\mathbf{B}^{\top}\mathbf{E}}}
-\underset{\beta}{\underbrace{\mathbf{E}^{\top}\mathbf{B}}}\underset{\alpha}{\underbrace{\mathbf{A}^{\top}\mathbf{E}}}
=0,
</math>
und muss daher der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene sein.

Des Weiteren gilt, dass das Produkt der Plücker-Matrix mit einer Ebene genau dann den [[Nullvektor]] ergibt, wenn die Gerade <math>\mathbf{L}</math> in der Ebene enthalten ist:
:<math> \alpha=\beta=0 \iff \mathbf{E}</math> enthält <math> \mathbf{L}. </math>

== Duale Plücker-Matrix ==

[[Datei:Pluecker join.svg|mini|Die gemeinsame Ebene G eines Punktes X mit einer Geraden im Raum L als Multiplikation mit der dualen Plücker-Matrix]]

Im realen projektiven Raum haben Punkte und Ebenen die gleiche Darstellung als homogene 4-Vektoren und die algebraische Beschreibung ihrer Beziehung (Punkt liegt auf Ebene) ist symmetrisch. Durch Vertauschen der Bedeutung von Punkten und Ebenen einer Aussage erhält man daher eine [[Dualität (Projektive Geometrie)|duale]] Aussage, die ebenfalls wahr ist.

Im Fall der Plücker-Matrix existiert die duale Darstellung einer Geraden im Raum als Schnitt zweier Ebenen
:<math>
E = \left(E_0, E_1, E_2, E_3 \right)^\top \in \mathbb{R}\mathcal{P}^3
</math>
und
:<math>
F = \left(F_0, F_1, F_2, F_3 \right)^\top\in \mathbb{R}\mathcal{P}^3
</math>
in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] des [[Projektiver Raum|projektiven Raums]]. Ihre Plücker-Matrix ist:
:<math>
[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}=\mathbf{E}\mathbf{F}^{\top}-\mathbf{F}\mathbf{E}^{\top}

</math>
und
:<math>
\mathbf{G}=[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}\mathbf{X}
</math>
beschreibt eine Ebene <math>\mathbf{G}</math>, die sowohl den Punkt <math>\mathbf{X}</math> als auch die Gerade <math>\mathbf{L}</math> enthält.

== Beziehung zwischen primalen und dualen Plücker-Matrizen ==

Wenn also der Vektor <math>\mathbf{X}=[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}</math> für eine beliebige Ebene <math>\mathbf{E}</math> entweder der Nullvektor ist, oder einen Punkt auf der Geraden darstellt, so muss gelten

:<math>
\forall\mathbf{E}\in\mathbb{R}\mathcal{P}^{3}:\,\mathbf{X}=[\mathbf{L}]_{\times}\mathbf{E}\text{ lies on }\mathbf{L}\iff[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}\mathbf{X}=\mathbf{0}.
</math>
Also:
:<math>
\left([\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}[\mathbf{L}]_{\times}\right)^{\top}=[\mathbf{L}]_{\times}[\tilde{\mathbf{L}}]_{\times}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^{4\times4}.
</math>

Folgendes Produkt erfüllt diese Eigenschaften:
:<math>
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & L_{23} & -L_{13} & L_{12}\\
-L_{23} & 0 & L_{03} & -L_{02}\\
L_{13} & -L_{03} & 0 & L_{01}\\
-L_{12} & L_{02} & -L_{01} & 0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -L_{01} & -L_{02} & -L_{03}\\
L_{01} & 0 & -L_{12} & -L_{13}\\
L_{02} & L_{12} & 0 & -L_{23}\\
L_{03} & L_{13} & L_{23} & 0
\end{array}
\right)
=\left(L_{01} L_{23} -L_{02} L_{13}+L_{03} L_{12}\right) \cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
=\mathbf{0},
</math>

aufgrund der [[Graßmann-Plücker-Relation]]. Mit der Eindeutigkeit der Plücker-Matrix bis auf skalare Vielfache ergeben sich für die primalen Plücker-Koordinaten

:<math>
\mathbf{L}=\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{31},\,L_{23}\right)^{\top}
</math>

folgende duale Koordinaten:

:<math>
\tilde{\mathbf{L}}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top}.
</math>

== Beispiel ==
Die der <math>x_1</math>-<math>x_4</math>-Ebene im <math>\R^4</math> entsprechende projektive Gerade im <math>\R P^3</math> kann dargestellt werden durch

<math>
\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

== In der projektiven Ebene ==

Der 'join’ zweier Punkte in der projektiven Ebene ist die Operation zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden. Die Geradengleichung kann man durch das [[Kreuzprodukt]] bestimmen:
:<math>
\mathbf{l}\propto\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}
a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\
b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\
a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
l_{0}\\
l_{1}\\
l_{2}
\end{array}\right).
</math>
[[Dualität (Projektive Geometrie)|Dual]] dazu kann man den 'meet’, also Schnittpunkt zweier Geraden durch das Kreuzprodukt ausdrücken:
:<math>
\mathbf{x}\propto\mathbf{l}\times\mathbf{m}
</math>
Schreibt man nun das Kreuzprodukt als Multiplikation mit einer schiefsymmetrischen Matrix, wird der Zusammenhang zur Plückermatrix offensichtlich:
:<math>
[\mathbf{l}]_{\times}=\mathbf{a}\mathbf{b}^{\top}-\mathbf{b}\mathbf{a}^{\top}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -l_{2} & l_{1}\\
l_{2} & 0 & -l_{0}\\
-l_{1} & l_{0} & 0
\end{array}\right)
</math>
und analog <math>[\mathbf{x}]_{\times}=\mathbf{l}\mathbf{m}^{\top}-\mathbf{m}\mathbf{l}^{\top}</math>

== Literatur ==
* {{cite book
| author = [[Jürgen Richter-Gebert]]
| publisher = Springer Science & Business Media
| title = Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Projective Geometry
| date = 2011
| isbn = 978-3-642-17286-1 |language=en
}}

* {{cite book
| author = [[Jorge Stolfi]]
| title = Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations
| publisher = [[Academic Press]]
| date = 1991
| isbn = 978-1-4832-4704-5 |language=en }}<br />From original [[Stanford University|Stanford]] Ph.D. dissertation, ''Primitives for Computational Geometry'', available as [http://www.hpl.hp.com/techreports/Compaq-DEC/SRC-RR-36.pdf].

* {{Literatur|Autor=James F. Blinn|Titel=A Homogeneous Formulation for Lines in 3 Space|Sammelwerk=Proceedings of the 4th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques|Verlag=ACM|Ort=New York, NY, USA|Datum=1977-01-01|Reihe=SIGGRAPH '77|Seiten=237–241|DOI=10.1145/563858.563900|Online=http://doi.acm.org/10.1145/563858.563900|Abruf=2016-08-04}}

== Weblinks ==
* [https://lmb.informatik.uni-freiburg.de/lectures/old_lmb/computer_vision/cvF_5a.pdf Präsentation zum Projektiven Raum in der Computer Vision] (PDF, 0,35 MB)

{{SORTIERUNG:Pluckermatrix}}
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Plücker-Matrix - Versionsgeschichte

imported>Meinichselbst: Parameter fix