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2025-02-11T16:52:09Z

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[[Datei:Cup of Russia 2010 - Yuko Kawaguti (2).jpg|mini|hochkant|Beim Eiskunstlauf wird der Pirouetteneffekt genutzt, um eine schnelle Rotation um die Körperachse zu erzielen.]]
Der '''Pirouetteneffekt''' ist die Steigerung oder Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit, die sich ergibt, wenn bei einem sich drehenden Objekt die [[Masse (Physik)|Masse]] näher zur [[Drehachse|Rotationsachse]] gezogen oder von dieser weiter entfernt wird. Im Alltag erfahrbar ist der Effekt bei der namensgebenden [[Pirouette]] im [[Eislauf|Eiskunstlauf]]. Dabei versetzen sich Eiskunstläufer zunächst bei zur Seite ausgestreckten Armen in Rotation. Wenn die Arme eng an den Körper angelegt werden, verringert sich dadurch das [[Trägheitsmoment]] <math>\Theta</math> der Läufer. Da dabei der [[Drehimpuls]] <math>L=\Theta\cdot\omega</math> erhalten bleibt, nimmt die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math> der Rotation zu. Umgekehrt verringert sich die Rotationsgeschwindigkeit, wenn die Arme ausgestreckt werden.

Das gleiche Prinzip nutzen Turner und Turmspringer beim [[Salto (Sprung)|Salto]]<ref>Sportmechanik, Abschnitt „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“, Abb. 70 auf S. 78.</ref> oder bei [[Schraube (Figur)|Schrauben]]. In der Luft werden Arme und Beine angezogen, um so aus dem beim Absprung erhaltenen Drehimpuls eine möglichst schnelle Drehung zu gewinnen. Eine Öffnung der Haltung vor dem Auftreffen auf den Boden verringert die Drehgeschwindigkeit und erlaubt eine stehende Landung.

Der Pirouetteneffekt tritt auch bei anderen Drehbewegungen auf, beispielsweise bei einem [[Tornado]] in der Entstehungsphase. Bei einer [[Supernova]] bricht der Innenbereich des [[Stern]]s zusammen, der entstehende [[Neutronenstern]] hat dann Umdrehungszeiten im Millisekundenbereich.

== Physikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts ==
{| class="wikitable float-right"
|-
! Physikalische Größe !! Formelzeichen !! SI-Einheiten
|-
| [[Drehimpuls]] || ''<math>L</math>'' ||N·m·s, kg·m2/s
|-
| [[Geschwindigkeit]] || ''<math>v</math>'' || m/s
|-
| [[Masse (Physik)|Masse]] || ''<math>m</math>'' || kg
|-
| [[Winkelgeschwindigkeit]] || ''<math>{\omega}</math>''|| rad/s
|-
| [[Trägheitsradius]]|| ''<math>i</math>'' || m
|-
| [[Rotationsenergie]] || ''<math>W</math>'' || N·m, kg·m2/s2
|-
| Hubarbeit || ''<math>W_\mathrm{Diff}</math>'' || N·m, kg·m2/s2
|}
[[Datei:Pirouette1.png|mini|Massenpunkt, der von einer Kreisbahn mit Radius <math>i_1</math> auf eine Bahn mit größerem Radius <math>i_2</math> wechselt.]]

Der [[Drehimpuls]] <math>\vec{L}</math> lässt sich ausdrücken als Produkt von [[Trägheitsradius]] <math>i</math>, [[Masse (Physik)|Masse]] <math>m</math> und [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec{\omega}</math>:
:<math>\vec{L} = i^2\, m\, \vec{\omega} </math>
Aufgrund der [[Drehimpulserhaltung]] gilt für ein System ohne äußere Einflüsse und unveränderter Masse, wobei die Indizes <math>1</math> und <math>2</math> zwei Zustände des Systems bezeichnen:
:<math>L_1 = m \cdot i_1^2 \cdot \omega_1 = m\cdot i_2^2\cdot \omega_2 = L_2</math>

Daraus ergibt sich, dass die Winkelgeschwindigkeiten sich antiproportional zu den Quadraten der Trägheitsradien verhalten:
:<math>\frac{i_1^2}{i_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}</math>

Für Punktmassen im Abstand <math>i</math> kann die Umfangsgeschwindigkeit <math>v_{1,2}=i_{1,2}\cdot\omega_{1,2}</math> an Stelle der Winkelgeschwindigkeit genutzt werden, sodass gilt:
:<math>\frac{i_1}{i_2} = \frac{v_2}{v_1}.</math>

Da die [[Rotationsenergie]]n <math>\textstyle W=\frac{m}{2}\cdot v^2</math> ist, gilt
:<math>\frac{W_1}{W_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{i_2^2}{i_1^2}.</math>

Bei konstanter Masse <math>m_1=m_2</math> können, wenn beispielsweise Trägheitsradien und eine der Winkelgeschwindigkeiten bekannt sind, mit obiger Formel die andere Winkelgeschwindigkeit, die Rotationsenergien sowie die Hubarbeit <math>W_\mathrm{Diff}=W_1-W_2</math> berechnet werden.

[[Datei:Pirouette2.png|mini|Ermittlung der Hubarbeit <math>W_\mathrm{Diff}</math> als Produkt aus Kraft und Weg. Die [[Zentrifugalkraft]] <math>F_\mathrm{Zf}=m\omega^2 i</math> wird über die Änderung des Radius <math>i</math> integriert.]]
Die Hubarbeit kann auch direkt ermittelt werden:
:<math>\begin{align}W_\mathrm{Diff} &= \frac{m}{2} \cdot \left(\omega_1^2\cdot i_1^2-\omega_2^2\cdot i_2^2\right)\\
&=\frac{m}{2} \cdot\omega_1^2\cdot i_1^2 \left(1-\frac{i_1^2}{i_2^2}\right)
\end{align}</math>

Der Pirouetteneffekt ist ein Wechselspiel zwischen Hubenergie und Rotationsenergie. Die Differenz der Rotationsenergien ist die Hubarbeit, die beim Wechsel auf einen kleineren Radius wieder in Rotationsenergie zurückverwandelt werden kann; d. h., die Verringerung des Radius erfordert einen wachsenden Kraftaufwand über die Distanz <math>i_2 - i_1 </math>. Bei der Vergrößerung des Radius wird die in der Rotation gebundene Energie frei.

Der Trägheitsradius eines Massenpunkt ist sein Abstand von der Rotationsachse. Bei mehreren Massepunkten wird dieser effektive Abstand bestimmt, indem die Beiträge alle Massen <math>m_l</math> mit ihren jeweiligen Radien <math>r_l</math> aufsummiert werden:
:<math>i^2\sum_l m_l=\sum_l r_l^2 \cdot m_l</math>
Für [[Starrer Körper|starre Körper]], die nicht um eine [[Hauptträgheitsachse]] rotieren, was bei Massenpunkten, die untereinander wechselwirken und sich nicht in einer Ebene senkrecht zur Drehachse befinden, im Allgemeinen der Fall ist, muss die Drehimpulserhaltung
:<math>\begin{align} \vec L_1 &= \vec L_2\\
\mathbf\Theta_1\vec \omega_1 &= \mathbf\Theta_2\vec \omega_2
\end{align}</math>
mit den [[Trägheitstensor]]en <math>\mathbf\Theta_1</math> und <math>\mathbf\Theta_2</math> angenommen werden.

== Trigonometrische Erklärung ==
[[Datei:Pirouette3.png|mini|hochkant=1.5|Geschwindigkeits- und Energieberechnung mit Winkelfunktionen]]
Der rotierende Massenpunkt wird vom Radius <math>i_1</math> zum Radius <math>i_2</math> versetzt, etwa durch Verlängern der Verbindung mit dem Drehpunkt. Die Masse bewegt sich tangential geradlinig weiter bis zur äußeren Bahn. Dabei nimmt sie die Geschwindigkeit <math>v_1</math> und die Rotationsenergie aus dem inneren Radius als kinetische Energie bis zum Radius <math>i_2</math> mit:
: <math> W_1 = \frac{1}{2}m \, v_1^2</math>
Auf dem äußeren Radius kann die Geschwindigkeit <math>v_1</math> in die Komponenten <math>v_2</math> und <math>v_\mathrm R</math> zerlegt werden. <math>v_2</math> ist die neue Umfangsgeschwindigkeit, und <math>v_\mathrm R</math> ist die gedachte [[Radialgeschwindigkeit]], die jedoch, weil sie auf dem neuen Radius = Null ist, in Hubarbeit umgerechnet werden kann.

{{Tabellenstile}}
{| class="wikitable mw-datatable"
|+ Die im Bild verwendeten Variablen
! Physikalische Größe || Formel
|-
| ||<math> \cos(\alpha) = \sqrt{1 - ( i_1/i_2 )^2}</math>
|-
|Umfangsgeschwindigkeit2||<math> v_2 = \sin(\alpha)\, v_1</math>
|-
|Radialvektor||<math> v_\mathrm R = \cos(\alpha)\, v_1</math>
|-
|Rotationsenergiedifferenz||<math> W_\mathrm{Diff} = \frac{1}{2}m \, v_\mathrm{R}^2</math>
|}
Die Art des Übergangs auf einen anderen Radius spielt für den Endzustand keine Rolle. In der Praxis wird die Bewegung spiralförmig verlaufen, im Ergebnis entsprechen aber die Werte für Energie und Geschwindigkeit dem vereinfachten Beispiel.

== Geltungsbereich ==
Der Pirouetteneffekt im eigentlichen Sinn mit den im Abschnitt ''Physikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts'' genannten Abhängigkeiten betrifft rotierende Massen, die mechanisch an die Drehachse gekoppelt sind. Bei [[Fluiddynamik|hydrodynamischen]], atomaren und [[Himmelsmechanik|himmelsmechanischen]] Vorgängen können viele auftretende Phänomene in Analogie zum Pirouetteneffekt beschrieben werden. Hier müssen allerdings auch andere Zusammenhänge und Effekte berücksichtigt werden.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Günther Bäumler |Titel=Sportmechanik: Grundlagen für Studium und Praxis |Verlag=BLV Verlagsgesellschaft |Ort=München Wien Zürich |Jahr=1981 |ISBN=3-405-12435-2}}
* {{Literatur |Autor=David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker |Titel=Physik |Auflage=2. Auflage |Verlag=WILEY-VCH Verlag GmbH & co. KGaA |Jahr=2009 |Ort=Berlin |ISBN=978-3-527-40645-6}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Pirouetteneffekt - Versionsgeschichte

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