imported>Loginf20: Die Iterationsschreibweise wurde von hochgestellt auf tiefgestellt geändert, um Verwechslungen mit Ableitungen zu vermeiden. Dadurch sehen x₀ (Anfangsbedingung) und xₙ (Iteration) zwar ähnlich aus, aber diese Schreibweise unterscheidet Iterationen besser von Potenzen/Ableitungen. Zudem ist diese Notation in der Literatur ebenso üblich.

2025-01-31T09:35:13Z

Die Iterationsschreibweise wurde von hochgestellt auf tiefgestellt geändert, um Verwechslungen mit Ableitungen zu vermeiden. Dadurch sehen x₀ (Anfangsbedingung) und xₙ (Iteration) zwar ähnlich aus, aber diese Schreibweise unterscheidet Iterationen besser von Potenzen/Ableitungen. Zudem ist diese Notation in der Literatur ebenso üblich.

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Als '''Picard-Iteration''' (von „[[Iteration#Numerische Mathematik|Iteration]]“) bezeichnet man in der Mathematik die von [[Charles Émile Picard]] entdeckte [[Fixpunktiteration]] zur [[Approximation|approximativen]] Lösung von [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]], die auch in dem Beweis der lokalen Version des [[Satz von Picard-Lindelöf|Satzes von Picard-Lindelöf]] verwendet wird.

== Definition ==
Betrachte das durch
:<math>x'(t) = f(t, x(t)),\quad x(t_0)=x_0</math>
gegebene [[Anfangswertproblem]], wobei <math>f(t,x)</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] und im zweiten Argument [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetige]] Abbildung und <math>t</math> aus einem reellen Zeitintervall ist.

Die Picard-Iteration ist dann gegeben durch

:<math>x_{0}(t) = x_0</math>
:<math>x_{ \ell + 1}(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, x_{\ell}(s))\, ds,\quad t\in[t_0, t_0 + \varepsilon].</math>
Die dadurch erzeugte [[Funktionenfolge]] konvergiert für hinreichend kleine <math>\varepsilon > 0</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die Lösung <math>x(t)</math>.

== Beispiel ==
[[Datei:Picard iteration.gif|right|frame|alt=Picarditeration|Animation zur Entwicklung der durch Picard-Iteration erzeugten Funktionenfolge.]]
Eine gewöhnliche Differentialgleichung sei gegeben durch
:<math>x' = \sin(t) - x</math>
mit dem Startwert:
:<math>x(0) = 1</math>

Zwei Schritte der Picard-Iteration lauten:
:<math>x_0 (t) = x(0) = 1</math>
:<math>x_{1}(t) = 1 + \int_0^t (\sin(s) - 1)\, ds = 2 - \cos(t) - t</math>
:<math>x_{2}(t) = 1 + \int_0^t (\sin(s) - (2 - \cos(s) - s))\, ds = 2 - \cos(t) - 2t + \sin(t) + \frac{t^2}{2}</math>

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Satz von Picard-Lindelöf|Beweisarchiv - Beweis der Behauptung}}
[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]

Picard-Iteration - Versionsgeschichte