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{{Dieser Artikel| behandelt das Phonon in der Festkörperphysik; zur Multimedia-API ''Phonon'' von KDE siehe [[Phonon (KDE)]].}}

Ein '''Phonon''' ist allgemein die [[elementare Anregung]] ([[Quant]]) einer [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|harmonischen Schwingung]]. In der [[Festkörperphysik]] ist das eine elementare oder kollektive Anregung der [[Gitterschwingung]]en eines [[Festkörper]]s. Phononen sind [[boson]]ische [[Quasiteilchen]].

Der Begriff Phonon (nach {{grcS|φωνή|phonē|de=Klang}}) wurde in Analogie zu den Schwingungsquanten des [[Elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feldes]], den [[Photon]]en, gewählt und zum ersten Mal von [[Jakow Iljitsch Frenkel|J. I. Frenkel]] 1932 in seinem Buch ''Wave Mechanics, Elementary Theory'' verwendet.<ref>Jakow Iljitsch Frenkel: ''Wave Mechanics. Elementary Theory.'' Clarendon Press, Oxford 1932.</ref>

== Schwingungsmoden ==
[[Datei:Vergleich optische akustische transversalwellen.svg|mini|Vergleich von optischen und akustischen Transversalwellen von Phononen bei 2-atomiger Basis für kleine '''k''']]
[[Datei:Lattice wave.svg|mini|Longitudinal-akustische Mode]]
In einem dreidimensionalen Kristall mit <math>N</math> [[Atom]]en in der [[Elementarzelle#Primitive Elementarzelle|primitiven Basis]] existieren zu jedem mit der Kristallsymmetrie verträglichen [[Wellenvektor]] <math>3N</math> mögliche [[Schwingungsmode]]n:
* <math>3</math> [[Akustik|akustische]] Moden, davon eine [[Longitudinalwelle|longitudinal]] und zwei [[Transversalwelle|transversal]]; '''akustische Phononen''' (auch als '''Schallquanten''' bezeichnet) sind die Quanten der [[Schallwelle]]n, die sich durch das [[Kristallgitter]] fortpflanzen. Im Zentrum der [[Brillouin-Zone]] bewegen sich benachbarte Atome gleichsinnig.
* <math>3N - 3</math> [[optisch]]e Moden; bei '''optischen Phononen''' bewegen sich die Atome innerhalb der Basis gegeneinander. Die Bezeichnung „optisch“ beruht darauf, dass in [[Ionenkristall]]en wie [[Natriumchlorid|NaCl]] benachbarte [[Ion]]en meist entgegengesetzte [[Elektrische Ladung|Ladung]] tragen. Die mechanischen [[Schwingung]]en entsprechen dann elektrischen [[Dipol (Physik)#Elektrische Dipole|Dipol]]<nowiki />schwingungen, die je nach Schwingungs[[frequenz]] der Phononen oft im Bereich des [[Infrarotstrahlung|infraroten]] oder sichtbaren [[Licht]]s liegen.

Die Benennung ''optische Phononen'' erfolgt dabei unabhängig davon, ob die Phononen tatsächlich in dem Sinne ''optisch aktiv'' sind, dass Phononen mit einem [[Photon]] wechselwirken:<ref>Der Begriff ''optisch aktiver'' Phononen ist dabei auch vom Begriff der [[Optische Aktivität|optischen Aktivität]] von durchsichtigen Materialien zu unterscheiden.</ref> Wechselwirkungen mit Photonen sind dabei nicht nur, dass ein Phonon erzeugt werden kann, indem ein Photon [[Absorption (Physik)|absorbiert]] wird, oder dass umgekehrt ein Photon [[Teilchenstrahlung|emittiert]] werden kann, indem ein Phonon vernichtet wird. Vielmehr gibt es auch Wechselwirkungen eines Photons mit zwei Phononen und eine Elektron-Photon-Phonon-Wechselwirkung.<ref>Udo Scherz: Vorlesungsskript „Theoretische Optik“, WS 2012, [http://www1.itp.tu-berlin.de/scherz/lehre/WS12/folie6.3.pdf Kapitel 6.3] (PDF)</ref> Optisch aktiv können Phononen nur dann sein, wenn innerhalb der Basis [[Polarisation (Elektrizität)|elektrische Polarisation]] vorliegt, was im Allgemeinen genau dann der Fall ist, wenn die Basis aus ''verschiedenen'' Atomen aufgebaut ist. Kristalle, die mit infraroten Photonen wechselwirken, nennt man ''infrarot-aktiv''. Beispiele für solche Gitter sind [[Ionengitter]], zum Beispiel in Natriumchloridkristallen.

Das Modell der Gitterschwingungen setzt eine [[kristallin]]e Ordnung voraus. Auch [[amorph]]e [[Festkörper]] wie [[Glas|Gläser]] zeigen Schwingungen der Atome untereinander, man bezeichnet diese aber ''nicht'' als phononische Schwingungen. Für langwellige akustische Schwingungen ist der Einfluss der [[Unordnung]] gering.

== Anregungsenergie und Statistik ==
Betrachtet man harmonische Gitterschwingungen im [[Reziproker Raum|reziproken Raum]], erhält man entkoppelte Oszillationen im Impulsraum ([[Normalschwingung]]en). Die [[Energiezustand|Energiezustände]] <math>\varepsilon_n</math> dieser Oszillationen sind die Niveaus eines [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|harmonischen Oszillators]] nach

: <math>\varepsilon_n(\mathbf{k}) = \hbar \cdot \omega(\mathbf k) \cdot \left( n + \frac{1}{2} \right)</math>.

Darin ist die [[Kreisfrequenz|Frequenz]] <math>\omega</math> abhängig von der [[Schwingungsmode]] <math>n</math> und dem [[Wellenvektor]] <math>\mathbf k</math>, siehe [[#Dispersion|Dispersion]].

Da Phononen zu den [[Boson]]en zählen, berechnet sich die mittlere [[Besetzungszahloperator|Besetzungszahl]] <math>\langle n\rangle</math> im [[Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]] gemäß der [[Bose-Einstein-Verteilung]] als

: <math>\langle n\rangle = \frac{1}{\mathrm e^{\hbar \cdot \omega /(k_\mathrm{B} \cdot T)} - 1}</math>

mit
* <math>\hbar</math>: [[reduzierte Planck-Konstante]]
* <math>k_\mathrm{B}</math>: [[Boltzmann-Konstante]]
* <math>T</math>: [[absolute Temperatur]].

Die Besetzungsstatistik ist vom [[Chemisches Potential|chemischen Potential]] <math>\mu</math> unabhängig, weil die [[Teilchenzahl]] der Phononen keine [[Erhaltungsgröße]] ist.

Üblicherweise werden (wie oben) statistische Gemische von Zuständen mit bestimmter Phononenzahl ([[Fock-Zustände]]) verwendet. Wie [[Roy J. Glauber]] für Photonen 1963 zeigte, gibt es aber auch für Phononen [[kohärente Zustände]] mit unbestimmter Teilchenzahl, die sehr stark klassischen Gitterschwingungen ähneln.<ref>{{Literatur |Autor=Roy J. Glauber |Titel=Photon Correlations |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=10 |Nummer=84 |Datum=1963-02-01 |Sprache=en |Online=[https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.10.84 Online]}}</ref> Während bei Fock-Zuständen der [[Erwartungswert]] der [[Auslenkung]] 0 ist, genügt er bei kohärenten Phononen-Zuständen der klassischen Zeitabhängigkeit von Gitterschwingungen.

== Nachweis ==
Die Phononendispersion, d. h. der Zusammenhang zwischen [[Energie]] und [[Impuls]] der Gitterschwingungen, kann durch die [[Neutronenstreuung|inelastische Neutronenstreuung]], die inelastische [[Röntgenstreuung]] sowie durch die [[hochauflösende Elektronenenergieverlustspektroskopie]] (HREELS) untersucht werden. Phononen mit kleinem Impuls, d. h. im Zentrum der [[Brillouin-Zone]], können durch [[Raman-Spektroskopie|Raman-]], [[Infrarot-Spektroskopie]] oder [[Brillouin-Streuung]] nachgewiesen werden. Die erste Phononen-Dispersionskurve wurde 1955 am Chalk River Reaktor von [[Bertram Brockhouse]] mit Neutronenstreuung an einem Aluminium[[einkristall]] aufgenommen.<ref>{{cite journal |first1=B.N. |last1=Brockhouse |first2=A.T. |last2=Stewart |title=Scattering of Neutrons by Phonons in an Aluminum Single Crystal |journal=Physical Review |volume=100 |pages=756 |doi=10.1103/PhysRev.100.756 |date=1955 |url=http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.100.756 |language=en}}</ref>

== Dispersion ==
Die [[Dispersionsrelation]] gibt die Abhängigkeit der Energie bzw. [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> vom Impuls bzw. [[Wellenzahl]] <math>k</math> an. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der [[Newtonsche Axiome#Zweites newtonsches Gesetz: Das Aktionsprinzip („lex secunda“)|Newtonschen Bewegungsgleichung]]. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V</math> befinden, in dem sie [[Schwingung]]en ausführen.

Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von <math>k a</math>, wobei <math>a</math> der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von <math>2\pi</math> entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math>. Das entspricht <math>k</math>-Werten aus der ersten [[Brillouin-Zone]], also <math>k\in\lbrack -\pi/a,\pi/a \rbrack </math>. Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

=== Akustische Moden ===
[[Datei:Monoatomic chain phonon dispersion.svg|mini|Dispersionsrelation <math> \omega (k) </math>]]
Für das einfache Modell einer [[Lineare Kette|linearen Kette]] von Atomen, die durch Federn miteinander verbunden sind, lautet die Dispersionsrelation in erster Näherung
: <math> \omega (k) = 2 \sqrt{\frac{C}{m}} \left| \sin \left( \frac{k a}{2}\right) \right| </math>,
wobei ''C'' (gemessen in kg/s<sup>2</sup>) die [[Federkonstante]] zwischen den zwei benachbarten Ebenen und ''m'' die Masse des Atoms ist.

Für niedrige Werte von <math>k \left( a k \ll 1 \right)</math> lautet der Ausdruck näherungsweise
: <math> \omega (k) \approx a \sqrt{ \frac{C}{m}} |k|=c_\mathrm{s} |k| </math>.
<math>c_\mathrm{s}</math> ist die Schallgeschwindigkeit.
An den Zonengrenzen gilt
: <math> \omega = 2 \sqrt{ \frac{C}{m}} = \text{const} .</math>

Die [[Gruppengeschwindigkeit]], also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu
: <math>v_\mathrm{g} = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{C a^2}{m}} \cos \left( \frac{k a}{2}\right) </math>.
Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: Die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.<ref>{{Literatur |Autor=[[Siegfried Hunklinger]] |Titel=Festkörperphysik |Auflage=5. |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin/Boston |Datum=2018 |ISBN=978-3-11-056774-8 |Seiten=187-192 |Online={{Google Buch|BuchID=fEpADwAAQBAJ}} |Sprache=de}}</ref>

=== Optische Moden ===
Optische Äste existieren nur bei einer mehratomigen [[Basis (Kristall)|Basis]]. Die Formel beschreibt die Dispersionsrelation für das Modell einer linearen Kette mit zwei unterschiedlichen Atomen, welche die Massen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> haben. Die Kraftkonstante <math>C</math> bleibt konstant. Es ergibt sich<ref>Kittel: ''Einführung in die Festkörperphysik''. 5. Auflage. Oldenbourg, 1980, S. 134 ff.</ref><ref>Ibach, Lüth: ''Festkörperphysik''. Springer 1990, S. 57</ref>

: <math>\omega^2(k) = \frac{C(m_1+m_2)}{m_1\cdot m_2}\left[ 1 + \sqrt{1- \frac{4m_1\cdot m_2}{(m_1+m_2)^2}\cdot \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)} \, \right]</math>

und damit näherungsweise <math>\omega^2 \approx 2 \, \frac{C(m_1+m_2)}{m_1\cdot m_2}</math> für den optischen Zweig.

Der optische Zweig ist normalerweise höherfrequenter als der akustische Zweig und nahezu dispersionslos. Der akustische Zweig entspricht in obiger Formel einem Minuszeichen vor der Wurzel.

== Siehe auch ==
* [[Kohn-Anomalie]]
* [[Huang-Rhys-Faktor]]

== Literatur ==
{{Siehe auch|Festkörperphysik}}

=== Fachliteratur ===
* {{Literatur |Autor=Feliciano Giustino |Titel=Electron-phonon interactions from first principles |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=89 |Nummer=1 |Datum=2017-02-16 |Sprache=en |Seiten=015003 |DOI=10.1103/RevModPhys.89.015003}}
* {{Literatur |Autor=Michael A. Stroscio, Mitra Dutta |Titel=Phonons in nanostructures |Verlag=Cambridge Univ. Press |Ort=Cambridge |Datum=2005 |Sprache=en |Umfang=en |ISBN=0-521-01805-6}}
* {{Literatur |Autor=J. M. Ziman |Titel=Electroncs and Phonons |Verlag=Oxford University Press ; Clarendon Press |Ort=Oxford ; Clarendon |Datum=1962 |Sprache=en |Reihe=The International Series of Monographs on Physics |Online=[https://archive.org/details/electronsphonons0000jmzi Online]}}

=== Lexikon der Physik ===
* {{Literatur |Titel=Phononen |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weberl |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003 |ISBN=3-86025-296-8 |Online=[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/phononen/11157 Online] |Sprache=de}}
* {{Literatur |Titel=Optische Phononen |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weberl |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003 |ISBN=3-86025-296-8 |Online=[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/optische-phononen/10703 Online] |Sprache=de}}
* {{Literatur |Titel=Dispersionsrelation für Phononen |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weber |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1999 |ISBN=3-8274-0382-0 |Online=[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/dispersionsrelation-fuer-phononen/3191 Online] |Sprache=de}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Lattice vibrations|Phonon}}
* Dieter Suter: [https://qnap.e3.physik.tu-dortmund.de/suter/Vorlesung/Festkoerperphysik_WS21/4_Phononen.pdf ''Gitterschwingungen und Phononen''] In: ''Einführung in die Festkörperphysik'', (Unterrichtsmaterialien) Universität Dortmund 2021
* [http://www.4phys.de/Website/qm/quantkette.html Einführende Darstellung zu Phononen und kohärenten Phononen bei der linearen Kette]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4129373-3|LCCN=sh85101066|NDL=00568885}}

[[Kategorie:Quasiteilchen]]
[[Kategorie:Boson]]

Phonon - Versionsgeschichte

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