~2025-52991-9: Das Minus vor dem Arkustangens ist falsch. https://www.physikerboard.de/topic,40328,-phasengang-berechnen.html

2025-09-05T18:52:43Z

Das Minus vor dem Arkustangens ist falsch. https://www.physikerboard.de/topic,40328,-phasengang-berechnen.html

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{{Lückenhaft|Die geometrische Diskussion in der s-Ebene fehlt (Laplace-Transformation)}}
[[Datei:TP100Hz Phase log.svg|mini|Beispiel eines Tiefpass-Phasengangs]]
Der '''Phasengang''', auch ''Phasenfrequenzgang'' oder ''Phasenmaß'' (englisch {{lang|en|''phase response''}}), wird meistens im Zusammenhang mit dem [[Amplitudengang]] oder Amplitudenfrequenzgang betrachtet.

Aus der [[Phasenverschiebung]] lässt sich über eine [[Differentialrechnung|Ableitung]] nach der [[Frequenz]] die [[Gruppenlaufzeit]] errechnen, die anschaulich gesprochen die frequenzabhängige Signalverzögerung beschreibt.

Amplituden- und Phasengang zeigen in der Darstellung der Frequenzebene in einem [[Signal]] oder frequenzsensitiven System die Abhängigkeit der [[Amplitude]] und der Phase von der Frequenz (Amplituden- und Phasendiagramm).

Vereinfacht gesagt, gibt der Phasengang die frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal an.
Ein einfaches Beispiel ist ein [[Hochpassfilter]], an dem ein sinusförmiges Signal angelegt wird. Je nach Frequenz ist das Ausgangssignal zum Eingangssignal phasenverschoben.

Beide Größen als Graph dargestellt, bezeichnet man auch als [[Amplitudengang]] (Betragsfrequenzgang) bzw. Phasengang (Phasenfrequenzgang), in Kombination auch [[Bode-Diagramm]] genannt. Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.

== Messtechnische Einschränkungen ==
In der Messtechnik wird zum Aufnehmen des Phasengang üblicherweise ein kontinuierliches Sinussignal verwendet, was dazu führt, dass Phasenverschiebungen nur im Bereich von ±180° bzw. ±[[Kreiszahl|π]] gemessen werden können. Aus einem messtechnisch aufgenommenen Phasengang lässt sich daher nur bedingt die Gruppenlaufzeit ableiten.

== Theorie ==
Zunächst trennt man die Übertragungsfunktion eines kausalen, linearen, zeitinvarianten Systems nach [[Realteil|Real-]] und [[Imaginärteil]] auf:

:<math>
\mathcal {}H(\mathrm{j}\omega)=M(\omega)+\mathrm{j}N(\omega)
</math>

In einem zweiten Schritt benötigt man das Übertragungsmaß

:<math>
\mathcal {}\Gamma(\omega) = A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega)
</math>,

das mit der [[Übertragungsfunktion]] durch folgende Gleichung zusammenhängt:

:<math>
H(j\omega) = e^{-\Gamma} = e^{-(A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega))} = e^{-A(\omega)}\cdot e^{-\mathrm{j}B(\omega)}
</math>

Der zweite Faktor, <math>\mathcal {}e^{-jB(\omega)}</math>, ist hierbei der Phasenterm, dementsprechend entspricht das
<math>\mathcal {}B(\omega)</math> der Phase in Abhängigkeit von der Frequenz und stellt den Phasengang dar.

Führt man nun die Phase <math>\mathcal {}B(\omega)</math> auf die ursprüngliche Übertragungsfunktion zurück, ergibt sich

:<math>
B(\omega) = \arctan{\frac{N(\omega)}{M(\omega)}}
</math>

Die Nicht-Eindeutigkeit der [[Arkustangens]]-Funktion führt zu den in den oberen Abschnitten beschriebenen Einschränkungen (Wertebereich nur <math>\mathcal {}-\pi</math> bis <math>\mathcal {}\pi</math>).

Problematisch sind diejenigen Stellen, an denen die Übertragungsfunktion <math>\mathcal {}H(j\omega)</math> Null- oder Polstellen aufweist, da sich durch

:<math>\mathcal {}\Gamma = - \ln{H(\mathrm{j}\omega)}</math>

für <math>\mathcal {}\Gamma</math> dort dann Singularitäten ergeben.

Um die Phase nun bestimmen zu können, ist es sinnvoll, vom Fourier-Bereich in den Laplace-Bereich (s-Ebene) zu wechseln (vgl. [[Laplace-Transformation]]), also nicht nur die imaginäre Achse, sondern die komplette komplexe Frequenzebene zu betrachten.
Eine erste Forderung, die benötigt wird, um den Phasenverlauf bestimmen zu können, ist

:<math>
\mathcal {}\Gamma(0) = 0
</math>

Damit ist ein Startwert festgelegt, um die Nicht-Eindeutigkeit der Phase (<math>\mathcal {}\pm 2\pi</math>) zu umgehen.
Um den Phasenverlauf nun tatsächlich bestimmen zu können, läuft man in der s-Ebene entlang der imaginären Achse ausgehend vom Ursprung zu den positiven Frequenzen und vom Ursprung aus in Richtung der negativen Frequenzen und umgeht dabei die Pol- und Nullstellen durch halbkreisförmige „Einbuchtungen“ in die rechte Halbebene.

''Erklärung anhand eines Beispiels: n-fache [[Nullstelle]] von <math>\mathcal {}H(s)</math> bei <math>\mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0</math>.''

[[Taylor-Entwicklung]] in der Nähe der Nullstelle, Abbruch nach dem ersten Glied:

:<math>
\mathcal {}H(s) = (s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)}
</math>

wobei <math>\mathcal {}H^{(n)}</math> den Wert der n-ten Ableitung an der Stelle <math>\mathcal {}\mathrm{j}\omega_0</math> meint.

Halbkreisförmige Einbuchtung: Radius <math>\mathcal {}\rho</math>, Winkel <math>\mathcal {}\theta = [-\tfrac{\pi}{2} \ldots \tfrac{\pi}{2}]</math>

:<math>
\mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}
</math>

folgt:

:<math>
\mathcal {}H(s)(s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = (\mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = \rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta}</math>

und demnach:
:<math>
\mathcal {}\Gamma(\omega) = -\ln{H(s)}=-\ln(\rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta})=-n\ln{\rho}-\ln {H^{(n)}}-\mathrm{j}n\theta
</math>

für die Phase gilt nun:
:<math>
\mathcal {}B(\omega) = \arg(H^{(n)})-n\theta
</math>

Da sich <math>\mathcal {}\theta</math> entlang dieser Einbuchtung um <math>\mathcal {}\pi</math> ändert, ändert sich die Phase insgesamt um <math>\mathcal {}-n\cdot \pi</math>.

Bei einer Polstelle ergeben sich die umgekehrten Vorzeichenverhältnisse, die Phase nimmt um <math>\mathcal {}n\cdot \pi</math> zu.

== Siehe auch ==
* [[Frequenzgang (System)]], [[Ortskurve (Systemtheorie)]], [[Bode-Diagramm]] und [[Smith-Diagramm]]

== Literatur ==

* Alfred Fettweis: ''Elemente nachrichtentechnischer Systeme.'' 2. Auflage. J.Schlembach Fachverlag, Wilburgstetten 2004, ISBN 3-935340-41-9.
* Gert Hagmann: ''Grundlagen der Elektrotechnik.'' 6. Auflage. AULA-Verlag GmbH, Wiesbaden 1997, ISBN 3-89104-614-6.
* [[Curt Rint]]: ''Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker Band 2.'' 13. Auflage. Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.

== Weblinks ==
* [http://www.schoeps.de/D-2004/PDFs/Mikrofonbuch_Kap7.pdf#search=Phase Es gibt Tonmeister, die vom Phasengang falsch erwarten, dass er so konstant verläuft wie der Amplitudenfrequenzgang – pdf] (547 kB)
* [https://www.physikerboard.de/topic,40328,-phasengang-berechnen.html Phasengang berechnen - Physikerboard - Forum]

[[Kategorie:Diagramm]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Systemdarstellung]]

Phasengang - Versionsgeschichte

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