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2025-11-21T21:07:01Z

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In den [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebieten der [[Analysis]] und der [[Differentialgeometrie]] bezeichnet '''Pfaffsche Form''' (nach [[Johann Friedrich Pfaff]])<ref>Günther J. Wirsching: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen.'' Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-519-00515-8, S. 63, [https://books.google.de/books?id=yyiqlI8euUsC&pg=PA63&hl=de books.google.de]</ref>, '''Kovektorfeld'''<ref>{{Literatur |Autor=Rainer Oloff |Titel=Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie |Auflage=5. |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort= |Datum=2010 |ISBN=978-3834810076 |Seiten=39}}</ref> oder kurz '''1-Form'''<ref name="Lee130">John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 130.</ref> ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem [[Vektorfeld]] ist. Es ist eine [[Differentialform]] vom Grad 1. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für [[Kurvenintegral|Wegintegrale]].

== Definition ==

Mit <math>U \subset \R^n</math> wird im Folgenden eine offene Teilmenge des euklidischen Raums bezeichnet. Eine ''Pfaffsche Form'' <math>\omega</math> auf <math>U</math> ordnet jedem Punkt <math>p\in U</math> eine [[Linearform]] <math>\omega_p\colon\mathrm T_pU\to\mathbb R</math> zu. Derartige Linearformen heißen ''Kotangentialvektoren''; sie sind Elemente des [[Dualraum]]es <math>\mathrm T^*_pU</math> des [[Tangentialraum]]es <math>\mathrm T_pU</math>. Der Raum <math>\mathrm T^*_pU</math> wird ''[[Kotangentialraum]]'' genannt. Mit <math>\textstyle \bigsqcup_{p\in U}\mathrm T^*_pU</math> wird die [[disjunkte Vereinigung]] aller Kotangentialräume bezeichnet. Dieser Raum heißt [[Kotangentialbündel]].

Eine Pfaffsche Form <math>\omega</math> ist also eine Abbildung
: <math>\omega\colon U\to\bigsqcup_{p\in U}\mathrm T^*_pU,\quad p\mapsto\omega_p\in\mathrm T^*_pU</math>.

== Andere Definitionen ==

Sei weiterhin <math>U \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge. Obige Definition ist zu jeder der folgenden Aussagen äquivalent:
* Eine differenzierbare Pfaffsche Form ist eine <math>C^\infty(U)</math>-lineare Abbildung <math>\Gamma\mathrm (TU)\to C^\infty(U)</math>, wobei <math>\Gamma\mathrm (TU)</math> den Vektorraum der differenzierbaren Vektorfelder auf <math>U</math> bezeichnet. Stetige oder messbare Pfaffsche Formen sind analog definiert.
* Die oben gegebene Menge <math>\textstyle \bigsqcup_{p\in U}\mathrm T^*_pU</math> wird als [[Kotangentialbündel]] bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale [[Vektorbündel]] des [[Tangentialbündel]]s. Eine Pfaffsche Form kann damit als [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] des Kotangentialbündels definiert werden.
* Die Pfaffschen Formen sind genau die kovarianten [[Tensorfeld]]er erster Stufe.

== Totales Differential einer Funktion ==
{{Hauptartikel|Totales Differential}}

Ein zentrales Beispiel einer Pfaffschen Form ist das totale Differential einer [[Differenzierbare Funktion|differenzierbaren Funktion]].

Sei also <math>f\colon U\rightarrow\mathbb{R}</math> eine differenzierbare Funktion und ist <math>X\in\mathrm T_pU</math> ein Tangentialvektor, so ist das totale Differential <math>\mathrm df</math> definiert als
: <math>(\mathrm df)_p(X)=Xf</math>,
also gleich der [[Richtungsableitung]] von <math>f</math> in Richtung <math>X</math>.

Ist also <math>\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to U</math> ein Weg mit <math>\gamma(0)=p</math> und <math>\dot\gamma(0)=X</math>, so ist
:<math>(\mathrm df)_p(X)=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t))</math>.

Es gilt:
* <math>\mathrm d\lambda=0,</math> falls <math>\lambda\in\mathbb R</math> eine [[konstante Funktion]] ist;
* <math>\mathrm d(fg)=f\cdot\mathrm dg+g\cdot\mathrm df</math> für differenzierbare Funktionen <math>f,g\in C^\infty(U)</math>.

Ist auf <math>U</math> ein [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> gegeben, so lässt sich das totale Differential von <math>f</math> mit Hilfe des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] darstellen:
: <math>(\mathrm df)_p(X)=\langle\mathrm{grad}\,f,X\rangle</math>.

== Koordinatendarstellung ==

Es sei <math>x_1,\ldots,x_n</math> ein [[Koordinatensystem]] auf der offenen Menge <math>U \subset \R^n</math>. Die Koordinaten können als Funktionen
: <math>x_i\colon U\to\mathbb R,\quad p\mapsto x_i(p)</math>
aufgefasst werden, die einem Punkt seine <math>i</math>-te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale <math>\mathrm dx_1,\ldots,\mathrm dx_n</math> dieser Funktionen bilden eine ''lokale Basis''. Das heißt, für jeden Punkt <math>p\in U</math> ist
: <math>\{(\mathrm dx_1)_p,\ldots,(\mathrm dx_n)_p\}</math>
eine Vektorraumbasis von <math>\mathrm T^*_pU</math>. Somit hat jeder Kotangentialvektor <math>\phi \in \mathrm T^*_pU</math> eine Koordinatendarstellung
:<math>\phi = \sum_{i=1}^n c_i (\mathrm{d} x_i)_p </math>
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten <math>c_i \in \R</math>. Also kann auch jede Pfaffsche Form <math>\omega</math> auf eindeutige Weise durch
: <math>\omega = f_1\,\mathrm dx_1+\dotsb +f_n\,\mathrm dx_n = \sum_{i=1}^n f_i \mathrm{d} x_i</math>
mit Funktionen <math>f_i\colon U\to\mathbb R</math> dargestellt werden.<ref>[[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Integralrechnung im <math>\R^n</math> mit Anwendungen.'' 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1, S. 193–194.</ref>

Die totale Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion <math>f\colon U\to\mathbb R</math> hat die Darstellung
: <math>\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm dx_1+\dotsb+\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm dx_n = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm dx_i</math>.

== Kurvenintegral ==

{{Hauptartikel|Kurvenintegral}}

=== Definition des Kurvenintegrals ===

Es sei <math>\varphi\colon[a,b]\rightarrow U</math> ein stetig differenzierbarer [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>U</math> und <math>\omega</math> eine 1-Form auf <math>U</math>. Dann ist das Integral von <math>\omega</math> entlang <math>\varphi</math> definiert als:
: <math>\int_\varphi\omega=\int_a^b\omega_{\varphi(t)}(\dot\varphi(t))\,\mathrm dt</math>
Dabei bezeichnet <math>\dot\varphi</math> die Ableitung von <math>\varphi</math> nach dem Parameter <math>t</math>.

=== Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals ===

Eine stetig differenzierbare Funktion <math>\varphi\colon[a,b]\to\R^3</math> stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter <math>t\in[a,b]</math> kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt <math>t=a</math> befindet man sich am Ort <math>\varphi(a)</math>. Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort <math>\varphi(b)</math> gefahren. Also zum Zeitpunkt <math>t=b</math> ist der Endpunkt <math>\varphi(b)</math> der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt <math>t</math> der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung <math>\varphi\colon[a,b]\rightarrow\R^3</math>.

Dieselbe Kurve kann auf unterschiedliche Weise durchfahren werden. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist, mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, erfolgt also die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Integrals.

[[Datei:Pfaffsche Form 001.jpg|mini|hochkant=1.3|Kurve <math>\varphi(t)</math> nach der Bogenlänge parametrisiert]]
Im Anschauungsraum <math>\R^3</math> können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor <math>\omega</math> entspricht der Vektor <math>\vec w</math>, für den
: <math>\omega(\vec x)=\langle\vec w,\vec x\rangle</math> für alle <math>\vec x\in\R^3</math>
gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:
: <math>\int_\varphi\omega=\int_{a}^{b} \langle \vec w, \dot\varphi(t)\rangle\,\mathrm dt</math>
Ist die Kurve [[Länge (Mathematik)#Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge|nach der Bogenlänge parametrisiert]], so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors <math>\vec w</math> auf die Tangente <math>\tau</math> an die Kurve:
: <math>\int_\varphi\omega=\int \|\vec w\|\cdot\cos\angle(\vec w,\vec\tau)\,\mathrm ds</math>

=== Kurvenintegral des totalen Differentials ===

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials <math>\mathrm dF</math> entlang eines Weges <math>\varphi\colon[a,b]\to U</math> gilt:
: <math>\int_\varphi\mathrm dF = F(\varphi(b))-F(\varphi(a))</math>

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also <math>\varphi(a)=\varphi(b)</math>, ist somit gleich Null:
: <math>\oint_\varphi\mathrm dF=0</math>

Im Spezialfall <math>U\subset\R</math> und <math>\varphi(t)=t</math> ergibt sich der [[Fundamentalsatz der Analysis]], da das Integral auf der linken Seite
: <math>\int_\varphi\mathrm dF=\int_a^bF'(t)\,\mathrm dt</math>
ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

== Stammfunktion ==
Jede stetige Differentialform <math>f \mathrm{d} x</math> auf einem Intervall <math>I \subset \R</math> besitzt nach dem [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] eine [[Stammfunktion]], also eine Funktion <math>F</math> mit <math>\mathrm{d} F = f \mathrm{d} x</math>. Im mehrdimensionalen Fall gilt dies nicht mehr.

=== Definition der Stammfunktion für Pfaffsche Formen ===

Eine stetig differenzierbare Funktion <math>F\colon U\rightarrow\mathbb{R}</math> heißt Stammfunktion der Pfaffschen Form <math>\omega</math>, wenn
: <math>\mathrm dF=\omega</math>
gilt.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 182.</ref>

=== Exakte und geschlossene Formen ===

Eine 1-Form heißt ''exakt'', wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form <math>\textstyle \omega =\sum_{i=1}^n f_i\,\mathrm dx_i</math> heißt ''geschlossen'', wenn gilt:
: <math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}</math> für alle <math>i,j</math>
Allgemeiner kann ein [[totales Differential]] definiert werden, das jeder 1-Form eine [[Differentialform|2-Form]] <math>\mathrm d\omega</math> zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn <math>\mathrm d\omega=0</math> gilt. Aus dem [[Satz von Schwarz]] folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

=== Existenz einer Stammfunktion ===

Geschlossenheit einer Pfaffschen Form ist also eine [[notwendige Bedingung]] für Exaktheit. Das [[Poincaré-Lemma]] macht eine Aussage darüber, wann geschlossene Pfaffsche Formen auch exakt sind. Die Voraussetzungen für die Umkehrung sind von globaler Natur: In einem [[Sterngebiet|sternförmigen Gebiet]] <math>U\subset\mathbb{R}^n </math> besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion – ist also exakt. Insbesondere ist jede geschlossene Pfaffsche Form lokal exakt.

Eine stetige Pfaffsche Form <math>\omega</math> auf einem Gebiet <math>U\subset\mathbb{R}^n </math> besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von <math>\omega</math> entlang jeder geschlossenen Kurve <math>\varphi</math> in <math>U</math> verschwindet.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 183–184.</ref>

== Pfaffsche Formen auf Mannigfaltigkeiten ==
Bisher wurden Pfaffsche Formen auf einer offenen Menge des <math>\R^n</math> betrachtet. Es ist möglich, diese Definition auf [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en zu erweitern. Mannigfaltigkeiten sind [[Raum (Mathematik)|Räume]] die lokal wie der <math>\R^n</math> aussehen. So kann man Pfaffsche Formen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> ebenfalls als Schnitt im Kotangentialbündel <math>T^*M</math> definieren.<ref name=Lee130 />

Gleichungen der Form <math>\omega = 0</math>, wobei <math>\omega</math> eine Pfaffsche Form ist, werden Pfaffsche Gleichungen genannt. Ist <math>N \subset M</math> eine ([[Immersierte Untermannigfaltigkeit|immersierte]]) [[Untermannigfaltigkeit]] von <math>M</math>, so heißt <math>N</math> [[Integralmannigfaltigkeit]], wenn ein <math>\omega</math> existiert, so dass für alle <math>\xi \in T_pN</math> die Pfaffsche Gleichung <math>\omega_p(\xi) = 0</math> für alle <math>p \in N</math> erfüllt ist.<ref>{{Literatur |Titel=Pfaffsche Gleichung |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Physikalische Beispiele für Pfaffsche Formen ==

=== Kraftfeld ===

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort <math>\vec r</math> ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt <math>\vec r\in \mathbb{R}^3</math> einen Kraftvektor <math>\vec F(\vec r)</math> zu. Jedem Kraftvektor <math>\vec F(\vec r)</math> kann eine lineare Abbildung <math>\left\langle \vec F, \cdot \right\rangle</math> zugeordnet werden, die mittels des [[Skalarprodukt]]es <math>\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle</math> einen beliebigen Vektor <math>\vec r</math> linear auf den Zahlenkörper <math>\mathbb{R}</math> abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei <math>\vec e_i</math> mit <math>i=1,2</math> oder <math>3</math> die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

: <math>\left\langle \vec F, \cdot \right\rangle =\sum_{i=1}^3 F_i dx_i</math>

Die Differentiale <math>dx_i</math> sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

: <math>\left\langle \vec e_i, \cdot \right\rangle = dx_i</math>.

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges <math>\vec\varphi\colon\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}^3</math> von einem Ort <math>\vec\varphi(a)</math> zu einem Ort <math>\vec\varphi(b)</math> zu bewegen. Die Größe <math>W</math> der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

: <math>W=\int_{\vec \varphi} \left\langle \vec F, \cdot \right\rangle = \int_{a}^{b} \left\langle \vec F(\vec \varphi(s)), \dot{\vec \varphi}(s)\right\rangle \mathrm{d}s</math>.

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe <math>W</math> der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion <math>V</math> eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft <math>\vec F</math> genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials <math>V</math> wiederum die Kraft <math>\vec F</math> dar. Es gilt:

: <math>\vec F=-\mathrm{grad}\, V = -\nabla \, V</math>.

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

=== Thermodynamik ===
In der Thermodynamik werden Gesetzmäßigkeiten meist als Beziehungen zwischen 1-Formen formuliert. Den Gleichgewichtszuständen eines [[Thermodynamisches System|thermodynamischen Systems]] entsprechen im mathematischen Modell Punkte einer reellen Mannigfaltigkeit <math>Z_g</math>. Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Gleichgewichtszustandes reicht bei einfachen thermodynamischen Systemen die Angabe von <math>n</math> Arbeitskoordinaten und dem Wert der inneren Energie <math>U</math> des Systems aus. Diese Größen bilden Tupel <math>( U, \alpha_1,...,\alpha_n)</math> eines Koordinatensystems, das die Mannigfaltigkeit <math>Z_g</math> eineindeutig auf ein Gebiet <math>\mathcal U \subset \mathbb R^{n+1}</math> abbildet. Die Arbeitsparameter <math>\alpha_1,...,\alpha_n</math> sind je nach dem betrachteten konkreten System etwa Volumenwerte oder andere messbare Größen, mit welchen im mathematischen Modell der Zustand der äußeren Bedingungen des Systems erfasst werden kann.<ref name="LudwigBd4Thermostatik"/><ref name="TheodoreFrankel_GeometryOfPhysics_6.3"/>

Wenn bei einer [[Adiabatische Zustandsänderung|adiabatischen Zustandsänderung]] allein die Arbeitsparameter quasistatisch verändert werden, so dass dem System praktisch zu jedem Zeitpunkt ein Gleichgewichtszustand <math>z \in Z_g</math> zugeordnet werden kann, ergibt ein Wegintegral längs des ''Prozessweges'' in <math>Z_g</math> über eine 1-Form der Gestalt

: <math>\sum_{i=1}^{n} \beta_i(z) d\alpha_i</math>

die an dem System bei dem Prozess geleistete Arbeit und damit die Zunahme der inneren Energie. In einführenden Lehrbüchern der Thermodynamik wird häufig das einfache thermodynamische System bestehend aus einem Gas in einem [[Kolben (Technik)|Kolben]] als Beispiel betrachtet. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Arbeitskoordinate nämlich das Volumen, die obige 1-Form reduziert sich auf den Ausdruck

: <math> - p dV</math>

und die Funktion <math>\beta_1(z)</math> ist gleich dem Negativen des Gasdrucks: <math>\beta_1(z) = - p(z)</math>.

Die innere Energie <math>U</math> ist als eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems eine reelle Funktion über der Mannigfaltigkeit <math>Z_g</math>. Änderungen der inneren Energie werden durch ihr totales Differential <math>dU</math> beschrieben. Für konkrete einfache thermodynamische Systeme lässt sich jeweils eine 1-Form finden, welche die Energieänderungen durch verschiedene äußere Beeinflussungen und Stoffumwandlungen in dem System erfasst. Die 1-Form <math>dU</math> lässt sich durch

: <math>d U = T dS + \sum_{i=1}^{n} \beta_i(z) d\alpha_i + \sum_{j=1}^{m} \mu_j(z) dN_j</math>

darstellen. In dieser Beziehung beschreibt der Anteil <math> T dS </math> die dem System zugeführte Wärme, wobei <math>T</math> die Temperatur und <math>S</math> die Entropie des Systems sind. Der zweite Term auf der rechten Seite berücksichtigt, die oben erläuterte Arbeit an dem System mittels äußerer Vorrichtungen. Die <math>N_1,...,N_m</math> im dritten Term entsprechen den Stoffmengen der Reinstoffe jeweils getrennt für die einzelnen Phasen des Systems und die <math>\mu_1,...,\mu_m</math> sind die zugeordneten [[Chemisches Potential|chemischen Potentiale]]. Im Allgemeinen müssen die Stoffmengen einen Satz von [[Stöchiometrie|stöchiometrischen]] Bilanzgleichungen befriedigen. Stoffmengen, die durch diese stöchiometrischen Gleichungen unbestimmt bleiben, werden in dem oben betrachteten Tupel als zusätzliche Koordinaten berücksichtigt.<ref name="Stierstadt_1"/>

Da bei thermodynamischen Fragestellungen oft nicht die Größen <math>U, \alpha_1,...,\alpha_n</math> und <math>N_1,...,N_m</math> konstant gehalten oder im Experiment kontrolliert verändert werden können, sondern eher andere Größen wie die Temperatur <math>T</math> oder der Druck <math>p</math>, wechselt man je nach Fragestellung oft zu anderen Koordinaten und schreibt die zugehörigen 1-Formen in anderen Koordinatendifferentialen, hierbei ist die Kenntnis der [[Thermodynamisches Potential|thermodynamischen Potentiale]] von Vorteil.<ref name="Stierstadt_1"/>

== Literatur ==

* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im <math>\R^n</math> und Anwendungen''. 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
* [[Martin Schottenloher]]: ''Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der mathematischen Physik'' (= ''Vieweg-Lehrbuch mathematischen Physik''). Vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2''. Springer, 5. Auflage, 2006, ISBN 9783540350774, Kapitel ''Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen, Kurvenintegrale'', S. [https://books.google.de/books?id=x9qbBgAAQBAJ&pg=PA177 177–196].

== Einzelnachweise ==

<references>
<ref name="Stierstadt_1">
{{Literatur
|Autor=Klaus Stierstadt
|Titel=Thermodynamik für das Bachelorstudium
|Kapitel=9 Thermodynamik der Stoffe und 11 Chemisches Potenzial
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, New York
|Auflage=2
|Datum=2018
|DOI=10.1007/978-3-662-55716-7
}}
</ref>
<ref name="LudwigBd4Thermostatik">
{{Literatur
|Autor=Günther Ludwig
|Titel=Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik
|Band=4
|Verlag=Vieweg & Sohn
|Ort=Braunschweig
|Datum=1979
|ISBN=3-528-09184-3
|Kapitel=XIV § 1 Thermostatik (1.1 Der Zustandsraum und 1.2 Der Energiesatz)
|Seiten=6-29}}
</ref>
<ref name="TheodoreFrankel_GeometryOfPhysics_6.3">
{{Literatur
|Autor=[[:en:Theodore Frankel]]
|Titel=The Geometry of Physics – An Introduction
|Kapitel=6.3 Heuristic Thermodynamics via Caratheodory
|Verlag= Cambridge University Press
|Auflage= korrigierte und ergänzte
|Datum=2001
|ISBN=0-521-38753-1
|Seiten=178-187}}</ref>
</references>
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Pfaffsche Form - Versionsgeschichte

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