2A02:810D:1800:674:648C:D795:6C3A:FF38: /* Eigenschaften */

2024-07-29T21:46:29Z

Eigenschaften

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[[Datei:Symmetric group 4; permutohedron 3D; l-e factorial numbers.svg|mini|Der Permutaeder <math>P_4</math>]]
Ein '''Permutaeder''' ist in der [[Mathematik]] ein [[Konvexe Menge|konvexes]] [[Polytop (Geometrie)|Polytop]] (verallgemeinertes Vieleck) im <math>n</math>-dimensionalen Raum, dessen Ecken durch die [[Permutation]]en der Koordinaten des Vektors <math>(1, 2, 3, \ldots , n)</math> entstehen.

== Definition ==
Der Permutaeder <math>P_n</math> der Ordnung <math>n</math> ist ein konvexes Polytop, das wie folgt definiert ist: Jede Permutation <math>\sigma</math> der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math> wird in Tupelschreibweise geschrieben als Vektor im <math>\mathbb{R}^n</math> interpretiert. Die [[konvexe Hülle]] dieser Vektoren ergibt dann <math>P_n</math>:

: <math>P_n := \operatorname{conv} \left\{ \sigma = (\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n)) \mid \sigma \in S_n \right\}</math>

Die Ecken des Permutaeders sind gerade die Permutationen in Tupelschreibweise. Zwei Permutationen sind dabei genau dann durch eine Kante des Permutaeders verbunden, wenn sie sich durch eine [[Vertauschung|Transposition]] benachbarter Elemente ineinander überführen lassen.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Bitruncated cubic honeycomb2.png|mini|Tesselation des Raumes durch Permutaeder ([[Oktaederstumpf|Oktaederstümpfe]])]]

Der Permutaeder lässt sich auch durch den Schnitt von [[Halbraum|Halbräumen]] beschreiben:

: <math>
P_n = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \mid
\sum_{i=1}^n x_i = { n + 1 \choose 2 } , \;
\forall S \subset \{1,\ldots, n\} : \sum_{i \in S} x_i \geq { | S | + 1 \choose 2 } \right\}
</math>

Der Permutaeder <math>P_n</math> liegt in der <math>(n-1)</math>-dimensionalen Hyperebene

: <math> H = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \mid x_1 + x_2 + \ldots + x_n = {n + 1 \choose 2} \right\}</math>

Die Hyperebene <math>H</math> besteht gerade aus den Punkten, deren Koordinatensumme <math>\tbinom{n + 1}{2} = \tfrac{n(n + 1)}{2}</math> ist.
Sie hat eine [[Tessellation]] durch unendlich viele [[Parallelverschiebung|parallelverschobene]] Kopien des Permutaeders. Die Symmetriegruppe dieser Tesselation ist das durch die folgenden Gleichungen gegebene <math>(n-1)</math>-dimensionale [[Gitter (Mathematik)|Gitter]]:

: <math>x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0, \; x_1 \equiv x_2 \equiv \cdots \equiv x_n \mod n</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Günter M. Ziegler]]
|Titel=Lectures on Polytopes
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=152
|Verlag=Springer-Verlag
|Datum=1995
|ISBN=0-387-94365-X}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Permutohedron |author=Bryan Jacobs |title=Permutohedron}}

[[Kategorie:Permutationstheorie]]
[[Kategorie:Polyeder]]

Permutaeder - Versionsgeschichte

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