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2025-08-12T15:01:52Z

Kontext und Konventionen: BKL Fix

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Das '''Periodogramm''' ist ein [[Schätzfunktion|Schätzer]] für die [[spektrale Leistungsdichte]] eines [[Signal]]s. Gesucht ist also eine Funktion <math>P \left( \omega \right)</math>, welche die Verteilung der [[Leistung (Physik)|Leistung]] (oder [[Energie]]) des Signals auf die [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> angibt. Der Ausdruck wurde von [[Arthur Schuster]] 1898 geprägt.<ref name="Schuster">Arthur Schuster: ''On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena'', ''Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity'', 3, S. 13–41, 1898</ref> Die Methode wird eingesetzt in der [[Signalverarbeitung]], Elektrotechnik, Physik und [[Ökonometrie]]. Ein wichtiges Beispiel sind [[Spektrum-Analysator]]en.

Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht [[Konsistente Schätzfolge|konsistenter]] Schätzer, siehe auch [[Spektraldichteschätzung]].

[[File:Periodogram.svg|thumb|400px|Ein Leistungsdichtespektrum (Amplitudenquadrat) zweier Sinus-Basisfunktionen als Funktion der Frequenz.]]

== Kontext und Konventionen ==
In der Regel sind nur [[Abtastwert]]e des Signals <math>f\left(t\right)</math> zu diskreten Zeitpunkten <math>t_{n} = nT</math> mit konstanter Abtastdauer <math>T</math> gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf <math>N</math> Abtastwerte, z. B. <math>f\left(t_n\right)</math> mit <math>0 \leq n < N</math>, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer <math>N T</math>.

Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine [[diskrete Fourier-Transformation]]. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer <math>NT</math> lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer [[Fensterfunktion]] <math>w\left(t\right)</math>. Im einfachsten Fall ist <math>w\left(t\right)</math> eine [[Rechteckfunktion]] der Breite <math>N T</math>.

Um [[Artefakt (Technik)|Artefakte]] im Spektrum (aufgrund der [[Flankensteilheit|Unstetigkeiten]] des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das [[Parzen-Fenster]] oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem ''modifizierten'' Periodogramm.<ref name="NumRepC">William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: ''Numerical Recipes in C'', Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5</ref>

Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals <math>f \left( t \right) w \left( t \right)</math> wird die Schreibweise <math>F^{ \left( w \right) } \left( \omega_{m} \right) = \sum \limits _{n} f \left( t_{n} \right) w \left( t_{n} \right) e^{i \omega_{m} t_{n}}</math> verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen <math>\omega_{m} = 2 \pi m/(NT)</math> mit <math>0 \leq m < N</math> zulässig.

== Definition ==
Das Periodogramm ist definiert gemäß
:<math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{\sum_{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}.</math>
In Übereinstimmung mit dem [[Abtasttheorem]] ist das Periodogramm <math>2\pi/T</math>-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall ([[Brillouin-Zone]]) <math>0 \leq \omega \leq 2\pi/T</math> oder <math>-\pi/T \leq \omega \leq \pi/T</math>.

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat <math>\left\langle A^{2}\right\rangle =\frac{1}{N}\sum_{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}</math> (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von <math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)</math> bestmöglich mit <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math> übereinstimmt.

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert <math>A</math> hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (''Fullscale''). Das Maximum wird für monochromatische Signale <math>f=Ae^{-i\omega t}</math> erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist
:<math>P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left(\sum_{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}.</math>

== Beispiele ==
=== Weißes Rauschen ===
Es sei <math>f\left(t\right)</math> ein [[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]] mit [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>, <math>\left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta_{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierten]] ist dann

:<math>\left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum\limits _{m,n}e^{i\omega\left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta_{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum_{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.</math>

Das Periodogramm hat den Mittelwert <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

=== Konstantes Signal ===
Für den Frequenz-Mittelwert von <math>\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}</math> lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist
:<math>\sum_{\omega}\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}=\sum_{\omega}\sum\limits _{t,t'}e^{i\omega\left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum_{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).</math>

Für konstantes Signal <math>f\left(t\right)=A</math> wird
:<math>\sum_{\omega}\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum_{t}w^{2}\left(t\right).</math>
Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von <math>N</math>) ebenfalls <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz <math>0</math>. Mit wachsendem <math>N</math> wird dieser Peak höher und schmäler.

=== Rechteck-Fenster ===
Im Fall eines Rechteck-Fensters <math>w=1</math> gilt die Parseval-Gleichung <math>\sum_{\omega}\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Durch Division durch <math>N^{2}</math> folgt der Mittelwert des Periodogramms <math>\sum_{\omega}P\left(\omega\right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Dieser Wert ist von <math>N</math> unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math> gilt.

== Einschränkungen und Verbesserungen ==
Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge <math>N</math>, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer.
Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude <math>A</math> bleibt die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung <math>A^4</math>.<ref name="Hayes">Monson H. Hayes: ''Statistical Digital Signal Processing and Modeling'', John Wiley & sons, inc, 1996, ISBN 978-0-471-59431-4</ref> Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.<ref name=NumRepC/>

== Kontinuierliches Signal ==
Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal <math>f(t)</math> ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

:<math>F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.</math>

Das Periodogramm ist

:<math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{T\int^{\infty}_{-\infty} w^{2}\left(t\right) dt}.</math>

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die [[Standardabweichung]] der Periodogramm-Werte bei wachsender [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihen]]länge <math>T</math> im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]

Periodogramm - Versionsgeschichte

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