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2025-08-29T07:24:32Z

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'''Perfekt normale Räume''' werden im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] untersucht.
Es handelt sich um [[Normaler Raum|normale Räume]], in denen jede [[abgeschlossene Menge]] eine zusätzliche Eigenschaft hat.

== Definition ==
Ein [[normaler Raum|normaler Hausdorffraum]] <math>X</math> heißt perfekt normal, wenn jede [[abgeschlossene Menge]] eine [[Gδ-_und_Fσ-Mengen|Gδ-Menge]] ist.

== Äquivalente Charakterisierungen ==
Folgende Aussagen über einen normalen Hausdorffraum <math>X</math> sind äquivalent:<ref name="Dugundji1" /><ref name="Engelking" /><ref name="Pears1" />
* <math>X</math> ist perfekt normal
* Jede [[offene Menge]] in <math>X</math> ist eine [[Gδ-_und_Fσ-Mengen|Fσ-Menge]].
* Jede abgeschlossene Menge in <math>X</math> ist [[Nullstellenmenge]] einer [[stetige Funktion|stetigen Funktion]] <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math>.
* Für je zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen <math>A,B\subseteq X</math> gibt es eine stetige Funktion <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math>, so dass <math>A=f^{-1}(\{0\})</math> und <math>B=f^{-1}(\{1\})</math>.

Die erste Äquivalenz ist sehr einfach, denn beim Übergang zu Komplementen werden abgeschlossene Mengen zu offenen und Gδ-Mengen zu Fσ-Mengen, und das gilt auch umgekehrt. Die Äquivalenz zu den beiden letzten Eigenschaften ist auch als ''Satz von Vedenissoff'' bekannt.<ref name="Engelking" />

In einem normalen Raum gibt es nach dem [[Lemma von Urysohn]] zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen <math>A,B\subset X</math> eine stetige Funktion <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math>, so dass <math>A\subseteq f^{-1}(\{0\})</math> und <math>B\subseteq f^{-1}(\{1\})</math>, und das ist sogar äquivalent zur Normalität. In der letzten der äquivalenten Aussagen ist also lediglich die Teilmengenbeziehung durch die stärkere Forderung nach Gleichheit ersetzt und man hat damit einen weiteren Unterschied zwischen normalen und perfekt normalen Räumen beschrieben.

== Beispiele ==
* [[Metrischer Raum|Metrische Räume]] sind perfekt normal, denn bezeichnet <math>\operatorname{dist}(x,A)</math> den metrischen Abstand eines Punktes <math>x</math> zur Menge <math>A</math>, so ist jede abgeschlossene Menge <math>A</math> wegen <math>\textstyle A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}\{x \mid \operatorname{dist}(x,A) < \frac{1}{n}\}</math> eine Gδ-Menge. Man kann das aber auch leicht mit Hilfe der Charakterisierung obiger [[Liste von Trennungseigenschaften von Mengen in topologischen Räumen|Trennungseigenschaft durch stetige Funktionen]] erkennen. Sind nämlich <math>A,B\subset X</math> nicht-leere, disjunkte, abgeschlossene Mengen, so leistet die stetige Funktion
: <math>f\colon X\rightarrow [0,1], x\mapsto \frac{\operatorname{dist}(x,A)}{\operatorname{dist}(x,A)+\operatorname{dist}(x,B)}</math>
:das Verlangte. Ist eine der beiden Mengen leer, ohne Einschränkung <math>A=\emptyset</math> und <math>B\not=\emptyset</math>, so nehme man <math>\textstyle x\mapsto \max (\frac{1}{2}, 1-\operatorname{dist}(x,B))</math>, sind beide leer, so nehme man die konstante Funktion mit Wert <math>\tfrac{1}{2}</math>.
* Die [[Sorgenfrey-Gerade]] ist ein Beispiel eines perfekt normalen Raums, der nicht metrisierbar ist.
* Ist <math>\omega_1</math> die erste [[Überabzählbarkeit|überabzählbare]] [[Ordinalzahl]], so ist das Ordinalzahlen-Intervall <math>[0,\omega_1]</math> mit der [[Ordnungstopologie]] ein kompakter und daher normaler Hausdorffraum. Dieser Raum ist nicht perfekt normal, da <math>\{\omega_1\}</math> keine Gδ-Menge ist.

* Der [[Fort-Raum|überabzählbare Fort-Raum]] ist ein weiteres Beispiel für einen normalen aber nicht perfekt normalen Raum.<ref name="Steen" />

== Eigenschaften ==
* Perfekt normale Räume sind [[Vollständig normaler Raum|vollständig normal]], das heißt, dass jeder Unterraum wieder normal ist.<ref name="Dugundji2" /> Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel des [[Fort-Raum|überabzählbaren Fort-Raums]] zeigt.
* Perfekt normale Räume sind [[Total normaler Raum|total normal]].<ref name="Pears2" />
* Perfekt normale Räume sind [[Abzählbar parakompakter Raum|abzählbar parakompakt]].<ref name="Pears3" />

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Dugundji1">
{{Literatur
|Autor=James Dugundji
|Titel=Topology
|Verlag=Allyn and Bacon Inc.
|Ort=Boston, London, Sidney, Toronto
|Datum=1966
|Seiten=148
|Fundstelle=Korollar 4.3
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Dugundji2">
{{Literatur
|Autor=James Dugundji
|Titel=Topology
|Verlag=Allyn and Bacon Inc.
|Ort=Boston, London, Sidney, Toronto
|Datum=1966
|Seiten=148
|Fundstelle=Absatz 4.4
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Engelking">
{{Literatur
|Autor=Ryszard Engelking
|Titel=General Topology
|Verlag=Państwowe Wzdawnictwo Naukowe
|Ort=Warschau
|Datum=1977
|Seiten=64
|Fundstelle=Satz 1.5.19 (The Vedenissoff-Theorem)
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Steen">
{{Literatur
|Autor=[[Lynn Arthur Steen|Lynn A. Steen]], J. Arthur Seebach, Jr.
|Titel=Counterexamples in Topology
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York, Heidelberg, Berlin
|Datum=1978
|ISBN=0-387-90312-7
|Fundstelle=Example 23, 24 ''Countable/Uncountable Fort Space''
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Pears1">
{{Literatur
|Autor=A. R. Pears
|Titel=Dimension Theory of General Spaces
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
|ISBN=0-521-20515-8
|Datum=1975
|Seiten=33
|Fundstelle=Kap. 1, Satz 4.16
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Pears2">
{{Literatur
|Autor=A. R. Pears
|Titel=Dimension Theory of General Spaces
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
|ISBN=0-521-20515-8
|Datum=1975
|Seiten=34
|Fundstelle=Kap. 1, Korollar 4.17
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Pears3">
{{Literatur
|Autor=A. R. Pears
|Titel=Dimension Theory of General Spaces
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
|ISBN=0-521-20515-8
|Datum=1975
|Seiten=66
|Fundstelle=Kap. 2, Satz 1.19
|Sprache=en}}
</ref>
</references>

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Perfekt normaler Raum - Versionsgeschichte

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