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2025-10-04T18:25:09Z

besserer Link "dual"

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{{Infobox Polyeder
|Name=Pentakisdodekaeder
|Bild=Pentakisdodecahedron.jpg
|Bildtext=3D-Ansicht eines Pentakisdodekaeders ([[:Datei:Pentakisdodecahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 60
|Flächentyp= 60 gleichschenklige Dreiecke
|Ecken= 32
|Eckentyp= 32 × {3.3.3.3.3}
|Kanten= 90
|Schläfli=
|Dual= [[Ikosaederstumpf]]
|Netz=Pentakisdodecahedron net.png
|Netztext=[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Pentakisdodekaeders
}}
[[Datei:Pentakis dodecahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Pentakisdodekaeders]]
Das '''Pentakisdodekaeder''' ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 60 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]] zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Ikosaederstumpf]] und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten. Der Name setzt sich aus den griechischen Wörtern πεντάκις (''pentakis'', fünffach) und δωδεκάεδρον (''dodekaedron'', Zwölfflächner) zusammen.

== Entstehung ==
Als Grundkörper dient quasi das [[Dodekaeder]] mit Seitenlänge <math>a</math>, auf dessen 12 Begrenzungsflächen je eine [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit [[fünfeck]]iger Grundfläche und der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt wird. Ein Pentakisdodekaeder entsteht genau dann aus dieser Konstruktion, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

: <math>\frac{a}{10} \sqrt{50+10\sqrt{5}} 

* Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Dodekaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Pentakisdodekaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math> b = \tfrac{3}{38}\,a\,(9+\sqrt{5}) \approx 0{,}887058\cdot a</math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Pentakisdodekaeder zu einem [[Rhombentriakontaeder]] mit der Kantenlänge <math>b</math>.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für <math> b = \frac{a}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right) </math> zum [[Dodekaederstern]].

== Formeln ==
=== Allgemein ===
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''<ref><math>\tfrac{a}{10} \sqrt{50+10\sqrt{5}} </ref>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{a^2}{4} \left(a\left(15+7\sqrt{5}\right) + 2\sqrt{\left(10+4\sqrt{5}\right)\left(10b^2-a^2(5+\sqrt{5})\right)}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 15a\,\sqrt{4b^2-a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)#Eigenschaften|Pyramidenhöhe]]'''
| <math>k = \sqrt{b^2-\frac{a^2}{10}\left(5+\sqrt{5}\right)} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho \, = \frac{a\, \sqrt{(14 + 6\sqrt{5}) (a + 2b)^2 - 4(4b^2 - a^2)}} {4a + 8b} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{4b^2\sqrt{5} - a^2(4+3\sqrt{5}) - 4a \sqrt{4b^2(5+2\sqrt{5}) - 2a^2(7+3\sqrt{5})}} {5(4b^2-a^2)} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{b^2(1-\sqrt{5})-a^2}{4b^2-a^2} </math>
|}

=== Speziell ===
{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlänge ''a''<ref><math> b = \tfrac{3}{38}\,a\,(9+\sqrt{5}) </math>; <math> a > b </math></ref>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{15}{76}\,a^3 (23 + 11\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = \frac{15}{19}\,a^2 \sqrt{413 + 162\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Pyramidenhöhe'''
| <math>k = \frac{a}{19} \sqrt{\frac{65 + 22\sqrt{5}} {5}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = \frac{3}{2}\,a\, \sqrt{\frac{81 + 35\sqrt{5}} {218}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{4} \left(3 + \sqrt{5} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  ≈ 156° 43′ 7″'''
| <math> \cos \, \alpha = \frac{-1}{109}\,(80 + 9\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,97948'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {5700\,\pi \left(567 + 253 \sqrt{5}\right)}} {10 \sqrt{413 + 162 \sqrt{5}}} </math>
|}

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pentakis dodecahedron|Pentakisdodekaeder}}
* {{MathWorld|PentakisDodecahedron|Pentakisdodekaeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Pentakisdodekaeder - Versionsgeschichte

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