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2025-10-25T08:32:41Z

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[[Datei:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|mini|3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders ([[:Datei:Pentagonalhexecontahedronccw.gif|Animation]])]]
[[Datei:Pentagonal hexecontahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Pentagonhexakontaeders]]
[[Datei:Pentagonalhexecontahedron net.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Pentagonhexakontaeders]]

Das '''Pentagonhexakontaeder''' ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 60 [[Fünfeck]]en zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Abgeschrägtes Dodekaeder|abgeschrägten Dodekaeder]] und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

<gallery>
pentagonalhexecontahedronccw.jpg|Spiegelvariante 1
pentagonalhexecontahedroncw.jpg|Spiegelvariante 2
</gallery>

== Entstehung ==
[[Datei:Pentagon 60.png|mini|Konstruktion des Tangentenfünfecks am [[Abgeschrägtes Dodekaeder|abgeschrägten Dodekaeder]]]]

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein [[Sehnenfünfeck]], dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des [[Tangentenfünfeck]]s, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

Nachfolgend bezeichne der Term <math>t</math> den [[Kosinus]] des kleineren [[Zentriwinkel]]s <math>\zeta</math> im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck; <math>\Phi</math> sei die [[Goldener Schnitt#Grundlegende mathematische Eigenschaften|Goldene Zahl]].

<math>t</math> ist die einzige [[Reelle Zahl|reelle]] Lösung der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]] <math>8t^3+8t^2-\Phi^2=0</math>.

: <math> t = \cos \,\zeta = \frac{1}{12} \left(\sqrt[3]{44 + 12\Phi\,(9 + \sqrt{81\Phi-15})} + \sqrt[3]{44 + 12\Phi\,(9 - \sqrt{81\Phi-15})} -4 \right) \approx 0{,}47157563</math>

Sei <math>d</math> die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

: <math> a = \frac{d\,(1+2t)}{2\,(1-2t^2)\sqrt{2+2t}} </math>
: <math> b = \frac{d}{\sqrt{2+2t}} </math>.

Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:<ref>Mit ''a'' sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.</ref>

: <math> 2a\left(1-2t^2\right) = b \left(1+2t\right)</math>

== Verwandte Polyeder ==
<gallery>
Snubdodecahedronccw.jpg|Dualer Körper: [[Abgeschrägtes Dodekaeder]]
Dodekaeder im Pentagonhexakontaeder.png|Einbeschriebenes [[Dodekaeder]]
Ikosaeder im Pentagonhexakontaeder.png|Einbeschriebenes [[Ikosaeder]]
</gallery>

== Formeln ==
=== Für das Polyeder ===
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge ''a'' bzw. ''b''<ref name="Formel">Diese Formeln gelten für den Fall <math> 2a\left(1-2t^2\right) = b \left(1+2t\right)</math>.</ref>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]<ref name="tformel">Diese Formel gilt auch für das [[Pentagonikositetraeder]] sowie das [[Pentagondodekaeder]], sofern man die entsprechenden Werte für ''b'' (kurze Seitenlänge), ''n'' (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie ''t'' (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.</ref>  ≈ 35,42a3 ≈ 189,84b3'''
| <math>V = \frac{40a^3(1+t)(2+3t)(1-2t^2)^2}{(1+2t)^3\sqrt{1-2t}} = \frac{5b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\sqrt{1-2t}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]<ref name="tformel" />  ≈ 53,14a2 ≈ 162,73b2'''
| <math>A_O = \frac{120a^2(2+3t)(1-2t^2)}{(1+2t)^2} \sqrt{1-t^2} = \frac{30b^2(2+3t)}{(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math>r = \frac{a\,(1-2t^2)}{1-4t^2} \sqrt{2\,(1+t)(1-2t)} = b\,\sqrt{\frac{1+t}{2\,(1-2t)}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math>\rho = \frac{a\,(1-2t^2)}{1+2t} \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}} = \frac{b}{2}\, \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Diederwinkel|Flächenwinkel]]<ref name="tformel" />  ≈ 153° 10′ 43″'''
| <math> \cos \, \alpha= \frac{t}{t-1} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,98163'''
| <math> \Psi = \frac \sqrt [3] {36 \,\pi \,V^{2}} {A_O} </math>
|}

=== Für die Begrenzungsflächen ===
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Tangentenfünfecks<ref name="Formel" />
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt]]'''<ref name="tformel" />
| <math> A = \frac{2a^2(2+3t)(1-2t^2)}{(1+2t)^2} \sqrt{1-t^2} = \frac{b^2(2+3t)}{2\,(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkreis]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math> r = \frac{a\,(1-2t^2)}{1+2t}\sqrt{\frac{1+t}{1-t}} = \frac{b}{2}\,\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Diagonale'''<ref name="tformel" /> <math>\|\, b </math>
| <math> e = 2a\,(1-2t^2) = b\,(1+2t)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Stumpfer Winkel|Stumpfe Winkel]]<ref name="tformel" />(4)  ≈ 118° 8′ 12″'''
| <math> \cos \, \alpha = -t </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Spitzer Winkel]] (1)  ≈ 67° 27′ 13″'''
| <math> \cos \, \beta = 1 - 2\,(1-2t^2)^2 </math>
|}

== Anwendung ==
[[Datei:Pentagonhexakontaeder Fünfeck.png|mini|Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders]]

In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („[[Dimple (Golf)|dimples]]“) eines [[Golfball]]s auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.<ref>{{Patent| Land=US| V-Nr=6527653| Code=B2| Titel=Pentagonal hexecontahedron dimple pattern on golf balls| A-Datum=2001-03-05| V-Datum=2003-03-04| Anmelder=Acushnet Co| Erfinder=Douglas C. Winfield, Steven Aoyama}}</ref>

== Anmerkungen und Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pentagonal hexecontahedra|Pentagonhexakontaeder}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|PentagonalHexecontahedron|Pentagonhexakontaeder}}
* [http://www.sigibussinger.de/lichtkunst/lichtobjekte/regenbogenschlange.htm# Lichtkunst in einem Pentagonhexakontaederkristall]

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Pentagonhexakontaeder - Versionsgeschichte

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