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2025-11-08T21:40:32Z

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Die '''Pell-Folge''' ist eine mathematische [[Folge (Mathematik)|Folge]] von positiven ganzen [[Zahl]]en, der '''Pell-Zahlen''' (engl. ''Pell numbers''), genauso wie die '''Pell-Zahlen 2. Art''' (engl. ''companion Pell numbers''). Ihren Namen hat sie von dem englischen [[Mathematiker]] [[John Pell]] (1611–1685).

== Pell Folge/Zahlen ==
Die Folge ist [[rekursiv]] definiert durch:
:<math>
P(n)=
\begin{cases}
0, &\text{wenn } n=0;\\
1, &\text{wenn } n=1;\\
2P(n-1)+P(n-2) &\text{sonst.}
\end{cases}
</math>

Das bedeutet in Worten:
* für die beiden ersten Zahlen werden die Werte ''Null'' und ''Eins'' vorgegeben
* jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten <math>n</math> Zahlen der Folge lauten (wenn man mit <math>n=0</math> zu zählen beginnt):
: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … ({{OEIS|A000129}})

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen [[Lucas-Folge]] <math>U_n(P,Q)</math> mit <math>P=2</math> und <math>Q=-1</math> interpretieren:
:<math>f_n=U_n(2,-1)</math>

== Silberner Schnitt ==

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

:<math> \delta_S : = \lim_{n \to \infty} \frac{P(n)} {P(n-1)} = 1+\sqrt{2} </math>

Diese Zahl nennt man [[Silberner Schnitt]] in Analogie zum [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] der [[Fibonacci-Folge]].

=== Herleitung des Zahlenwertes ===

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen: <math> L := \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)}</math>

Mit <math> P(n) = 2 \cdot P(n-1) + P(n-2)</math> folgt:

<math> L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot P(n-1) + P(n-2) }{P(n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot P(n-1)}{P(n-1)} + \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-2) }{P(n-1)} = 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-2) }{P(n-1)}</math>

Mit <math> L = \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-1) }{P(n-2)}</math>

folgt weiter: <math> L = 2 + \tfrac{1} {L}</math>. Damit ergibt sich die [[quadratische Gleichung]] <math> L^2 - 2L -1 = 0 </math>

mit den beiden Lösungen   <math> L_1 = 1+\sqrt{2}</math>   und   <math> L_2 = 1-\sqrt{2}</math>.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{P(n)} {P(n-1)} = 1+\sqrt{2} </math>

== Geschlossene Form der Pell-Folge ==

Im Abschnitt [[#Herleitung des Zahlenwertes|Herleitung des Zahlenwertes]] wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)} = 1+\sqrt{2}</math>   und   <math> \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)} = 1-\sqrt{2}</math>.

Seien <math>c_1</math> und <math> c_2</math> reelle Konstanten. Dann erfüllen die [[geometrische Folge|geometrischen Folgen]]

:<math>P_1(0) := c_1 \quad P_1(n) := c_1(1+\sqrt{2})^n \quad n\in\N</math>   und

:<math>P_2(0) := c_2 \quad P_2(n) := c_2(1-\sqrt{2})^n \quad n\in\N</math>

die Rekursionsformeln

:<math> P_1(n) = 2P_1(n-1)+P_1(n-2)</math>   und  

:<math> P_2(n) = 2P_2(n-1)+P_2(n-2)</math>.

Deren [[Linearkombination]] <math>P_l(n) := c_1(1+\sqrt{2})^n + c_2(1-\sqrt{2})^n</math> erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: <math>P(0) = 0 </math>   und    <math>P(1) = 1</math>.

Eingesetzt in <math>P_l(n) </math> ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

:<math>P_l(0) = c_1 + c_2 = 0</math>   und  

:<math>P_l(1) = c_1(1+\sqrt{2}) + c_2(1-\sqrt{2}) = 1</math>

mit den Lösungen <math>c_1 = \frac{1} { 2\sqrt{2}} </math>    und   <math>c_2 = -\frac{1} { 2\sqrt{2}}</math>

Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:
:<math>P(n)=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.</math>

== Erzeugende Funktion der Pell-Folge ==

Die [[erzeugende Funktion]] der Pell-Folge ist:
: <math>\mathcal{P}(x) = \sum_{n=0}^\infty P(n)\cdot x^n = \frac{x}{1-2x-x^2}.</math>
Diese [[Potenzreihe]] hat den [[Konvergenzradius]] <math> \sqrt{2}-1</math>. 

=== Herleitung der Funktion ===

Die [[erzeugende Funktion]] der Pell-Folge hat den [[Konvergenzradius]] <math> \sqrt{2}-1</math>. 
Für <math> |x| < \sqrt{2}-1 </math> gilt daher mit <math>P(n+2) - 2 \cdot P(n+1) - P(n) = 0 ,\ P(0) = 0 \text{ und } P(1) = 1 </math>:
 
:<math>
\begin{alignat}{5}
\mathcal{P}(x) & = P(0) && + P(1)\cdot x && + P(2)\cdot x^2 && + P(3)\cdot x^3 && + P(4)\cdot x^4 + \dotsb\\
{-2x}\cdot \mathcal{P}(x) & = && -2\cdot P(0)\cdot x && - 2 \cdot P(1)\cdot x^2 && -2 \cdot P(2)\cdot x^3 && - 2 \cdot P(3)\cdot x^4 - \dotsb\\
{-x^2}\cdot \mathcal{P}(x) & = && && -P(0)\cdot x^2 && - P(1)\cdot x^3 && - P(2)\cdot x^4 - \dotsb\\
\hline
(1-2x-x^2)\cdot \mathcal{P}(x) & = P(0) && + P(1)\cdot x - 2 \cdot P(0)\cdot x\\
& = x
\end{alignat}
</math>

== Reihenentwicklungen ==
Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P(2n-1)+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>
Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P(2n-1)} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{\lambda^*[16\,\pi^{-2}\operatorname{arsinh}(1)^2]} K\{\lambda^*[16\,\pi^{-2}\operatorname{arsinh}(1)^2]\} </math>
Hierbei ist λ*(x) die [[Elliptische Lambda-Funktion|elliptische Lambdafunktion]] und K(x) ist das vollständige [[Elliptisches Integral|elliptische Integral]] erster Art.

Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P(2^n)} = \lim_{z\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^z \frac{1}{P(2^n)} = \lim_{z\rightarrow\infty} \frac{P(2^z-1)+P(2^z-2)}{P(2^z)} = 2 - \sqrt{2} </math>

== Pell-Primzahlen ==
Eine '''Pell-Primzahl''' ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:
: 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … ({{OEIS|A086383}})
Für diese Pell-Primzahlen ist der Index <math>n</math> von <math>P(n)</math> der folgende:
: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … ({{OEIS|A096650}})
:: '''Beispiel 1:'''
::: Es ist <math>P(10)=2378</math> und <math>P(9)=985</math>. Somit ist <math>P(11)=2 \cdot P(10)+P(9)=2 \cdot 2378+985=5741 \in \mathbb P</math> eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index <math>n=11</math> in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl <math>P_{11}=5741</math> führt.
Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:
* Wenn <math>P(n)</math> eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index <math>n</math> ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).<ref>[https://oeis.org/A096650 Comments zu OEIS A096650]</ref>

== Pell Zahlen 2. Art / Companion Pell-Folge ==
Pell Zahlen 2. Art werden auch ''Pell-Lucas Zahlen'' genannt.

Die Folge ist [[rekursiv]] definiert durch:
:<math>
Q(n)=
\begin{cases}
2, &\text{wenn } n=0;\\
2, &\text{wenn } n=1;\\
2Q(n-1)+Q(n-2) &\text{sonst.}
\end{cases}
</math>

Das bedeutet in Worten:
* für die beiden ersten Zahlen wird der Wert ''Zwei'' vorgegeben
* jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … ({{OEIS|A002203}})

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen [[Lucas-Folge]] <math>V_n(P,Q)</math> mit <math>P=2</math> und <math>Q=-1</math> interpretieren:

:<math>Q(n)=V_n(2,-1)</math>

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=PellNumber |title=Pell Number}}
* {{MathWorld |id=IntegerSequencePrimes |title=Integer Sequence Primes}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folge ganzer Zahlen]]
[[Kategorie:Primzahl]]

Pell-Folge - Versionsgeschichte

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