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2026-01-04T10:21:57Z

Herleitung aus der Dirac-Gleichung: Tippfehler (Leerzeichen)

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Die '''Pauli-Gleichung''' ist die von [[Wolfgang Pauli]] (1900–1958) angegebene<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Pauli |Titel=Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=43 |Datum=1927 |Seiten=601-623 |DOI=10.1007/BF01397326}}</ref> Erweiterung der [[Schrödingergleichung]], um geladene [[Spin]]-1/2-Teilchen, etwa [[Elektron]]en in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben.
Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim [[Stern-Gerlach-Versuch]] verstehen, warum ein Strahl von [[Silber]]atomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

:<math>\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =
\underbrace{ \left( \frac{(\vec p- q \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi - g\,\underbrace{\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot
\vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,</math>

Hier bezeichnet
* <math> \varphi=\begin{pmatrix}\varphi_\uparrow(t,\vec{x})\\ \varphi_\downarrow(t,\vec{x})\end{pmatrix}</math> die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
* <math> p^i=-\mathrm i \hbar \partial_{x^i}\,,i\in\{1,2,3\}\,, </math> die <math>i</math>-te Komponente des Impulsoperators,
* <math> \, q </math> die [[elektrische Ladung]] und <math> \, m </math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des Teilchens,
* <math> \, \phi </math> das skalare [[Elektrostatik#Potential und Spannung|elektrische Potential]] und <math> \vec A </math> das [[Magnetisches Vektorpotential|magnetische Vektorpotential]],
* <math> \, g </math> den [[Landé-Faktor|gyromagnetischen Faktor]],
* <math> \vec{\sigma}</math> die [[Pauli-Matrizen]] (mit dem [[Spin]]-Operator <math> \vec{S}=\hbar\,\frac{\vec{ \sigma}}{2}</math>),
* <math> \vec B=\text{rot}\,\vec{A} </math> das [[Magnetismus|Magnetfeld]].

In einem schwachen, ''homogenen'' Magnetfeld <math>\vec{B}</math> koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor <math>g</math> stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls <math>\vec{L}\,,</math>
:<math>\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =
\frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi - \frac{q }{2\,m}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.</math>

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der [[Dirac-Gleichung]], die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert <math>g=2</math> für den gyromagnetischen Faktor von [[Elektron]]en voraus.
Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der [[Linearisierung]] der Schrödingergleichung berechnet werden<ref>[[Walter Greiner]]: ''Quantenmechanik. Einführung.'' Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.</ref>.
Die [[Quantenelektrodynamik]] korrigiert diesen Wert zu

:<math>g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.</math>

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

== Herleitung aus der Dirac-Gleichung ==

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,
:<math>\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)
</math>   mit   <math>\vec \pi = \vec p - q\, \vec A </math>

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruheenergie herrührt,
:<math>\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{array} \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right)</math>

die [[Zeitableitung]] der Zweierspinoren <math>\varphi</math> und <math>\chi</math> klein ist.

:<math>
\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right)
</math>

In der Zeile <math>\partial_t \chi</math> ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie <math>m\,c^2\,.</math> Daher ist <math>\chi</math> klein gegen <math>\varphi</math> und ungefähr gleich
:<math>\chi \approx \frac{\vec \sigma \cdot \vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.</math>
In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich
:<math>
\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi
+q\, \phi\, \varphi\,.
</math>
Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man
:<math>(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j=
(\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j=
\vec{\pi}^2 -q\, \hbar\, \vec \sigma \cdot \vec B \,.</math>
Der Spinor <math>\varphi</math> genügt daher der Pauli-Gleichung mit <math>g=2</math>,
:<math>
\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,m}\,\vec{\sigma}\cdot\vec{B}\,\varphi\,.
</math>

Im homogenen Magnetfeld gilt <math>\phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}\,,</math> und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt
:<math>(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,, </math>
wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in <math>\vec{B}</math> sind.
Dann besagt die Pauli-Gleichung
:<math>
\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi
-\frac{q}{2\,m}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,.
</math>
Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls <math>\vec{L}</math> und trägt nicht nur
<math>-\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B
</math>
zur Energie bei. Der Faktor
<math>\frac{q\,\hbar }{2\,m}</math>
wird ''Magneton'' des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom [[Bohrsches Magneton|bohrschen Magneton]].

In Drehimpulseigenzuständen ist
<math>\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B</math>
ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke <math>|\vec{B}|\,.</math> Dagegen ergibt <math>\frac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B</math> ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit ''g'' ganzzahlig wird. Bei isolierten ''Atomen'' oder ''Ionen'' muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls '''''J''''' (= '''''L+S''''') addieren und erhält den sog. [[Landé-Faktor]] ''g('''L''', '''S''', '''J''')''. Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die ''g'' wesentlich verändern können.

== Literatur ==
* [[Franz Schwabl]]: ''Quantenmechanik (QM I).'' 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (''Springer-Lehrbuch'').
* Franz Schwabl: ''Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II).'' Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (''Springer-Lehrbuch'').
* [[Claude Cohen-Tannoudji]], Bernard Diu, Franck Laloe: ''Quantum Mechanics.'' Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (''A Wiley-Interscience Publication'').

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]

Pauli-Gleichung - Versionsgeschichte

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