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2026-02-17T13:42:13Z

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'''Pathologische Beispiele''' sind besondere [[Beispiel]]e, welche oftmals in mathematischen Kontexten auftreten. [[Definition]]en [[mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] sind teilweise durch [[Anschauung]] motiviert, wie zum Beispiel die Definition des [[Wegzusammenhang]]s. Bei einem pathologischen Beispiel wird ein Objekt konstruiert, das den Bedingungen einer mathematisch exakten Definition entspricht, jedoch in Konflikt zu der zugrundeliegenden Anschauung steht oder für weitere Beweise unerwünschte Eigenschaften aufweist, die als untypisch für üblicherweise auftretende Fälle angesehen werden. In der Regel sind pathologische Beispiele auch [[Gegenbeispiel]]e.

Bei der Konstruktion von pathologischen Beispielen werden oft das [[Auswahlaxiom]], [[Rekursion|rekursive]] Definitionen und [[Fraktal]]e angewendet.

== Bekannte pathologische Beispiele ==
=== Weierstraß-Funktionen ===
[[Datei:WeierstrassFunction.svg|miniatur|Eine Weierstraß-Funktion]]
{{Hauptartikel|Weierstraß-Funktion}}

Die Weierstraß-Funktion ist in jedem Punkt [[Stetige Funktion|stetig]], aber nirgends [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. Sie ist das erste publizierte Beispiel einer solchen Funktion und änderte die übliche Meinung, dass jede stetige Funktion differenzierbar bis auf eine Menge [[isolierter Punkt]]e sei.

=== Dirichlet-Funktion ===
{{Hauptartikel|Dirichlet-Funktion}}

Die Dirichlet-Funktion ist an allen [[Rationale Zahl|rationalen]] Stellen eins und an allen [[Irrationale Zahl|irrationalen]] null. Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, die überall [[Stetige Funktion|unstetig]] ist und nicht [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbar]], aber [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbar]] ist. Eine Abwandlung der Dirichlet-Funktion ist die [[thomaesche Funktion]]. Diese Funktion nimmt für irrationale Argumente den Wert null an und für rationale einen positiven; im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion ist diese Riemann-integrierbar und nur an allen rationalen Stellen unstetig.

=== Cantor-Menge ===
[[Datei:Cantor set in seven iterations.svg|miniatur|Die ersten sieben Iterationsschritte zur Konstruktion der Cantor-Menge.]]
{{Hauptartikel|Cantor-Menge}}

Die Cantor-Menge ist eine Teilmenge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit besonderen [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] und maßtheoretischen Eigenschaften. So ist die Menge [[Mächtigkeit (Mathematik)|gleichmächtig]] wie die Menge der reellen Zahlen <math>\R</math>, jedoch ist sie gleichzeitig eine [[Lebesgue-Maß|Lebesgue]]-[[Nullmenge]]. Aufgrund der gleichen Mächtigkeit könnte man erwarten, dass Mengen auch das gleiche Maß haben. Dies ist nicht der Fall, denn das Lebesguemaß der Menge der reellen Zahlen ist unendlich. Als [[topologischer Raum]] ist die Cantor-Menge eine [[Kompakter Raum|kompakte]], [[Perfekte Menge|perfekte]], [[Total unzusammenhängender Raum|total unzusammenhängende]] und [[Nirgends dichte Menge|nirgends dichte Teilmenge]] von <math>\R</math>. Aufgrund dieser Eigenschaften wird die Cantor-Menge besonders in der Topologie als Beispiel verwendet, welches der Anschauung oftmals entgegenspricht.

=== Vitali-Menge ===
{{Hauptartikel|Vitali-Menge}}

Vitali-Mengen haben die besondere Eigenschaft, dass man ihnen kein [[Lebesgue-Maß]] zuordnen kann. Nicht-messbare Mengen für das Lebesgue-Maß lassen sich nur mit Hilfe des [[Auswahlaxiom]]s konstruieren. Unter der Annahme dieses Axioms lässt sich kein [[Maß (Mathematik)|Maß]] konstruieren, welches das [[Maßproblem]] löst. Für andere Maße hingegen ist es oft leicht, nicht messbare Mengen aufzuzeigen.

== Literatur ==
* Gary L. Wise, Eric B. Hall: ''Counterexamples in probability and real analysis.'' Oxford University Press, Oxford 1993, ISBN 0-19-507068-2.
* Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: ''Counterexamples in Topology.'' Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-486-68735-X.

[[Kategorie:Mathematik]]

Pathologisches Beispiel - Versionsgeschichte

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