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[[Datei:Pascal_pyramid_3d.svg|hochkant=1|mini|Die ersten fünf Ebenen der Pascalschen Pyramide]]

Die '''Pascalsche Pyramide''' ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreiecks]]. Sie enthält die [[Multinomialkoeffizient]]en dritter Ordnung (Trinomialkoeffizient), d. h. die Koeffizienten von <math>(a+b+c)^n </math> stehen auf Ebene ''n''+1. Wie im Pascalschen Dreieck beginnt die Pascalsche Pyramide mit einer einzelnen 1 auf der obersten Ebene (der „Spitze“ der [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]). Jede weitere Zahl ist die [[Summe]] der drei über ihr stehenden Zahlen. Alle besonderen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks (siehe z. B. [[Sierpinski-Dreieck]], [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]]) lassen sich sinngemäß auch auf die Pascalsche Pyramide anwenden.

== Alternative Konstruktion ==
Die Trinomialkoeffizienten sind gegeben durch

:<math>\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!\;}</math> mit <math>\;i+j+k=n\,.</math>

Die Identität

:<math>\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!} = \frac{(i+j+k)!}{(i+j)!\,k!} \cdot \frac{(i+j)!}{i!\, j!}</math>

legt folgende Konstruktionsvorschrift für die (''n''+1)-te Ebene nahe:

# Bilde zunächst die drei Seiten des Dreiecks. Diese entsprechen der (''n''+1)-ten Zeile im Pascalschen Dreieck.
# Fülle nun die ''m''-te Zeile mit den Einträgen aus der ''m''-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit dem an den Seiten bereits eingetragenen Faktor.

== Die ersten sieben Ebenen ==

1. Ebene
'''1''' 
2. Ebene
'''1''' 
'''1 1''' 
3. Ebene
1 
'''2''' '''2''' 
1 '''2''' 1 
4. Ebene
1 
3 3 
3 '''6''' 3 
1 3 3 1 
5. Ebene
1 
4 4 
6 '''12''' 6 
4 '''12 12''' 4 
1 4 6 4 1 
6. Ebene
1 
5 5 
10 20 10 
10 '''30 30''' 10 
5 20 '''30''' 20 5 
1 5 10 10 5 1 
7. Ebene
1 
6 6 
15 30 15 
20 60 60 20 
15 60 '''90''' 60 15 
6 30 60 60 30 6 
1 6 15 20 15 6 1

== Eigenschaften ==
* Die Summe aller Zahlen der Ebene ''n'' ist: <math>3^{n-1}</math>
* Die Summe aller Zahlen von der ersten bis zur ''n''-ten Ebene ist: <math>\frac{3^n-1}{2}</math>

=== Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder ===
Werden im Pascalschen Tetraeder gerade und ungerade Zahlen unterschieden, ergibt sich ein Zusammenhang mit dem [[Sierpinski-Tetraeder]]. Die geraden Zahlen entsprechen dabei den Lücken im Sierpinski-Tetraeder. Dabei müssen <math>2^a</math> Ebenen berücksichtigt werden, um den <math>a</math>-ten Iterationsschritt bei der Konstruktion des Sierpinski-Tetraeders zu erhalten.

== Verallgemeinerung ==
Analog lässt sich das <math>n</math>-dimensionale [[Pascalsches Simplex|Pascalsche Simplex]] aus den weiteren Multinomialkoeffizienten definieren.

== Siehe auch ==
[[Kombinatorik]], [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], [[Polynom]], [[Binomialkoeffizient]]

== Weblinks ==
* [https://web.archive.org/web/20160403185855/http://thales.math.uqam.ca/~rowland/investigations/pascalssimplices-project.html ''Pascal’s Simplices.''] Department of Mathematics, [[Rutgers University]] im US-Bundesstaat [[New Jersey]] (englisch; abgerufen am 31. Oktober 2010)

[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]
[[Kategorie:Blaise Pascal als Namensgeber]]

Pascalsche Pyramide - Versionsgeschichte

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