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[[Datei:part korrelation.PNG|mini|hochkant=1.6|Zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> besteht eine merkliche Korrelation. Betrachtet man die beiden rechten Punktwolken, so erkennt man, dass <math>X</math> und <math>Y</math> jeweils stark mit <math>U</math> korrelieren. Die beobachtete Korrelation zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> basiert nun fast ausschließlich auf diesem Effekt.]]

Der '''partielle Korrelationskoeffizient''' kontrolliert den Einfluss einer oder mehrerer [[Störfaktor]]en.

== Definition ==
Eine Korrelation zwischen zwei statistischen Variablen (oder Merkmalen) <math>X</math> und <math>Y</math> kann unter Umständen
auf den Einfluss, die eine dritte Variable <math>U</math> (ein [[Störfaktor]]) auf beide Variablen hat, zurückgehen.
Um die Korrelation zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> zu messen, die verbleibt, wenn der Einfluss von <math>U</math> eliminiert ist, gibt es das Konzept der partiellen Korrelation<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1|Fundstelle=''2. Abhängigkeitsmaße für mehrere Zufallsgrößen'', S. 3–4}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=S. 91–92}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Theodore Wilbur Anderson |T. W. Anderson]]|Titel=Introduction to Multivariate Statistical Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Jahr=2003| ISBN=978-0-471-36091-9 |Fundstelle=S. 41}}</ref> (auch Partialkorrelation genannt).

=== Theoretischer partieller Korrelationskoeffizient ===
Für drei Zufallsvariablen <math>X, Y</math> und <math>U</math> mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung seien <math>\varrho_{XY}</math>, <math>\varrho_{XU}</math> und <math>\varrho_{YU }</math> die paarweisen [[Korrelationskoeffizient#Korrelationskoeffizient für Zufallsvariablen|theoretischen Korrelationskoeffizienten]].
Dann ist
:<math>
\varrho_{(X,Y)/U} := \frac{\varrho_{XY} - \varrho_{XU} \cdot \varrho_{YU}}
{ \sqrt{(1-\varrho_{XU}^2)(1-\varrho_{YU}^2)} }
</math>
die ''theoretische partielle Korrelation der Zufallsvariablen'' <math>X</math> und <math>Y</math> ''bzgl. der Zufallsvariablen'' <math>U</math> (oder ''mit Elimination des Effekts der Zufallsvariablen'' <math>U</math>). Der Koeffizient <math>\varrho_{(X,Y)/U}</math> heißt auch (theoretischer) ''partieller Korrelationskoeffizient''. Eine häufige Notation ist <math>\varrho_{X,Y.U}</math>.

=== Empirischer partieller Korrelationskoeffizient ===
Für beobachtete Werte <math>(x_i, y_i, u_i)</math> für <math>i=1,\dots,n</math> von drei Variablen <math>X, Y</math> und <math>U</math> seien <math>r_{XY}</math>, <math>r_{XU}</math> und <math>r_{YU }</math> die paarweisen [[empirischer Korrelationskoeffizient|empirischen Korrelationskoeffizienten]]. Dann ist
:<math>
r_{(X,Y)/U} := \frac{r_{XY} - r_{XU} \cdot r_{YU}}
{ \sqrt{(1-r_{XU}^2)(1-r_{YU}^2)} }
</math>
die ''empirische partielle Korrelation der Variablen'' <math>X</math> und <math>Y</math> ''bzgl. der Variablen'' <math>U</math> (oder mit ''Elimination des Effekts der Variablen'' <math>U</math>). Der Koeffizient <math>\varrho_{(X,Y)/U}</math> heißt auch (empirischer) ''partieller Korrelationskoeffizient''. Eine häufige Notation ist <math>r_{X,Y.U}</math>.

In Zusammenhängen, bei denen klar ist, ob ein theoretischer oder ein empirischer Koeffizient gemeint ist, wird einfach von dem partiellen Korrelationskoeffizienten gesprochen.

=== Partieller Korrelationskoeffizient höherer Ordnung ===
Beim partielle Korrelationskoeffizient wird der Einfluss von mehr als einer Störvariable herausgerechnet.

== Eigenschaften ==
* Ein partieller Korrelationskoeffizient hat Werte im Intervall <math>[-1,1]</math>.
* Im Fall <math>\varrho_{XU}=\varrho_{YU}=0</math> gilt <math>\varrho_{(X,Y)/U}=\varrho_{XY}</math>.
* Im Fall <math>r_{XU}=r_{YU}=0</math> gilt <math>r_{(X,Y)/U}=r_{XY}</math>.
* Der partielle Korrelationskoeffizient stimmt unter bestimmten Bedingungen (jedoch nicht im Allgemeinen) mit der [[bedingten Korrelation]] überein<ref>{{Literatur|Autor=Kunihiro Baba, Ritei Shibata, Masaaki Sibuya |Titel=Partial correlation and conditional correlation as measures of conditional independence |Sammelwerk=Australian & New Zealand Journal of Statistics |Band=46 |Nummer= 4 |Seiten=657–664 |DOI=10.1111/j.1467-842X.2004.00360.x}} </ref>.

== Theoretischer Hintergrund ==
* Für die Zufallsvariablen <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>U</math> können die linearen Regressionen von <math>X</math> auf <math>U</math>,
::<math> \hat X = \alpha_X + \beta_X U\;, </math>
:und von <math>Y</math> auf <math>U</math>,
::<math> \hat Y = \alpha_Y + \beta_Y U \;,</math>
:gebildet werden. Die zugehörigen Residualvariablen (Regressionsreste)
:: <math> V := X - \hat X</math>
:: <math> W := Y - \hat Y</math>
:enthalten diejenigen Anteile der Variablen <math>X</math> und <math>Y</math>, die nicht durch einen linearen Zusammenhang mit <math> U </math> erklärt werden können. Es gilt dann
:: <math> \varrho_{VW} = \varrho_{(X,Y)/U}\;. </math>
: Diese Darstellung zeigt:
:# Der partielle Korrelationskoeffizient ist ein gewöhnlicher Korrelationskoeffizient der Residualvariablen <math>V</math> und <math>W</math> und hat damit die Eigenschaften eines gewöhnlichen Korrelationskoeffizienten.
:# Die Ausschaltung des Einflusses der Variablen <math>U</math> erfolgt durch lineare Regressionen, so dass nichtlineare Einflüsse von <math>U</math> nur teilweise erfasst werden oder unentdeckt bleiben.
:# Eine Verallgemeinerung des Konzeptes auf mehrere Einflussfaktoren <math>U_1,\dots,U_m</math> ist möglich, indem die linearen Einfachregressionen auf die Variable <math>U</math> durch multiple lineare Regressionen auf mehrere Variablen <math>U_1,\dots,U_m</math> ersetzt werden und dann die Korrelationen der resultierenden Residualvariablen betrachtet werden.

* Für beobachtete Werte <math>(x_i, y_i, u_i)</math>, <math>i=1,\dots,n</math>, seien
::<math> \hat x_i = a_X + b_X u_i\;, </math>
::<math> \hat y_i = a_X + b_Y u_i </math>
:die geschätzten Werte aus linearen Regressionen von <math>X</math> auf <math>U</math> bzw. von <math>Y</math> auf <math>U</math> nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]]. Für die empirische Korrelation der Regressionsreste
:: <math> v_i := x_i - \hat x_i, \quad i=1,\dots,n </math>
:: <math> w_i := y_i - \hat y_i, \quad i=1,\dots,n</math>
:gilt dann
:: <math> r_{VW} = r_{(X,Y)/U}\;. </math>

== Inferenzstatistischer Zusammenhang ==
Im inferenzstatistischen Kontext repräsentiert die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>(X,Y,U)</math> die Verteilung der drei Merkmale in der [[Grundgesamtheit]] und <math>\varrho_{(X,Y)/U}</math> beschreibt die (unbekannte) partielle Korrelation in der Grundgesamtheit.

Die beobachteten Werte <math>(x_i, y_i, u_i)</math> für <math> i=1,\dots,n</math> werden als realisierte Werte von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren <math>(X_i, Y_i, U_i)</math> für <math>i=1,\dots,n</math> aufgefasst, die jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>(X,Y,U)</math> besitzen.

In diesem Zusammenhang sind die aus den beobachteten Werten berechneten empirischen Korrelationskoeffizienten <math>r_{XY}</math>, <math>r_{XU}</math> und <math>r_{YU}</math> Schätzwerte für die Korrelationskoeffizienten <math>\varrho_{XY}</math>, <math>\varrho_{XU}</math> und <math>\varrho_{YU}</math> und der empirische partielle Korrelationskoeffizient <math>r_{(X,Y)/U} </math> ist ein Schätzwert für den unbekannten Grundgesamtheitsparamter <math>\varrho_{(X,Y)/U}</math>.

== Beispiel: Schuhgröße und Wortschatz bei Kindern ==

Ein klassisches Beispiel für die Nützlichkeit des Partiellen Korrelationskoeffizienten, ist der Zusammenhang zwischen der Schuhgröße und der Wortschatzgröße bei Kindern.

=== Ausgangslage ===
In einer Untersuchung in einem Kindergarten wird bei allen Kindern die [[Schuhgröße]] gemessen und gleichzeitig die Größe ihres [[Wortschatz]]es (die Anzahl der Wörter, die sie aktiv beherrschen) ermittelt. Das Ergebnis der statistischen Auswertung zeigt eine deutliche positive Korrelation: Kinder mit größeren Schuhen verfügen tendenziell über einen größeren Wortschatz als Kinder mit kleinen Schuhen.

=== Analyse der Drittvariable ===
Bei einer genaueren Betrachtung stellt sich jedoch heraus, dass dieser Zusammenhang auf die [[Drittvariable]] Alter zurückzuführen ist:

'''Alter und Schuhgröße:''' Ältere Kinder sind physisch weiter entwickelt und haben daher im Durchschnitt größere Füße als jüngere Kinder.

'''Alter und Wortschatz:''' Ältere Kinder hatten mehr Zeit zum Lernen und weisen daher natürlicherweise einen größeren Wortschatz auf.

=== Anwendung der Partialkorrelation ===
Berechnet man nun die Partialkorrelation zwischen der Wortschatzgröße und der Schuhgröße unter Kontrolle der Variable Alter, so verschwindet der ursprüngliche Zusammenhang nahezu vollständig.

Das bedeutet: Vergleicht man nur Kinder, die exakt gleich alt sind (z. B. eine Gruppe von ausschließlich 5-Jährigen), so lässt sich kein statistischer Beleg mehr dafür finden, dass Kinder mit größeren Füßen auch über einen größeren Wortschatz verfügen. Innerhalb einer homogenen Altersgruppe ist die Schuhgröße kein [[Prädiktor]] für die Sprachkompetenz.

Die Partialkorrelation filtert hierbei den Einfluss der Variable z (Alter) aus der Beziehung zwischen x (Schuhgröße) und y (Wortschatz) heraus.

Da das Alter sowohl mit der Schuhgröße als auch mit dem Wortschatz stark korreliert, sinkt der Wert der Partialkorrelation im Vergleich zur einfachen Korrelation gegen Null.

== Zeitreihen ==
Bei Zeitreihen wird die [[partielle Autokorrelationsfunktion]] <math>\varphi</math> bei Verzögerung <math>h</math> definiert als
:<math>\varphi(h)= r_{X_0X_h \cdot \{X_1,\,\dots\,,X_{h-1} \}}</math>

== Erweiterung ==
Der partielle Korrelationskoeffizient kann auch für [[Rangkorrelationskoeffizient]]en berechnet werden<ref>Hipel, K., McLeod, A. (1994). Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Niederlande: Elsevier Science. https://books.google.de/books?id=t1zG8OUbgdgC&pg=PA883 Seite 883</ref>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Partieller Korrelationskoeffizient - Versionsgeschichte

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