imported>FerdiBf: Großschreibung "Von-Neumann-Algebra" gemäß Dudenregel D137

2018-08-31T16:53:19Z

Großschreibung "Von-Neumann-Algebra" gemäß Dudenregel D137

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Eine '''partielle Isometrie''' ist ein spezieller Typ von im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] untersuchten [[linearer Operator|Operatoren]]. Dabei handelt es sich um Operatoren, die sich auf einem [[Untervektorraum]] wie eine [[Isometrie]] verhalten und sonst 0 sind, das erklärt ihren Namen. Mittels partieller Isometrien werden Äquivalenzen von Projektionen definiert.

== Definition ==
Seien <math>H</math> ein [[Hilbertraum]] und <math>U:H\rightarrow H</math> ein stetiger linearer Operator. <math>U</math> heißt eine partielle Isometrie, wenn die Einschränkung von <math>U</math> auf das [[orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]] von <math>\ker (U)</math> eine Isometrie ist, d. h. <math>\forall x\in \ker (U)^\perp:\,\,\|Ux\|=\|x\|</math>.

Das orthogonale Komplement des Kerns einer partiellen Isometrie nennt man ihren ''Anfangsraum'' (engl. initial space), das Bild einer partiellen Isometrie heißt ihr ''Zielraum'' (engl. final space). Demnach ist eine partielle Isometrie eine Isometrie zwischen ihrem Anfangsraum und ihrem Zielraum.

== Beispiele ==
* Isometrien (speziell also auch [[unitärer Operator|unitäre Operatoren]]) sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass <math>\ker(U)=\{0\}</math>.
* [[Orthogonalprojektion]]en sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass der isometrische Anteil, d. h. die Einschränkung der Orthogonalprojektion auf das orthogonale Komplement ihres Kerns, die Identität ist.
* <math> U=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} : {\mathbb C}^4 \rightarrow {\mathbb C}^4 </math> ist eine partielle Isometrie mit Anfangsraum <math>\{(z_1,z_2,0,0); z_i\in {\mathbb C} \}</math> und Zielraum <math>\{(0,z_1,z_2,0); z_i\in {\mathbb C} \}</math>. In diesem Beispiel liegt der Zielraum ''schräg'' zur Zerlegung ''Kern + Anfangsraum''.

== Eigenschaften ==
Ist <math>U</math> eine partielle Isometrie, so ist <math>\mathrm{im}(U^*U)</math> der Anfangsraum, <math>\mathrm{im}(UU^*)</math> ist der Zielraum.

Für einen stetigen, linearen Operator <math>U</math> auf einem Hilbertraum sind folgende Aussagen äquivalent:
*<math>U</math> ist eine partielle Isometrie.
*<math>U^*U</math> ist eine Projektion.
*<math>U=UU^*U</math>

Mit <math>U</math> ist auch <math>U^*</math> eine partielle Isometrie, wobei Anfangs- und Zielraum ausgetauscht sind.

== Äquivalenz von Projektionen ==
Es sei <math>{\mathcal A}</math> eine [[Von-Neumann-Algebra]], d. h. es gibt einen Hilbertraum
<math>H</math>, so dass <math>{\mathcal A}\subset L(H)</math> eine [[C*-Algebra]] ist, die mit ihrem Bikommutanten übereinstimmt (siehe [[Bikommutantensatz]]). Zwei Orthogonalprojektionen <math>P</math> und <math>Q</math> aus <math>{\mathcal A}</math> heißen äquivalent (bezüglich <math>{\mathcal A}</math>) und man schreibt <math>P \sim Q</math>, wenn es eine partielle Isometrie <math>U\in {\mathcal A}</math> mit Anfangsraum <math>\mathrm{im}(P)</math> und Zielraum <math>\mathrm{im}(Q)</math> gibt, das heißt in Formeln <math>P=U^*U</math> und <math>Q=UU^*</math>.
Weiter schreibt man <math>P \precsim Q</math>, wenn <math>P</math> äquivalent zu einer Unterprojektion von Q ist, das heißt, wenn es eine Projektion <math>P'</math> gibt mit <math>P \sim P'</math> und <math>P'=P'Q=QP'</math>.

Man kann zeigen, dass <math>\sim</math> eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge aller Projektionen von <math>{\mathcal A}</math> ist, und dass <math>\precsim</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Menge der Äquivalenzklassen definiert. Ferner ist <math>P \,\sim Q</math> äquivalent zu <math>P \precsim Q</math> und <math>Q \precsim P</math>. Diese [[Ordnungsrelation]] spielt eine wichtige Rolle bei der [[Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)|Typklassifikation]] von Von-Neumann-Algebren.

== Siehe auch ==
Partielle Isometrien spielen eine wichtige Rolle in der [[Polarzerlegung]] von Operatoren.

== Quellen ==
* [[Paul Halmos]]: ''A Hilbert Space Problem Book'', Springer-Verlag, ISBN 0387906851
* V. S. Sunder: ''An Invitation to Von Neumann Algebras'' (1987), ISBN 0387963561

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Partielle Isometrie - Versionsgeschichte

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