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Die '''partielle Integration''' (teilweise Integration, Integration durch Teile, lat. integratio per partes), auch '''Produktintegration''' genannt, ist in der [[Integralrechnung]] eine Möglichkeit zur Berechnung [[Bestimmtes Integral|bestimmter Integrale]] und zur Bestimmung von [[Stammfunktion]]en. Sie bildet das Gegenstück zur [[Produktregel]] der [[Differentialrechnung]]. Der [[Gaußscher Integralsatz|Gaußsche Integralsatz]] aus der [[Vektoranalysis]] mit einigen seiner Spezialfälle ist eine Verallgemeinerung der partiellen Integration für Funktionen mehrerer [[Variable (Mathematik)|Variablen]].

== Aussage der partiellen Integration ==
Sind <math>f,\,g \colon [a,b] \to \R</math> zwei [[stetig differenzierbare Funktion]]en auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math>, dann gilt

:<math>\begin{align}
\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x
&= \Big[f(x)\cdot g(x)\Big]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x\\
&=f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a) - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x\,.
\end{align}</math>

Diese Regel wird ''partielle Integration'' genannt.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Berlin u. a., 2004, S. 202.</ref> Ihren Namen hat sie erhalten, weil bei ihrer Anwendung nur ein Teil des Integrals auf der linken Seite des Gleichheitszeichens bestimmt wird, nämlich <math>[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}</math>, und der zweite Ausdruck, nämlich <math>\textstyle - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x</math>, noch ein Integral beinhaltet. Diese Regel ist daher dann sinnvoll anzuwenden, wenn eine [[Stammfunktion]] zu <math>f'</math> bekannt, beziehungsweise leicht zu berechnen ist, und wenn der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.<ref>Yvonne Stry: ''Mathematik kompakt: für Ingenieure und Informatiker''. 3., bearb. Auflage, 2010, S. 314.</ref>

== Beispiel ==

Als Beispiel wird das Integral
:<math>\int_0^1 x\cdot e^x \,\mathrm{d}x</math>

betrachtet, wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion|natürliche Exponentialfunktion]] ist. Setzt man <math>f'(x) = e^x</math> und <math>g(x) = x</math>, so erhält man
:<math>f(x) = e^x</math> und <math>g'(x)=1</math>.

Mit partieller Integration folgt dann
:<math>\begin{align}
\int_0^1 x\cdot e^x \,\mathrm{d}x
&= \Big[x\cdot e^x \Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \,\mathrm{d}x \\
&= \Big[x\cdot e^x \Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1 \\
&= 1.
\end{align}</math>

Weitere Beispiele sind im Abschnitt [[#Unbestimmte Integrale und partielle Integration|Unbestimmte Integrale und partielle Integration]] dieses Artikels zu finden. Im Unterschied zu diesem Beispiel werden dort nur [[Unbestimmtes Integral|unbestimmte Integrale]] berechnet. Das heißt, dass an den Integralen keine Grenzen stehen, die dann, wie hier im Beispiel geschehen, im letzten Schritt in die Funktion eingesetzt werden.

== Geschichte ==
Eine geometrische Form der Regel der partiellen Integration findet sich schon in [[Blaise Pascal]]s Arbeit ''Traité des Trilignes Rectangles et de leurs Onglets'' (''Abhandlung über Kurvendreiecke und ihre ‚adjungierten Körper‘''), die 1658 als Teil der ''Lettres de A. Dettonville à M. Carcavy'' erschien. Da zu jener Zeit der Integralbegriff noch nicht entwickelt war, wurde diese Regel nicht mittels Integralen, sondern durch [[Summe|Summation]] von [[Infinitesimalzahl|Infinitesimalen]] beschrieben.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis'', Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 273.</ref>

[[Gottfried Wilhelm Leibniz]], der zusammen mit [[Isaac Newton]] als der Erfinder der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] gilt, bewies die in moderner Notation lautende Aussage
:<math>
\int_a^b y(x)\, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \left( \Big[x \cdot y(x)\Big]_{a}^b + \int_a^b \left(y(x) - x \cdot y'(x)\right) \mathrm{d} x \right)\,.
</math>
Sie ist ein Spezialfall der Regel zur partiellen Integration. Leibniz nannte diese Regel ''Transmutationstheorem'' und teilte sie Newton in seinem Brief mit, den er als Antwort auf die ''epistola prior'', den ersten Brief Newtons, nach [[England]] schickte. Mithilfe dieses Theorems untersuchte Leibniz den [[Flächeninhalt]] eines [[Kreis]]es und konnte die Formel
:<math>
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dotsb = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}
</math>
beweisen. Sie wird heute [[Leibniz-Reihe]] genannt.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis'', Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 418–421.</ref>

== Unbestimmte Integrale und partielle Integration ==
Die partielle Integration kann auch verwendet werden, um unbestimmte Integrale zu berechnen – also um [[Stammfunktion]]en zu bestimmen. Dazu werden in der Regel zur partiellen Integration die Integralgrenzen gestrichen, daher muss nun die [[Integrationskonstante]] addiert werden.

=== Regel ===
Sind <math>f</math> und <math>g</math> zwei [[stetig differenzierbare Funktion]]en und ist eine Stammfunktion von <math>f\cdot g'</math> bekannt, dann kann mit der Regel zur partiellen Integration

:<math>
\int f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x
</math>

eine Stammfunktion zu <math>f' \cdot g</math> gefunden werden.

=== Beispiele ===
In diesem Abschnitt wird an zwei Beispielen aufgezeigt, wie mit Hilfe der partiellen Integration eine Stammfunktion ermittelt wird. Im ersten Beispiel wird keine Stammfunktion bestimmt. Dieses Beispiel zeigt auf, dass beim Bestimmen einer Stammfunktion mit der partiellen Integration auch auf die Integrationskonstante geachtet werden muss. Im zweiten Beispiel wird die Stammfunktion des Logarithmus und im dritten Beispiel wird eine Stammfunktion zu einer [[Gebrochenrationale Funktion|gebrochenrationalen Funktion]] bestimmt.

==== Kehrwertfunktion ====
In diesem Beispiel wird das unbestimmte Integral von <math>\tfrac{1}{x}</math> betrachtet und partiell integriert. Obgleich nicht hilfreich zur ''konkreten'' Bestimmung der Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{x}</math>, verdeutlicht es doch, dass schließlich noch die Integrationskonstante addiert werden muss. Es gilt

:<math>\begin{align}
\int 1\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &= x\cdot\frac{1}{x} - \int x\cdot\frac{-1}{x^2}\,\mathrm{d}x \\
&= 1 + \int x\cdot\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \\
&= 1 + \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \,.
\end{align}</math>

Im Sinne unbestimmter Integrale ist diese Gleichung richtig, denn die Funktionen <math>\textstyle\int 1\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> und <math>\textstyle 1 + \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> sind beide Stammfunktionen der Funktion <math>\tfrac{1}{x}</math>. Würde man diesen Ausdruck als bestimmtes Integral mit den Grenzen <math>0 < a < b</math> betrachten, so würde der mittlere (der integralfreie) Term wegfallen, denn es gilt
:<math>\left[x\cdot\frac{1}{x}\right]_a^b = \frac{b}{b} - \frac{a}{a} = 0</math>.

==== Logarithmusfunktion ====
Steht nur ein Term im Integrand, auf dessen Stammfunktion ohne Tabellenwert nicht ohne weiteres zu schließen ist, kann man gelegentlich durch Einfügen des Faktors <math>1</math> partiell integrieren. Dies funktioniert beispielsweise bei der [[Logarithmusfunktion]] <math>\ln</math>. Um eine Stammfunktion von <math>\ln</math> zu bestimmen, wird bei der partiellen Integration der Logarithmus differenziert und von der Eins-Funktion eine Stammfunktion gebildet. Es gilt also<ref>[[Otto Forster]]: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 8. Aufl. 2006, S. 210.</ref>
:<math>\begin{align}
\int \ln(x) \,\mathrm{d}x &= \int 1 \cdot \ln(x) \,\mathrm{d}x\\
& = x \cdot \ln(x) - \int x \cdot {1 \over x} \,\mathrm{d}x \\
& = x \cdot \ln(x) - \int 1 \,\mathrm{d}x \\
& = x \cdot \ln(x) - x + C\,.
\end{align}</math>

==== Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion ====
Manchmal kann man es sich zunutze machen, dass nach mehreren Schritten der partiellen Integration das ursprüngliche Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches man dann durch [[Äquivalenzumformung]] mit dem ursprünglichen Integral auf der linken Seite zusammenfassen kann.

Als Beispiel wird das unbestimmte Integral

:<math>\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x</math>

berechnet. Mit <math>f(x) = \cos(x)</math> und <math>g'(x)= \sin(x)</math> ergibt sich
:<math>f'(x) = - \sin(x)</math> und <math>g(x)= - \cos(x)</math>
und man erhält
:<math>\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = -\cos^2(x) - \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x</math>.

Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, folgt
:<math>2 \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = - \cos^2(x) </math> .

Wird nun auf beiden Seiten durch 2 dividiert, so ergibt sich
:<math> \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = -\tfrac12\cos^2(x)</math>

und man hat eine Stammfunktion gefunden. Alle Stammfunktionen sind daher von der Form
:<math> \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = -\tfrac12\cos^2(x)+C</math>.

Vertauscht man bei der partiellen Integration die Rollen von <math>f</math> und <math>g</math>, so erhält man auf analoge Weise
:<math>\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = \tfrac12\sin^2(x)+C</math>,
was man auch durch Einsetzen von <math>\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)</math> in die zuerst gefundene Formel erhält. Man kann daher mit gleicher Berechtigung sowohl <math>-\tfrac12\cos^2(x)</math> als auch <math>\tfrac12\sin^2(x)</math> als Stammfunktion angeben, beide unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

==== Produkt von Polynom- und Exponentialfunktion ====
Bei manchen unbestimmten Integralen bietet es sich an, für <math>f'</math> einen Term zu wählen, der sich bei der Integration nicht oder nur unwesentlich verändert, beispielsweise die natürliche Exponentialfunktion oder die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]].

Als Beispiel wird das unbestimmte Integral
:<math>\int e^x \cdot \left(2-x^2\right) \,\mathrm{d}x</math>
betrachtet. Setzt man bei jedem partiellen Integrationsschritt <math>f'(x) = e^x</math> und für <math>g</math> den übrigen Term unter dem Integral, so ergibt sich
:<math>
\begin{align}
\int e^x \cdot \left(2-x^2\right) \,\mathrm{d}x
& = e^x \cdot \left(2-x^2\right) - \int e^x \cdot (-2x) \,\mathrm{d}x \\
& = e^x \cdot \left(2-x^2\right) + e^x \cdot 2x - \int 2 \cdot e^x \,\mathrm{d}x \\
& = e^x \cdot \left(2-x^2\right) + e^x \cdot 2x - 2\cdot e^x + C\\
& = e^x \cdot \left(2-x^2 +2x -2\right) + C\\
& = e^x \cdot \left(2x-x^2\right) + C\,.
\end{align}
</math>

== Beweis ==

Seien <math>f</math> und <math>g</math> zwei stetig differenzierbare Funktionen auf dem Intervall <math>[a,b]</math>. Nach der [[Produktregel]] der [[Differentialrechnung]] gilt

:<math>(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g',</math>

das heißt <math>f \cdot g</math> ist eine Stammfunktion der stetigen Funktion <math>f' \cdot g + f \cdot g'</math> auf <math>[a,b]</math>. Mit dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] folgt

:<math>\int_a^b \left[f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\right]\, \mathrm dx
= \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b.</math>

Mit der Linearität des Integrals erhält man hieraus
:<math> \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm dx+\int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm dx = \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b, </math>
woraus die Regel der partiellen Integration durch [[Subtraktion]] des Integrals <math display="inline">\int_a^b f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm dx</math> auf beiden Seiten folgt.

== Partielle Integration mithilfe einer Tabelle (DI-Methode) ==
Möchte man unbestimmte Integrale mithilfe partieller Integration bestimmen, so kann man dafür mit einer Tabelle arbeiten.<ref>{{Literatur |Autor=Mark Zegarelli |Titel=Analysis II für Dummies |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag= |Ort=Weinheim |Datum=2009-04 |ISBN=978-3527705092 |Seiten=152}}</ref> Dabei schreibt man in die linke Spalte die Ableitungen von <math>f</math> und in die rechte Spalte Stammfunktionen von <math>g</math>, bis eine der folgenden drei Bedingungen erfüllt ist:

# Eine Ableitung ist Null,
# das unbestimmte Integral einer Zeile (das Produkt der zugehörigen Zellen) ist bekannt oder
# eine Zeile wiederholt sich.

=== Fall 1: Eine Ableitung ist Null ===
Beispiel: <math>\int \cos(x) \cdot x^2\,\mathrm{d}x </math>

Da <math>\cos(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>x^2</math>, wählen wir

<math>f = x^2, \quad g=\cos(x)</math>.

Jetzt können wir die Tabelle aufstellen
{| class="wikitable"
|+
!Vorzeichen
!D (für Differenziation)
!I (für Integration)
|-
| +
|<math>x^2</math>
|<math>\cos(x)</math>
|-
| -
|<math>2x</math>
|<math>\sin(x)</math>
|-
| +
|<math>2</math>
|<math>-\cos(x)</math>
|-
| -
|<math>0</math>
|<math>-\sin(x)</math>
|}
Die vierte Zeile hat eine Null als Ableitung, d. h. wir können die Tabelle nach vier Zeilen beenden. Um das unbestimmte Integral zu berechnen, müssen wir mit Beachtung der Vorzeichen die einzelnen Zellen diagonal multiplizieren

<math>\int \cos(x) \cdot x^2\,\mathrm{d}x = x^2\sin(x) + 2x\cos(x) - 2\sin(x) - \int 0 \cdot (- \sin(x))\,\mathrm{d}x </math>

<math>= \sin(x)\,(x^2-2) + 2x\cos(x) + C </math>

=== Fall 2: Eine Zeile kann integriert werden ===
Beispiel: <math>\int 3x(\ln(x)-1) \cdot \left(x^5-4x^4\right)\,\mathrm{d}x </math>

In diesem Fall ist es einfacher, das [[Polynom]] zu integrieren, daher wählen wir

<math>f = 3x(\ln(x)-1), \quad g = x^5-4x^4 </math>
{| class="wikitable"
|+
!Vorzeichen
!D
!I
|-
| +
|<math>3x(\ln(x)-1) </math>
|<math>x^5 - 4x^4 </math>
|-
| -
|<math>3\ln(x) </math>
|<math>\frac{1}{6}x^6 - \frac{4}{5}x^5 </math>
|-
| +
|<math>\frac{3}{x} </math>
|<math>\frac{1}{42}x^7 - \frac{2}{15}x^6 </math>
|}
Wir müssen wieder diagonal multiplizieren
:<math>\int 3x(\ln(x)-1) \cdot \left(x^5-4x^4\right)\,\mathrm{d}x = \left(\frac{1}{2}x^7 - \frac{12}{5}x^6\right)\cdot(\ln(x)-1) - 3\ln(x) \cdot \left(\frac{1}{42}x^7 - \frac{2}{15}x^6\right) + \int\left(\frac{1}{14}x^6 - \frac{2}{5}x^5\right)\,\mathrm{d}x</math>

Wir können eine Stammfunktion für den zu integrierenden Teil berechnen

:<math>\int\left(\frac{1}{14}x^6 - \frac{2}{5}x^5\right)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{98}x^7 - \frac{1}{15}x^6</math>

und das Ergebnis zusammenfassen

:<math>\int 3x(\ln(x)-1) \cdot \left(x^5-4x^4\right) \,\mathrm{d}x = -\frac{24}{49}x^7 + \frac{7}{3}x^6+\ln(x) \cdot \left(\frac{3}{7}x^7-2x^6\right) + C </math>

=== Fall 3: Eine Zeile wiederholt sich ===
Beispiel: <math>\int e^{-x} \cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x</math>

Wir wählen

:<math>f = \cos(x),\quad g=e^{-x}</math>
{| class="wikitable"
|+
!Vorzeichen
!D
!I
|-
| +
|<math>\cos(x)</math>
|<math>e^{-x}</math>
|-
| -
|<math>-\sin(x)</math>
|<math>-e^{-x}</math>
|-
| +
|<math>-\cos(x)</math>
|<math>e^{-x}</math>
|}

Die dritte Zeile entspricht im Wesentlichen der ersten Zeile, bloß dass in der Spalte D ein anderes Vorzeichen steht.

Wir müssen eine Gleichung aufstellen

:<math>\int e^{-x} \cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x = -e^{-x} \cdot \cos(x)+ e^{-x}\sin(x) - \int e^{-x} \cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x </math>

und nach <math>\int e^{-x} \cdot \cos(x)\,\,dx</math> umstellen

:<math>\int e^{-x} \cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x = \frac{e^{-x}}{2} \cdot (\sin(x)-\cos(x))</math>.

=== Partielle Integration mit nur einer Funktion (Fall 2) ===
Beispiel: <math>\int \ln(x)\,\mathrm{d}x</math>

Wir wählen

:<math>f = \ln(x)</math>, <math>g = 1</math>
{| class="wikitable"
|+
!Vorzeichen
!D
!I
|-
| +
|<math>\ln(x)</math>
|<math>1</math>
|-
| -
|<math>\frac{1}{x}</math>
|<math>x</math>
|}
Die zweite Zeile lässt sich hier gemäß Fall 2 integrieren und wir können berechnen

:<math>\int \ln(x)\,\mathrm{d}x = x \cdot \ln(x) - \int 1\,\mathrm{d}x = x \cdot \ln(x) - x</math>.

=== Summendarstellung ===
Verschwindet die <math>(n+1)</math>-te Ableitung einer Funktion <math>f</math>, d. h. <math>f</math> ist ein Polynom vom Grad <math>n</math>, so lässt sich die wiederholte partielle Integration, bzw. die DI-Methode wie folgt schreiben:

:<math>\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \left[ f^{(k)}(x)\cdot \, ^{(k+1)}\!g(x) \right]_a^b </math>,

wobei <math>\, ^{(k+1)}\!g</math> eine <math>(k+1)</math>-te Stammfunktion von <math>g</math> bezeichnet.

Beispiel:

:<math>\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\left[\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}\cdot\frac{1}{(-a)^{k+1}}e^{-ax}\right]_0^\infty </math>

Das Integral verschwindet im Unendlichen, und bei 0 nur im Fall <math>n-k = 0</math> nicht:

:<math>= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\left[-\frac{n!}{(n-k)!}\cdot \delta_{nk}\cdot\frac{1}{(-a)^{k+1}}\right]= -(-1)^n \cdot \frac{n!}{(n-n)!}\cdot\frac{1}{(-a)^{n+1}} = \frac{n!}{a^{n+1}}</math>

== Partielle Integration bei uneigentlichen Integralen ==
Die Regel der partiellen Integration lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen auf Integrationsbereiche mit kritischer Grenze übertragen: Seien <math>-\infty < a < b \leq \infty</math> und <math>f,g</math> stetig differenzierbare Funktionen auf <math>[a,b[</math> und der Grenzwert <math display="inline">\lim_{x \nearrow b}f(x)g(x)</math> existiere. Konvergiert das (ggf. uneigentliche) Integral <math display="inline"> \int_a^b f(x)g'(x) \, \mathrm dx </math>, so auch <math display="inline">\int_a^b f'(x)g(x) \, \mathrm dx</math> und es gilt

:<math>\int_a^b f'(x)g(x)\, \mathrm dx = \lim_{x \nearrow b} f(x)g(x)-f(a)g(a) - \int_a^b f(x)g'(x)\, \mathrm dx. </math><ref>{{Literatur |Autor=Steffen Timmann |Titel=Repetitorium der Analysis Teil 1 |Auflage=2. |Verlag=Binomi Verlag |Ort=Springe |Datum=2003 |ISBN=3-923923-50-3 |Seiten=294}}</ref>
Mit der abkürzenden Schreibweise <math>\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b:=\lim_{x \nearrow b} f(x)g(x)-f(a)g(a)</math> liest sich dies in der gewohnten Form als

:<math>\int_a^b f'(x)g(x)\, \mathrm dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x)\, \mathrm dx.</math>
Eine entsprechende Aussage gilt, falls der linke Randpunkt des Integrationsintervalls eine kritische Stelle darstellt.

Für die praktischen Auswertung von uneigentlichen Integralen genügt jedoch die „gewöhnliche“ partielle Integration: Diese wird zuerst für die Integration auf einem kompakten Intervall <math>[a,\beta]</math> durchgeführt, was im Regelfall einen von <math>\beta</math> abhängigen Term liefert, und im Anschluss wird der Grenzübergang <math>\beta \to b</math> vollzogen.

=== Beispiel ===
Als Beispiel wird

:<math>\int_0^\infty x \cdot e^{-x}\,\mathrm dx</math>

betrachtet. Setzt man <math>f' (x)=e^{-x}</math> und <math>g(x)=x</math>, so sind <math>f</math> und <math>g</math> stetig differenzierbare Funktionen auf <math>[0, \infty)</math> und es ist <math display="inline">\lim_{x \to \infty} x\cdot e^{-x}=0.</math> Mit der Regel der partiellen Integration folgt

:<math>\int_0^\infty x \cdot e^{-x}\,\mathrm dx= \int_0^{\infty} e^{-x}\, \mathrm dx=1.</math>
Alternativ kann zuerst das Integral <math display="inline">\int_0^b x\cdot e^{-x}\, \mathrm dx</math> ausgewertet und dann der Grenzübergang <math>b \to \infty</math> vollzogen werden.

== Mehrdimensionale partielle Integration ==

Die partielle Integration in mehreren Dimensionen ist ein Sonderfall des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Integralsatzes]]:
Sei <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] mit abschnittsweise glattem Rand <math>\partial\Omega</math>. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld <math>\vec n</math>. Sei ferner <math>\vec v</math> ein [[stetig differenzierbar]]es [[Vektorfeld]] auf einer offenen Umgebung von <math>\Omega</math> und <math>\varphi</math> ein stetig differenzierbares [[Skalarfeld]] auf <math>\Omega</math>. Dann gilt

:<math>
\int_\Omega \operatorname{div} (\varphi \vec v) \; \mathrm dV = \int_\Omega (\varphi\, \operatorname{div}\, \vec v + \vec v\cdot \operatorname{grad}\, \varphi) \; \mathrm dV = \int_{\partial \Omega} \varphi\, \vec v \cdot \mathrm d \vec S
</math>

mit der Abkürzung <math>\mathrm d \vec S = \vec n\; \mathrm dS</math>. Dann folgt die Verallgemeinerung der partiellen Integration in mehreren Dimensionen
:<math>
\int_\Omega \varphi\, \operatorname{div}\, \vec v \; \mathrm d V = \oint_{\partial \Omega} \varphi\, \vec v \cdot \mathrm d \vec S - \int_\Omega \vec v\cdot \operatorname{grad}\, \varphi \; \mathrm dV
</math>.

== Regel der partiellen Integration für Stieltjesintegrale ==
Es seien <math>g</math> und <math>f</math> zwei Funktionen von [[Beschränkte Variation|finiter Variation]], dann gilt
:<math>
f(t)g(t)-f(0)g(0)= \int_0^t f(s)\; \mathrm{d}g(s)+\int_0^t g(s-)\; \mathrm{d}f(s)
</math>
bzw. anders geschrieben
:<math>
f(t)g(t)-f(0)g(0)= \int_0^t f(s-)\; \mathrm{d}g(s)+\int_0^t g(s-)\; \mathrm{d}f(s) +\sum_{0<s\leq t} \Delta f(s)g(s)
</math>.

== Schwache Ableitung ==
{{Hauptartikel|Schwache Ableitung}}

In der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] wurde mittels der Methode der partiellen Integration eine Verallgemeinerung der [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer differenzierbaren Funktion gefunden.

Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall <math>I = {]a,b[}</math> (klassisch) differenzierbare Funktion <math>f \colon I \to \R</math> und eine beliebig oft differenzierbare Funktion <math>\varphi \in C_c^\infty(I)</math> mit [[Kompaktheit (reelle Zahlen)|kompaktem]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] in <math>I</math>, dann gilt

:<math> \int_I f^\prime(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t</math>.

Hierbei wurde die partielle Integration eingesetzt. Der Randterm, also der Term ohne Integral, fehlt, da die Funktion <math>\varphi</math> eben einen kompakten Träger hat und daher <math>\varphi(a) = 0</math> und <math>\varphi(b) = 0</math> gilt.

Wird die Funktion <math>f</math> nun als eine [[Lp-Raum|<math>L^2</math>-Funktion]] gewählt, dann kann, selbst wenn <math>f</math> nicht differenzierbar ist (genauer: keinen differenzierbaren Vertreter in der Äquivalenzklasse besitzt), eine Funktion <math>g \in L^2(I)</math> existieren, die die Gleichung

:<math> \int_I g(t) \varphi(t) \,\mathrm{d}t = - \int_I f(t) \varphi^\prime(t) \,\mathrm{d}t</math>

für jede Funktion <math>\varphi \in C_c^\infty(I)</math> erfüllt. Eine solche Funktion <math>g</math> heißt ''schwache Ableitung'' von <math>f</math>. Die so entstehende Menge von schwach differenzierbaren <math>L^2</math>-Funktionen ist ein [[Vektorraum]] und er gehört zur Klasse der [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räume]]. Die [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]] mit kompaktem Träger, deren Vektorraum mit <math>C_c^\infty(I)</math> bezeichnet wird, heißen [[Testfunktion]]en.

Existiert jedoch keine Funktion <math>g \in L^2(I)</math> mit der geforderten Bedingung, so kann immer eine [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] <math>g</math> gefunden werden, so dass obige Bedingung im Distributionensinn erfüllt ist. Dann heißt <math>g</math> die [[Distributionenableitung]] von <math>f</math>.

== Siehe auch ==

* [[Integration durch Substitution]], eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von Integralen

== Literatur ==

* [[Otto Forster]]: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.
* Konrad Königsberger: ''Analysis 1.'' Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
* [[Serge Lang]]: ''A First Course in Calculus.'' Fifth Edition, Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96201-8.
* Yvonne Stry: ''Mathematik kompakt: für Ingenieure und Informatiker''. 3., bearb. Auflage, Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-642-11191-2.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration}}
* {{TIBAV |9987 |Linktext=Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2012 |DOI=10.5446/9987}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Partielle Integration - Versionsgeschichte

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