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2025-04-09T18:59:07Z

Revert: Univariat ist gerade nicht multivariat

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{{QS-Mathematik}}
[[Bild:PartielleAutokorrelation.png|thumb|Geschätzte partielle Autokorrelation der Zeitreihe der Tiefen des [[Huronsee]]. Die zugehörigen Konfidenzintervalle sind in blau (um die 0 zentriert) gezeichnet.]]
Die '''partielle Autokorrelationsfunktion''' (PAKF, engl. PACF) ist wie die [[Autokovarianzfunktion]] und die [[Autokorrelationsfunktion]] ein Instrument, um Abhängigkeiten zwischen den Werten einer [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] zu unterschiedlichen Zeiten zu identifizieren. Die PAKF misst den linearen Zusammenhang zwischen <math>Y_t</math> und <math>Y_{t+k}</math> unter Ausschaltung des Einflusses der dazwischen liegenden Variablen.

Bei autokorrelierten stationären Prozessen enthalten die Beobachtungen <math>Y_t</math> bis <math>Y_{T-1}</math> Informationen über den erwarteten Betrag und [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Größe <math>Y_{T}</math> (mit <math>t<T \in \mathbb N</math>). Die partielle Autokorrelation drückt dann die bedingte Information über die Ausprägung von <math>Y_T</math> aus, die man erhält, wenn man darüber hinaus <math>Y_{t-1}</math>, den Zustand des Prozesses zur Zeit <math>t-1</math>, kennt.

Mithilfe dieser bedingten Betrachtung der PACF kann, im Gegensatz zur [[Autokorrelationsfunktion]], die Ordnung eines [[Autoregressiver Prozess]]es direkt bestimmt werden.

== Definition bedingte Korrelation ==
Die formale Definition lautet bei [[zentrierte Zufallsvariable|zentrierten]] stationären Zeitreihen
:<math>\varphi_{kk} := \operatorname{Corr}(Y_t, Y_{t-k}|Y_{t-1}, \cdots, Y_{t-k + 1})\quad k = 0,\pm 1,\pm 2, \cdots
</math>

Die Operation <math>\operatorname{Corr}(\cdot,\cdot | \cdot)</math> bezeichnet dabei die ''[[bedingte Korrelation]]'', gebildet mit der [[bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswerten]] und [[Bedingte Varianz|bedingten Varianzen]]
:<math>\operatorname{Corr}(W,Z|\mathcal{F}_t) := \frac{E(WZ|\mathcal{F}_t)-E(W|\mathcal{F}_t)E(Z|\mathcal{F}_t)}
{\sqrt{\operatorname{Var}(W|\mathcal{F}_t)\operatorname{Var}(Z|\mathcal{F}_t)}}.</math>

Die Funktion ist in <math>k</math> symmetrisch und ihre Werte liegen im Intervall <math>[-1, 1]</math>. Es gilt <math>\varphi_{00} = 1</math>.

Beachte die bedingte Korrelation stimmt nur dann mit der [[partieller Korrelationskoeffizient|partiellen Korrelation]] überein, falls die Zufallsvariablen multivariat normal verteilt, elliptisch verteilt, multivariat hypergeometrisch verteilt, multivariat negative hypergeometrische verteilt, multinomial verteilt oder Dirichlet verteilt sind<ref>Baba, Kunihiro, Ritei Shibata, and Masaaki Sibuya. "Partial correlation and conditional correlation as measures of conditional independence." Australian & New Zealand Journal of Statistics 46.4 (2004): 657-664, https://doi.org/10.1111/j.1467-842X.2004.00360.x</ref>.

== Verfahren ==

Zur Bestimmung der PAKF gibt es verschiedene Verfahren:

*[[Yule-Walker-Gleichungen]] (nach [[George Udny Yule]]),
*[[Durbin-Levinson-Algorithmus]].

Letztere Methode geht [[rekursiv]] vor. Mit ihr kann auch eine empirische PAKF (geschätzte PAKF) berechnet werden.  Eine [[Approximation]] der [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] der empirischen PAKF ist mit der [[Quenouille-Approximation]] möglich:

<math>\hat\sigma(\hat\varphi_{kk})\approx\frac{1}{\sqrt{T}}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Partieller Korrelationskoeffizient]]

== Quellen ==
* Box, G. E. P., Jenkins, G. M., und Reinsel, G. C. (1994). ''Time Series Analysis, Forecasting and Control'', 3rd ed. Prentice Hall, Englewood Clifs, NJ.


== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Partielle Autokorrelationsfunktion - Versionsgeschichte

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