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'''Partialwellen''', wörtlich: ''Teil''wellen, ein Begriff der [[Quantenmechanik]], sind [[Stationärer Zustand (Quantenmechanik)|stationäre Lösungen]] eines [[Streuprozess|Streuproblems]] und gleichzeitig [[Eigenfunktion]]en des [[Drehimpulsoperator|Drehimpulses]]. Die [[Streuamplitude #Partialwellenentwicklung|Zerlegung einer Streuamplitude in Partialwellen]], d. h. eine [[Reihenentwicklung]] nach Drehimpulsen, ist sinnvoll vor allem bei Wechselwirkungen mit kurzer Reichweite, wie z. B. der [[Starke Wechselwirkung|starken Wechselwirkung]]. Aufgrund der kurzen Reichweite tragen nämlich für niedrige Energien nur kleine Drehimpulse zur Streuung bei.

== Erklärung im Teilchenbild ==
Wird ein bewegtes [[Teilchen]] im [[Feld (Physik)|Feld]] eines [[Streukörper|Streuzentrums]] – z. B. eines [[Atomkern]]s – aus seiner Bahn abgelenkt, so gehört zu dieser Bewegung ein [[Bahndrehimpuls]]. Dieser kann nur [[diskret]]e, durch eine [[Quantenzahl]] <math>l</math> beschriebene Werte annehmen; im Einzelfall hängt er bei gegebener [[Geschwindigkeit]] des Teilchens vom [[Stoßparameter]] ab. Die Beiträge der Einzelprozesse mit <math>l = 0, 1, 2, \dots</math> heißen im [[Welle-Teilchen-Dualismus|Wellenbild]] Partialwellen und wirken sich jeweils charakteristisch aus, z. B. in der Verteilung der insgesamt gestreuten Teilchen auf die Streurichtungen, die [[Winkelverteilung]].

Die Kennbuchstaben für die Werte von <math>l</math> werden benutzt [[Atomorbital #Neben- oder Bahndrehimpuls-Quantenzahl l|wie beim gebundenen Elektron im Atom]], man spricht also von der s-Welle (<math>l = 0</math>), p-Welle (<math>l = 1</math>), d-Welle (<math>l = 2</math>) usw.

== Herleitung ==
Ziel ist es, eine Lösung der [[Schrödingergleichung]] für ein sphärisch-symmetrisches [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(\vec r) = V(r)</math> wie z. B. das [[Coulombpotential]] zu finden.

Die [[Wellenfunktion]] <math>\psi_{\vec k}(\vec r)</math> wird für [[asymptotisch]]e Abstände <math>r \rightarrow \infty</math> als Überlagerung einer einlaufenden [[ebene Welle|ebenen Welle]] und einer durch die [[Streuamplitude]] <math>f(\theta,\phi)</math> modifizierten [[Kugelwelle]] angesetzt:

:<math>\psi_{\vec k}(\vec r) \xrightarrow{r \rightarrow \infty}[e^{i\vec k\vec r}+f(\theta,\phi)\frac{e^{ikr}}{r}]</math>

In diesem Fall ist die Streuamplitude aufgrund der [[Kugelsymmetrie]] ''unabhängig'' vom Winkel <math>\phi</math>:

::<math>f(\theta, \phi)= f(\theta)</math>

Nach einigen Umformungen ergibt sich die Lösungswellenfunktion des Streuproblems für asymptotische Distanzen zu:

:<math>\psi_{\vec k}(\vec r) = \sum_{l = 0}^\infty i^l(2l + 1) \; R_{lk}(r) \; P_l(\cos \theta)</math>

dabei sind <math>P_l(\cos\theta)</math> die [[Legendre-Polynome]].

<math>R_{lk}</math> ist die Lösung der radialen Schrödingergleichung, welche aus einer [[Linearkombination]] der sphärischen [[Besselsche Differentialgleichung|Bessel-Funktionen]] <math>j_l(\rho)</math> und der Von-Neumann-Funktion <math>n_l(\rho)</math> besteht:

:<math>R_{lk}\stackrel{\mathrm{r \rightarrow \infty}} = A_l \; j_l(kr) + B_l \; n_l(kr)</math>

Im nächsten Schritt wird die '''Streuphase''' <math>\delta_l</math> folgendermaßen definiert:

:<math>A_l = +a_l \cos \delta_l</math>
:<math>B_l = -a_l \sin \delta_l</math>

Die Phase der auslaufenden Kugelwelle wird also durch das Potential <math>V(r)</math> verschoben: bei [[Elastischer Stoß|elastischer Streuung]] unterscheidet sich die gestreute Welle von der ungestörten Welle des [[Freies Teilchen|freien Teilchens]] nur durch einen [[Zustand (Quantenmechanik) #Phasenfaktor und Superposition|Phasenfaktor]] <math>e^{i \cdot \delta_l}.</math>

Durch Einsetzen der sphärischen Bessel- und Von-Neumann-Funktionen und Vergleich mit dem Ansatz für die Wellenfunktion für asymptotische Distanzen kommt man nach einigen Umformungen auf den folgenden Zusammenhang zwischen Streuamplitude <math>f(\theta)</math> und der Streuphase <math>\delta_l</math>:

:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">f(\theta) = \sum_{l = 0}^\infty(2l + 1) \; f_l(\delta_l) \; P_l(\cos \theta)</math>

wobei

::<math>f_l(\delta_l) = \frac{1}{k}e^{i \cdot \delta_l}\sin\delta_l</math>

den Beitrag der ''l''-ten Partialwelle darstellt.

== Streulänge ==
Eine weitere wichtige Größe für die Analyse von Streuproblemen, die sich aus der Streuamplitude ableiten lässt, ist die '''Streulänge''' ''a''. Sie ergibt sich aus dem [[Wirkungsquerschnitt|totalen Streuquerschnitt]], wenn die Energie des gestreuten Teilchens gegen 0 geht:

:<math>\begin{align}
\lim_{k \to 0} \sigma_\text{total} & = 4 \pi \cdot a^2\\
\Leftrightarrow a & = \pm \sqrt{\frac{\lim_{k \to 0} \sigma_\text{total}}{4 \pi}}
\end{align}</math>

Die Streulänge entspricht also einer effektiven Querschnittsfläche, welche sowohl die Stärke als auch die Art eines Potentials anzeigt.

Mit folgender Definition für den totalen Querschnitt:

::<math>\sigma_\text{total} = \int_{4\pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} \cdot d \Omega = \int_{4\pi} |f(\theta)|^2 \cdot d \Omega = \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\sin^2\delta_l</math>

wird die Streulänge für s-Wellen (<math>l = 0</math>) zu:

:<math>a = \pm \lim_{k \to 0} \frac{\sin\delta_0}{k} \; .</math>

== Literatur ==
* Cohen-Tannoudji: Quantum Mechanics - Vol 2, Wiley-Interscience, 2006.

== Weblinks ==
* TU München: {{Webarchiv | url=http://www.e12.ph.tum.de/stud/vorlesungen/kruecken/WS2009/KT1/skript/9-NN-Wechselwirkung.pdf | wayback=20140307033035 | text=Eigenschaften der Nukleon-Nukleon Wechselwirkung}}

[[Kategorie:Streutheorie]]

Partialwelle - Versionsgeschichte

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