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Die '''parsevalsche Gleichung''' (nach [[Marc-Antoine Parseval]]), auch bekannt als ''Abgeschlossenheitsrelation'', aus dem Gebiet der [[Funktionalanalysis]] ist die allgemeine Form des [[Satz des Pythagoras|Satzes des Pythagoras]] für [[Innenproduktraum|Innenprodukträume]]. Zugleich ist sie wichtig für Orthogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für die [[Fouriertransformation#Verallgemeinerung|verallgemeinerte Fouriertransformation]].

==Formulierung==

Es seien ein [[Prähilbertraum]] <math>V</math> und [[Orthonormalsystem]] <math>S\sub V</math> gegeben – d. h. alle Elemente von <math>S</math> sind zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]] und haben zudem die [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>1</math>. <math>S</math> ist genau dann ein vollständiges Orthonormalsystem ([[Orthonormalbasis]]) von <math>V</math>, wenn für alle <math>v \in V</math> die parsevalsche Gleichung

:<math>\|v\|^2=\langle v,v\rangle=\sum_{s\in S}|\langle v,s\rangle|^2</math>

erfüllt ist. Hierbei bezeichnet <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> das Innenprodukt und <math>\|\cdot\|</math> die [[Skalarproduktnorm|zugehörige Norm]] von <math>V</math>.

Ist <math>S</math> ein unvollständiges Orthonormalsystem, so gilt immerhin noch die [[besselsche Ungleichung]].

== Anwendungen ==

Die Gleichung hat die physikalische Aussage, dass die [[Energie]] eines [[Signal]]s im [[Impulsraum]] betrachtet mit der Energie des Signals im [[Ortsraum]] identisch ist.

Eine andere Formulierung der Gleichung ist die Aussage, dass die [[Lp-Raum|L<sup>2</sup>-Norm]] einer Funktion gleich der
<math>\ell^2</math>- beziehungsweise <math>L^2(\Z)</math>-Norm der Koeffizienten der [[Fourierreihe]] dieser Funktion ist. Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist der [[Satz von Plancherel]].

=== Spezialfall der Fourierreihe ===
{{Hauptartikel|Satz von Parseval}}

Falls <math> a_k, b_k </math> die Fourierkoeffizienten der (reellen) [[Fourierreihe]]nentwicklung der <math>2\pi</math>-periodischen reellwertigen Funktion <math>f</math> sind, das heißt

::<math>
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\,\cos(kx) + b_k\,\sin(kx)\right)
</math>,
dann gilt die Gleichung
::<math>
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\, \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2).</math>

Diese Identität ist ein Spezialfall der oben beschriebenen allgemeinen parsevalschen Gleichung, wenn man als Orthonormalsystem die trigonometrischen Funktionen <math> \tfrac{1}{\sqrt2},\, \cos(nx),\, \sin(nx)</math>, <math>n=1,2,\dotsc</math>, nimmt, mit dem Skalarprodukt
::<math>\langle f,\,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\;dx</math>.

=== Satz von Plancherel ===
{{Hauptartikel|Satz von Plancherel}}

Der parsevalschen Gleichung für die Fourierreihe entspricht eine Identität der [[Fouriertransformation]], die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird:

Falls <math> \hat{f}(\xi) </math> die Fouriertransformierte von <math>f(x)</math> ist, dann gilt die Gleichung
:<math> \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \mathrm d \xi </math>
Die Fouriertransformation ist damit eine [[Isometrie]] im Hilbertraum [[Lp-Raum|L<sup>2</sup>]]. Diese Gleichung entspricht der parsevalschen, da der Fouriertransformation das Orthogonalsystem der [[Hermitesche Funktion|Hermiteschen Funktionen]] zugeordnet ist.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6

[[Kategorie:Harmonische Analyse]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Parsevalsche Gleichung - Versionsgeschichte

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