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2026-03-13T16:32:29Z

Pseudodifferentialoperatoren

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Eine '''Parametrix''' ist ein Objekt aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Es findet insbesondere Verwendung in der Theorie der [[partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und ist eine Verallgemeinerung der [[Fundamentallösung]] eines [[Differentialoperator|Differentialoperators]] mit konstanten Koeffizienten.

== Definition ==
Eine Fundamentallösung eines Differentialoperators <math>P(D)</math> mit konstanten Koeffizienten ist eine [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] <math>u</math>, so dass
:<math>P(D)u = \delta</math>
im (distributionellen Sinn) gilt. Das Symbol <math>\delta</math> bezeichnet hier die [[Deltadistribution]].

Eine Parametrix des Differentialoperators <math>P(D)</math> mit konstanten Koeffizienten ist eine Distribution <math>u \in \mathcal{D}(\R^n)</math>, so dass
:<math>P(D)u = \delta + \omega</math>
gilt, wobei <math>\omega \in C^\infty(\R^n)</math> eine [[glatte Funktion]] ist.

Insbesondere ist die Fundamentallösung ein Spezialfall der Parametrix. Die Parametrix ist ein nützliches Konzept für die Untersuchung von [[elliptischer Differentialoperator|elliptischen Differentialoperatoren]].

== Pseudodifferentialoperatoren ==
In der Theorie der (hypo)elliptischen [[Pseudodifferentialoperator|Pseudodifferentialoperatoren]] wird der Begriff der Parametrix etwas anders verwendet.

Sei also <math>P</math> ein [[eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator]] der Ordnung <math>k</math>. Dann heißt ein Pseudodifferentialoperator <math>Q</math> der Ordnung <math>-k</math> Parametrix zu <math>P</math>, falls
:<math>P \circ Q = I + R_1\quad \text{und}\ \quad Q \circ P = I + R_2</math>
gilt. Dabei ist <math>I</math> der identische Operator und <math>R_1</math> und <math>R_2</math> sind [[Glättender Pseudodifferentialoperator|glättende Pseudodifferentialoperatoren]], das heißt, sie haben die Ordnung <math>-\infty</math>.

== Literatur ==
* [[Lars Hörmander]]: ''The analysis of linear partial differential operators I'' Grundl. Math. Wissenschaft. Vol. 256, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8
* {{EoM
| Autor = Sh.A. Alimov
| Titel = Parametrix method
| Url = http://eom.springer.de/p/p071570.htm
}}

[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Parametrix - Versionsgeschichte

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