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2025-06-28T15:04:58Z

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Die '''parametrische Statistik''' ist ein Zweig der [[Induktive Statistik|induktiven Statistik]]. Um mit Hilfe von Daten aus einer [[Stichprobe]] Aussagen über eine unbekannte [[Grundgesamtheit]] herzuleiten, wird in der induktiven Statistik davon ausgegangen, dass die Beobachtungsdaten <math>x_1,\ldots, x_n</math> [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] von [[Zufallsvariable]]n <math>X_1,\ldots, X_n</math> sind. In der parametrischen Statistik wird zusätzlich angenommen, dass die Zufallsvariablen <math>X_i</math> aus einer Familie vorgegebener [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en (oft: der [[Normalverteilung]]) stammen, deren Elemente bis auf einen (endlichdimensionalen) Parameter eindeutig bestimmt sind.<ref>{{Literatur |Autor=Seymour Geisser, Wesley O. Johnson |Titel=Modes of Parametric Statistical Inference |Verlag=Wiley |Datum=2006 |ISBN=0-471-74313-5}}</ref>
Die meisten bekannten statistischen Analyseverfahren sind parametrische Verfahren.<ref>{{Literatur |Autor=D. R. Cox |Titel=Principles of Statistical Inference |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2006 |ISBN=0-521-68567-2}}</ref>

Im Gegensatz dazu steht die [[nichtparametrische Statistik]]. Da deren Verfahren keine Verteilungsannahme bzgl. der Zufallsvariablen <math>X_i</math> erfordern, heißen sie auch ''verteilungsfrei''.<ref>{{Literatur |Autor=David C. Hoaglin, John Tukey, Frederick Mosteller |Titel=Understanding Robust and Exploratory Data Analysis |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2000 |ISBN=0-471-38491-7}}</ref>

== Beispiel ==
Um eine neue Therapie zur Senkung des [[Cholesterinspiegel]]s zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:

{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
|style="text-align:left"|Vor der Behandlung: ||223 ||259 ||248 ||220 ||287 ||191 ||229 ||270 ||245 ||201
|-
|style="text-align:left"|Nach der Behandlung: ||218 ||242 ||241 ||208 ||297 ||168 ||208 ||273 ||250 ||186
|-
|style="text-align:left"|Differenz: ||5 ||17 ||7 ||12 ||−10 ||23 ||21 ||−3 ||−5 ||15
|}

Wenn die neue Therapie einen Effekt hat, dann sollte der Mittelwert der Differenzen signifikant von Null abweichen. Der parametrische Test lehnt die [[Hypothese (Statistik)|Nullhypothese]] ab, während der nichtparametrische Test diese nicht verwerfen kann. In der Praxis würde man hier natürlich [[Einseitiger Test|einseitige Tests]] durchführen.

=== Parametrisches Verfahren ===
Üblicherweise würde man hier den [[Zweistichproben-t-Test#Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben|Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben]] einsetzen (Nullhypothese: der Mittelwert der Differenz ist Null). Eine Voraussetzung für diesen Test ist jedoch, dass entweder der Stichprobenumfang größer als 30 ist ([[Faustregel]]) oder die Differenzen normalverteilt sind. Sind die Differenzen normalverteilt, kann man zeigen, dass die [[Teststatistik]] einer [[t-Verteilung]] folgt.

Die Differenzen der Messwerte haben das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] <math>\bar d = 8{,}2</math> und die [[Empirische Standardabweichung|Stichprobenstandardabweichung]] <math>s_d=11{,}3867</math> (gerundet). Das ergibt als Prüfwert
: <math>t=\sqrt{10}\frac{8{,}2}{11{,}3867}=2{,}281</math> (gerundet).
Der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=5\,\%</math> ergibt sich zu <math>[-2{,}262; +2{,}262]</math>. Da der Prüfwert außerhalb des Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, muss sie verworfen werden.

=== Nichtparametrisches Verfahren ===
Die nichtparametrische Alternative hierzu ist der [[Vorzeichentest]]. Hier ist die Nullhypothese, dass der Median Null ist. Bei der Normalverteilung stimmen Median und Mittelwert immer überein, dies ist jedoch bei anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht unbedingt der Fall. Hier sind genau drei Differenzen kleiner Null und sieben größer als Null. Die Teststatistik folgt einer [[Binomialverteilung]] mit <math>n=10</math> und <math>p=0{,}5</math>. Der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=5\,\%</math> ergibt sich zu <math>[2; 8]</math>. Da drei und sieben innerhalb des Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese liegen, kann sie nicht verworfen werden.

== Vorteile und Nachteile ==
Die Verfahren der parametrischen Statistik beruhen im Gegensatz zu Methoden der [[Nichtparametrische Statistik|nichtparametrischen Statistik]] auf zusätzlichen Verteilungsannahmen.<ref>{{Literatur |Autor=Gregory W. Corder und Dale I. Foreman |Titel=Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2009 |ISBN=978-0-470-45461-9}}</ref>
Sind diese Annahmen richtig, ergeben sich in aller Regel genauere und präzisere Schätzungen. Sind sie nicht korrekt, so liefern parametrische Verfahren in vielen Fällen schlechte Schätzungen; das parametrische Konzept ist dann ''nicht robust'' gegen die Verletzung der Verteilungsannahmen. Andererseits sind parametrische Verfahren oft einfacher und schneller zu berechnen. Manchmal ist eine schnelle Berechnung wichtiger als die Nicht-Robustheit, insbesondere wenn diese bei der Interpretation von Statistiken berücksichtigt wird.<ref>{{Literatur |Autor=David A. Freedman |Titel=Statistical Models: Theory and Practice |Auflage=2. |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2009 |ISBN=978-0-521-74385-3}}</ref>

== Begriffsgeschichte ==
Der Statistiker [[Jacob Wolfowitz]] prägte den statistischen Begriff der ''parametrischen Statistik'', um deren Gegenteil zu definieren:
{{Zitat
|Text=Most of these developments have this feature in common, that the distribution functions of the various stochastic variables which enter into their problems are assumed to be of known functional form, and the theories of estimation and of testing hypotheses are theories of estimation of and of testing hypotheses about, one or more parameters. …, the knowledge of which would completely determine the various distribution functions involved. We shall refer to this situation. … as the parametric case, and denote the opposite case, where the functional forms of the distributions are unknown, as the non-parametric case.
|Sprache=en
|Autor=Jacob Wolfowitz
|ref= <ref>{{Literatur |Autor=Jacob Wolfowitz |Titel=Additive Partition Functions and a Class of Statistical Hypotheses |Sammelwerk=Annals of Mathematical Statistics |Band=13 |Datum=1942 |Seiten=264}}</ref>}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]]

Parametrische Statistik - Versionsgeschichte

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