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2023-07-05T14:37:15Z

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Als '''Parametertransformation''' wird in der [[Analysis]] eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[Monotone reelle Funktion|streng monotone Abbildung]] bezeichnet, die den [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] eines [[Weg (Mathematik)|Weges]] ändert.

== Formale Definition ==
Sind <math>\gamma_1\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n</math> und <math>\gamma_2\colon[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}^n</math> zwei Wege und
ist <math>f\colon [a,b] \rightarrow [\alpha, \beta]</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[streng monotone Funktion]] mit
:<math>\gamma_1(t) = \gamma_2(f(t))</math> für alle <math>t \in [a, b]</math>, also <math>\gamma_1 = \gamma_2 \circ f</math>,
so nennt man
<math>f</math> eine Parametertransformation.<ref name="forster-analysis-2">{{BibISBN|9783834805751| Seite = 44}}</ref>
Man nennt <math>\gamma_1</math> dann auch eine ''Umparametrisierung'' von <math>\gamma_2</math> mittels <math>f</math>.<ref name="TutoriumA139">{{BibISBN|9783827428950|Seite=139}}</ref>

Ist <math>f</math> streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation ''orientierungstreu'' genannt. Falls die Parametertransformation <math>f</math> streng monoton fallend ist, wird sie ''orientierungsumkehrend'' genannt.

Wenn <math>f</math> und die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> [[stetig differenzierbar]] sind, dann nennt man <math>f</math> eine <math>C^1</math>-Parametertransformation.

== Eigenschaften ==
* Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige [[Kurve (Mathematik)|Kurve]].<ref>{{BibISBN|9783834812315| Seite = 48}}</ref>
* Der Weg <math>\gamma_1</math> ist genau dann rektifizierbar, wenn <math>\gamma_2</math> rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die [[Länge (Mathematik)|Weglängen]] von <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> gleich.<ref>{{BibISBN|3519622327|Seite=360}}</ref>

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783834805751| Seiten = 44–46}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analysis]]

Parametertransformation - Versionsgeschichte

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