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2024-12-12T15:33:56Z

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Als '''Parameterintegral''' wird in der [[Analysis]] ein [[Integralrechnung|Integral]] bezeichnet, dessen Integrand von einem [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der [[Gammafunktion]]. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.

== Definition des Parameterintegrals ==

Es seien <math>(X,d)</math> ein [[metrischer Raum]], <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein Maßraum, <math>(E,\Vert\cdot\Vert)</math> ein [[Banachraum]] und <math>f \colon X \times \Omega \to E</math>. Für alle <math>x \in X</math> sei <math>\omega \mapsto f(x, \omega)</math> über <math>\Omega</math> integrierbar bezüglich des Maßes <math>\mu</math>. Dann heißt <math>F\colon X \to E</math>

:<math>F(x)=\int_\Omega f(x,\omega)\,\mu(\mathrm d\omega)</math>

Parameterintegral mit dem Parameter <math>x</math>.

== Beispiele ==

* Die [[Gammafunktion]] <math>\Gamma:(0,\infty)\to \mathbb{R}</math> ist definiert über das Parameterintegral
:: <math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm dt</math>.

* Betrachte den Maßraum <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)</math> und <math>f\in \mathcal{L}_1(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)</math>. Dann ist die Funktion
:: <math>F(x)=\int_a^x f\, \mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}} 1_{[a,x]}f\, \mathrm{d}\mu, \quad a\in \mathbb{R}, \quad x \geq a</math>
ein Parameterintegral. Aus dem [[Satz von der majorisierten Konvergenz|Satz der majorisierten Konvergenz]] folgt, dass <math>F</math> stetig ist (man beachte, dass dieses Integral nicht die Voraussetzungen des unten genannten Satzes erfüllt, da <math>x \mapsto 1_{[0,x]}</math> nicht stetig ist). Gemäß dem [[Fundamentalsatz der Analysis#Der Hauptsatz für Lebesgue-Integrale|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-integrale]] ist <math>F</math> sogar [[Absolut stetige Funktion|absolut stetig]]. Im Allgemeinen existiert allerdings kein <math>\alpha >0</math>, sodass <math>F</math> für alle <math>f\in \mathcal{L}_1(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)</math> lokal <math>\alpha</math>-[[Hölderstetigkeit|Hölder stetig]] ist (was eine stärkere Stetigkeitseigenschaft wäre). Dafür betrachte man z. B. den Fall <math>\mu=\lambda</math> (Lebesgue-Maß) und folgende Familie von ([[Numerische Funktion|numerischen]]) Funktionen mit <math>p\in(0,1)</math>
:: <math>f_p(x)= \begin{cases} x^{p-1} & \text{für } x >0 \\ \infty & \text{für } x = 0 \end{cases}</math>.
Diese Funktionen sind messbar, da sie auf <math>(0,\infty)</math> stetig sind und <math>f^{-1}_p(\{\infty\})=\{0 \}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ist. Das Integral über <math>[0,x]</math> und <math>x\geq 0</math> entspricht hier dem uneigentlichen Riemann-Integral, sodass
:: <math>F_p(x)=\int_0^x f_p \, \mathrm{d}\lambda= \frac{1}{p} x^p</math>.
Im Punkt <math>x=0</math> ist <math>F_p</math> offensichtlich <math>\alpha</math>-Hölder stetig mit <math>\alpha \leq p</math>, aber da <math>p</math> beliebig war, kann <math>\alpha</math> nicht positiv sein.

== Stetigkeit von Parameterintegralen ==

Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum, <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein Maßraum, <math>(E,\Vert\cdot\Vert)</math> ein Banachraum. Für eine Abbildung <math>f \colon X \times \Omega \to E</math> gelte

* <math>f(x,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)</math> für jedes <math>x \in X</math>,
* <math>f(\cdot, \omega) \in C(X,E)</math> (also stetig) für <math>\mu</math>-f.a. <math>\omega \in \Omega</math>,
* Es gibt ein <math>g \in \mathcal L_1(\Omega,\mathcal A,\mu;\mathbb R_+)</math> mit <math>\Vert f(x,\omega)\Vert \leqslant g(\omega)</math> für <math>(x,\omega) \in X \times \Omega</math>.

Dann ist

:<math>F \colon X \to E,\ x \mapsto \int_\Omega f(x,\omega)\mu(\mathrm d\omega)</math>

wohldefiniert und stetig.

== Differenzierbarkeit von Parameterintegralen ==

Sei <math>U \subset \mathbb R^d</math> offen, <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein Maßraum, <math>(E,\Vert\cdot\Vert)</math> ein Banachraum. Für eine Abbildung <math>f \colon U \times \Omega \to E</math> gelte

* <math>f(u,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)</math> für jedes <math>u \in U</math>,
* <math>f(\cdot, \omega) \in C^1(U,E)</math> (also stetig differenzierbar) für <math>\mu</math>-f.a. <math>\omega \in \Omega</math>,
* Es gibt ein <math>g \in \mathcal L_1(\Omega,\mathcal A,\mu;\mathbb R_+)</math> mit <math>\Vert\partial_u f(u,\omega)\Vert \leqslant g(\omega)</math> für <math>(u,\omega) \in U \times \Omega</math>.

Dann ist

:<math>F \colon U \to E,\ u \mapsto \int_\Omega f(u,\omega)\mu(\mathrm d\omega)</math>

stetig differenzierbar mit

:<math>\partial_j F(u) = \int_\Omega \frac{\partial}{\partial u^j} f(u,\omega) \mu(\mathrm d\omega), \quad u\in U, \quad 1\leqslant j \leqslant d.</math>

Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.

== Leibnizregel für Parameterintegrale ==
{{Hauptartikel|Leibnizregel für Parameterintegrale}}

Die Ableitung eines Parameterintegrals nach dem Parameter wird durch die [[Leibnizregel für Parameterintegrale]] beschrieben.

== Literatur ==
* [[Harro Heuser]]: ''Analysis 2.'' 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-519-32232-3, S. 101ff.
* René L. Schilling: ''Measures, Integrals and Martingales'' 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.
* Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis III''. 2. Auflage, Birkhäuser Basel, 2009, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 110 ff.

[[Kategorie:Integralbegriff]]

Parameterintegral - Versionsgeschichte

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