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[[Datei:Parametric-representation-of-unit-circle.svg|mini|hochkant=1.2|Parameterdarstellungen des Einheitskreises<br />
rot: <math>x = \cos t; \ y = \sin t</math><br />
grün: <math>x = \tfrac{1-\tau^2}{1+\tau^2}; \ y = \tfrac{2\tau}{1+\tau^2} </math><br />
Die Parameter <math>t</math> und <math>\tau</math> laufen jeweils von 0 bis 3 mit einer Schrittweite von 0,2. Der Parameter <math>t</math> der ersten Darstellung ist die Bogenlänge. Die zweite Darstellung besteht allein aus [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]]. Beide Darstellungen erfüllen die Kreisgleichung <math>x^2+y^2=1.</math>]]
Unter einer '''Parameterdarstellung''' versteht man in der [[Mathematik]] eine Darstellung, bei der die Punkte einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] oder [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] als [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] einer oder mehrerer [[Variable (Mathematik)|Variablen]], der [[Parameter (Mathematik)|Parameter]], durchlaufen werden. Für die Beschreibung einer Kurve in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] oder im [[Mannigfaltigkeit|Raum]] wird ein Parameter benötigt, für die Beschreibung einer Fläche ein Satz von zwei Parametern.

Eine Kurve oder Fläche mit Parametern zu beschreiben, wird '''Parametrisierung''' genannt. Die Zuweisung von konkreten Werten zu den einzelnen Parametern wird '''Parametrierung''' genannt.

Ein Beispiel ist die Beschreibung des [[Einheitskreis]]es um den [[Koordinatenursprung|Ursprung]] eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] in der Ebene. Ein möglicher Parameter ist der Winkel <math>t</math> im Koordinatenursprung (s. nebenstehendes Bild), womit man folgende Parameterdarstellung des [[Ortsvektor]]s <math>\vec r</math> in Abhängigkeit von <math>t</math> erhält:
:<math>
\vec r(t)
= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}
\quad \mathrm{f\ddot ur}\ 0\leq t < 2\pi
.
</math>
Die Beschreibung der [[Trajektorie (Physik)|Bahn]]<nowiki />koordinaten eines bewegten Objektes in Abhängigkeit von der [[Zeit]] ist ein Beispiel einer Parameterdarstellung in der [[Physik]].

Ist eine Parameterdarstellung einer Kurve oder Fläche bekannt, kann zu jedem Parameter(satz) direkt der entsprechende Punkt der Kurve oder Fläche angegeben werden. Dagegen ist es meist schwieriger, zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt auf der Kurve oder Fläche liegt.

Kurven oder Flächen können auf unterschiedliche Art parametrisiert werden. Bei Kurven ist es oft günstig, die [[Länge (Mathematik)|Bogenlänge]], gemessen von einem festen Punkt aus entlang der Kurve, als Parameter zu wählen. Die Parameter von Flächen oder höherdimensionalen Gebilden werden oft so gewählt, dass die Parameterlinien [[Orthogonalität|orthogonal]] sind. Auch bei relativ einfachen Gebilden ist es nicht immer möglich, zu jeder Parametrisierung eine Parameterdarstellung der Koordinaten mit Hilfe von [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] zu finden, beispielsweise wenn bei einer [[Ellipse]] die Bogenlänge als Parameter gewählt wird.

== Eigenschaften der Parameterdarstellungen ==
Neben der Parameterdarstellung gibt es auch andere Möglichkeiten, Kurven oder Flächen zu beschreiben. In der Ebene beschreibt beispielsweise der [[Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion eine Kurve, im dreidimensionalen Raum kann durch die Funktion <math>z=f(x,y)</math> eine Fläche beschrieben werden. Dies sind spezielle Parameterdarstellungen, wenn man die Funktionsvariablen als Parameter auffasst. Sie sind allerdings nicht zur Darstellung von Figuren wie Kreisen oder Kugeln geeignet, da sie jedem Punkt der <math>x</math>-Achse oder der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene nur einen Punkt zuordnen können. Mit der Funktion
:<math>y=f(x)=\sqrt{1-x^2}</math>
kann nur ein Halbkreis dargestellt werden. Um einen vollen Kreis zu erhalten, muss ein weiterer Halbkreis <math>y_2=-f(x)</math> hinzugefügt werden.

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die [[Implizite Funktion|implizite Beschreibung]] durch eine [[Gleichung]] der Koordinaten, beispielsweise <math>F(x,y)=0</math>. Der Einheitskreis lässt sich in dieser Form durch die Kreisgleichung
:<math> x^2 + y^2 - 1 = 0\,</math>
beschreiben. Diese Form eignet sich gut, um zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Kurve oder Ebene liegt, da lediglich geprüft werden muss, ob die Koordinaten die Gleichung erfüllen (siehe [[Punktprobe]]). Mit ''einer'' solchen impliziten Gleichung können nur Objekte beschrieben werden, deren [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] um 1 geringer ist als die des Raumes, in dem sie beschrieben werden. Eine Gleichung reicht im dreidimensionalen Raum zur Beschreibung von Flächen, nicht jedoch von Kurven.

Bei einer Parameterdarstellung ist es leicht, einzelne Punkte zu berechnen, die zur parametrisierten Kurve oder Fläche gehören. Sie eignet sich daher gut, um diese Objekte zu zeichnen, beispielsweise in [[CAD]]-Systemen. Außerdem lassen sich die berechneten Koordinaten leicht in andere [[Koordinatentransformation|Koordinatensysteme transformieren]], so dass Objekte relativ einfach verschoben, gedreht oder skaliert werden können.

In der Physik eignet sich die Parameterdarstellung zur Beschreibung der Bahn bewegter Objekte, wobei meist die Zeit <math>t</math> als Parameter gewählt wird. Die Ableitung des Ortsvektors <math>\vec r(t)</math> nach der Zeit ergibt dann die zeitabhängige [[Geschwindigkeit]] <math>\vec v(t)=\vec r\,'(t)</math>, die zweite Ableitung die [[Beschleunigung]] <math>\vec a(t)=\vec r\,''(t)</math>. Ist umgekehrt eine Anfangsposition <math>\vec r_0</math> und Anfangsgeschwindigkeit <math>\vec v_0</math> zum Zeitpunkt <math>t_0</math> sowie ein (möglicherweise orts- und zeitabhängiges) Beschleunigungsfeld <math>\vec a(\vec r, t)</math> gegeben, erhält man die Parameterdarstellung der Bahnkurve durch [[Integralrechnung|Integration]]. Bei einer [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung|konstanten Beschleunigung]] wie beim [[Wurfparabel|schrägen Wurf]] ohne Luftwiderstand ergibt sich beispielsweise folgende Bahnkurve:
:<math>\vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 \cdot (t-t_0) + \tfrac{1}{2} \vec a \cdot (t-t_0)^2 .</math>

Parameterdarstellungen werden auch in der [[Differentialgeometrie]] verwendet. Mit Hilfe von Ableitungen der Ortsvektoren nach den Parametern lassen sich [[Länge (Mathematik)|Längen]], [[Tangentialraum|Tangentenvektoren oder Tangentialebenen]], [[Krümmung]]en, [[Winkel]] oder [[Flächeninhalt]]e bestimmen. Zur Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten in Flächen ist es nicht nötig, eine explizite Parameterdarstellung der Fläche im Raum zu kennen. Es reicht, wenn die [[Metrischer Tensor|Metrik]] ([[erste Fundamentalform]]) der Fläche, die die Längen entlang den Parameterlinien und die Winkel zwischen den Parameterlinien beschreibt, bekannt ist. Dies kann bei [[Riemannsche Geometrie|gekrümmten Flächen]] vorteilhaft sein.

== Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen ==
[[Datei:Ebene Parameterform.PNG|miniatur|Parameterdarstellung einer Ebene]]
{{Hauptartikel|Parameterform}}

Unter der Parameterdarstellung (oder auch Parameterform) einer [[Geradengleichung]] versteht man die Form
:<math>\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u</math>
und unter der Parameterdarstellung einer [[Ebenengleichung]] die Form
:<math>\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v</math>,
wobei <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> die (reellen) Parameter sind. Der Vektor <math>\vec r_0</math> ist der [[Ortsvektor]] eines Punktes <math>P_0</math> auf der Geraden oder Ebene. Dieser Punkt heißt ''Aufpunkt'' oder ''Stützpunkt'', seinen Ortsvektor <math>\vec r_0</math> nennt man dann ''Stützvektor''. Den Vektor <math>\vec u</math> in der Geradengleichung nennt man den ''Richtungsvektor'' der Geraden, die Vektoren <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> in der Ebenengleichung ebenfalls Richtungsvektoren oder ''Spannvektoren''. Diese Vektoren dürfen keine [[Nullvektor]]en, die Spannvektoren einer Ebene außerdem nicht [[kollinear]] sein. Wenn <math>\vec u</math> in der Geradengleichung ein [[Einheitsvektor]] ist, entspricht der Parameter <math>\lambda</math> dem Abstand eines Geradenpunktes von <math>P_0</math>.

Die Richtungsvektoren einer Ebenengleichung spannen ein [[Affine Koordinaten|affines Koordinatensystem]] auf (im nebenstehenden Bild durch das blaue Koordinatennetz innerhalb der Ebene angedeutet), wobei <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> die affinen Koordinaten darstellen. Den Ortsvektor eines Punktes <math>Q(\lambda,\mu)</math> der Ebene erhält man, indem man zum Ortsvektor <math>\vec r_0</math> des Punktes <math>P_0</math> das <math>\lambda</math>-fache des Vektors <math>\vec u</math> und dann das <math>\mu</math>-fache des Vektors <math>\vec v</math> addiert.

== Reguläre Parameterdarstellungen ==
Eine differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve heißt ''regulär'', wenn ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet; sie muss nicht notwendigerweise [[Injektivität|injektiv]] sein. Allgemein heißt eine differenzierbare Parameterdarstellung ''regulär'', wenn sie eine [[Immersion (Mathematik)|Immersion]] ist, das heißt, wenn ihre Ableitung überall injektiv ist (das heißt, ihr [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] ist größer gleich der Dimension des Urbilds).

== Verallgemeinerung auf höhere Dimension ==
Die Verallgemeinerung ist naheliegend: Es sei <math>\mathcal K</math> eine [[Mannigfaltigkeit#Differenzierbare Mannigfaltigkeiten|Karte]] einer <math>d</math>-dimensionalen [[Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] <math>\mathcal M</math>. Die Karte ist gegeben durch eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Parametrisierung: Für Punkte <math>P</math> in <math>\mathcal K</math> gilt also: <math>P \hat = (u_1,\,\dots\,,u_n)</math> mit differenzierbaren Funktionen <math>u_i</math>.

Für eine beliebige Funktion <math>f(P)</math> der Punkte <math>P</math> der Mannigfaltigkeit gilt dann für die Ableitung in Richtung des Tangentialvektors einer Kurve auf <math>\mathcal M</math>, die auf der Karte <math>\mathcal K</math> den Kurvenparameter λ hat:
:<math>\frac{{\rm d} f}{{\rm d} \lambda }=\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{{\rm d} u_i}{{\rm d}\lambda}</math>.

Dieses Ergebnis ist wegen der [[Kettenregel]] unabhängig von der gewählten Parametrisierung.<ref>[[Wilhelm Maak|W. Maak]]: ''Differential- und Integralrechnung.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.</ref>

== Parametrisierung von NURBS-Objekten ==
[[Datei:Movement along a curve with and without Parametrization.gif|mini|Nur der Würfel rechts respektiert die inhomogene Parametrisierung der Kurve.]]
In der [[Computergrafik]] wird unter der Parametrisierung häufig die Verteilung von Kurven, die eine [[NURBS]]-Fläche aufspannen, oder von Punkten, die eine Kurve aufspannen, verstanden. Die Flächenlinien heißen ''Isoparms'' (Isoparametrische Kurven), die Punkte auf NURBS-Kurven werden ''Control Vertices'' (CV) genannt. Die Darstellung dieses Aufbaus entspricht der Parameterdarstellung und trägt in der Branche die Bezeichnung ''Komponentendarstellung''.

In der Visualisierung rechts sind zwei identisch aufgebaute Kurven zu sehen, die keine homogene Parametrisierung aufweisen, also zum Beispiel eine hohe Punktdichte unten links. Der blaue Würfel respektiert die CV-Verteilung nicht, während er die Kurve abfährt. Stattdessen bewegt er sich mit konstanter Geschwindigkeit und geht damit von einer homogenen Parametrisierung aus. Der grüne Würfel rechts dagegen respektiert die unterschiedliche Punktdichte und verlangsamt seine Geschwindigkeit stets da, wo die CVs eng aneinander stehen. Beide Animationen haben die gleiche Länge von 200 Einzelbildern.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://fooplot.com/plot/2p1v5sfh0uio8w4okcswc8oc408occ Online-Parameterdarstellungsplotter]

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Parameterdarstellung - Versionsgeschichte

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