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2026-04-25T10:11:40Z

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In der [[Statistik]] fassen '''aggregierende Parameter''' oder '''Maßzahlen''' die wesentlichen Eigenschaften einer [[Häufigkeitsverteilung]], z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] zusammen.

Einige Parameter der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] entsprechen den [[Moment (Stochastik)|Momenten]] von [[Zufallsvariable]]n.

Die Bezeichnung ''Parameter'' wird auch bei [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Verteilungsmodellen]] verwendet, man spricht dann von '''Verteilungsparametern'''. Er ist dann meist eine von mehreren Größen, die zusammen mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung#Verteilungsklassen|Verteilungsklasse]] die genaue Form einer Verteilung festlegen.

== Lageparameter ==
{{Hauptartikel|Lageparameter (deskriptive Statistik)}}

<gallery perrow="2" class="float-right">
Median exp.svg|Der Median (hier <math>\tfrac{\ln 2}\lambda</math>) teilt die Masse der Verteilung
Mean exp.svg|Der Erwartungswert (hier <math>\tfrac{1}\lambda</math>) ist der Schwerpunkt der Verteilung
</gallery>
'''Lageparameter''' dienen dazu, die Lage der Gesamtheit der [[Stichprobe]]nelemente beziehungsweise der [[Element (Mathematik)|Elemente]] der [[Grundgesamtheit]] in Bezug auf die [[Messskala]] pauschal zu beschreiben.
Ein Lageparameter fasst die Gesamtheit der betrachteten Werte zu einer repräsentativen Zahl – der '''zentralen Tendenz''' – zusammen.

=== Definition ===
Sei <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> eine Stichprobe.
Eine Funktion <math>l: x_1, \dots, x_n \mapsto \mathbb{R}</math> heißt Lagemaß, wenn sie translationsäquivariant ist:<ref>{{Literatur | Autor=Norbert Henze | Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik II) | Auflage= | Verlag= | Ort=Karlsruhe | Jahr=2010 | ISBN= | Seiten=127}}</ref><ref>{{Literatur | Autor=Andreas Büchter, H.-W. Henn | Titel=Elementare Stochastik - Eine Einführung | Auflage=2 | Verlag=Springer | Ort= | Jahr=2007 | ISBN=9783540453826 | Seiten=71}}</ref>

:<math>l(x_1 + a, \dots, x_n + a) = l(x_1, \dots, x_n) + a</math> mit <math>a \in \mathbb{R}</math>

=== Beispiele ===
In der deskriptiven Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung:
* [[Arithmetisches Mittel]]: <math>l_{\text{arithm.}}(x_1, \dots, x_n) = \frac{1}{n} (x_1 + \cdots + x_n)</math>
* [[empirisches Quantil|empirische Quantile]]: [[Median]], [[Empirisches Quantil|Quartile]], [[empirisches Quantil|Dezile]], [[empirisches Quantil|Perzentile]]
* [[Modus (Statistik)|Modus]]
Für die drei zuerst genannten Lageparameter sowie Modus und Median siehe auch [[Mittelwert]].

Bei Zufallsvariablen spricht man vom [[Erwartungswert]].

Nach der obigen Definition sind folgende Kenngrößen keine Lagemaße:

* [[Geometrisches Mittel]]: <math>l_{\text{geom.}}(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n} </math>
* [[Harmonisches Mittel]]: <math>l_{\text{harm.}}(x_1, \dots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}</math>

== Streuungsparameter ==
{{Hauptartikel|Streuungsmaß (Statistik)}}
Unter einem '''Streuungsmaß''' oder '''Dispersionsmaß''' (auch '''Streuungsparameter''') versteht man statistische [[Kennziffer]]n, durch deren Ermittlung sich Aussagen über die Verteilung etwa von aus [[Wägung]]en und Zählungen stammenden [[Messwert]]en um den Mittelpunkt treffen lassen. In der deskriptiven Statistik beschreibt man die [[Streuungsmaß (Statistik)|Streuung]] oder Dispersion mit folgenden [[Maß (Mathematik)|Maßen]]:
* [[Summe der Abweichungsquadrate]], Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von ihrem arithmetischen Mittel
* [[empirische Varianz]], auch (mehrdeutig) ''Stichprobenvarianz'' genannt, die mittlere quadrierte Abweichung vom arithmetischen Mittel
* [[empirische Standardabweichung]], die Wurzel aus der empirischen Varianz
* [[Streuungsmaß (Statistik)#Spannweite|Spannweite]], die Differenz zwischen größter und kleinster Beobachtung ({{enS}} ''range'')
* [[mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel]]
* [[Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)|Interquartilsabstand]], der die mittleren 50 % der Beobachtungen enthält (engl. ''interquartile range'')

== Gestaltmaße bzw. -parameter ==

* [[Schiefe (Statistik)]]
* [[Wölbung (Statistik)]]

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]]

Parameter (Statistik) - Versionsgeschichte

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