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2026-02-12T04:04:22Z

Redundanz

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{{Redundanztext
|3=Parallelverschiebung
|4=Translation (Physik)
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[[Datei:Translation-T.svg|mini|hochkant=1.3|Parallelverschiebung (Translation) 
Die Hintereinanderausführung zweier Translationen ist wieder eine Translation.]]
Die '''Parallelverschiebung''' oder '''Translation''' ist eine [[Geometrie|geometrische]] Abbildung, die jeden [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe gerade Strecke verschiebt. Sie kann durch einen [[Vektor]], den sogenannten ''Verschiebungsvektor'', gekennzeichnet werden. Die Parallelverschiebung ist eine lineare Bewegung.

Parallelverschiebungen gehören deshalb zu den [[Bewegung (Mathematik)|Bewegungen]], da bei ihrer Anwendung [[Länge (Mathematik)|Längen]] und [[Winkel]] erhalten bleiben. Als Bewegungen werden sie – vor allem die Parallelverschiebungen in der ''Ebene'' – auch zu den [[Kongruenzabbildung]]en gezählt.

Der Begriff der Parallelverschiebung kann aus dem zwei- oder dreidimensionalen Anschauungsraum in den n-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und noch weiter in die [[riemannsche Geometrie]] oder die [[affine Geometrie]] verallgemeinert werden.

== Zweidimensionaler Anschauungsraum ==
[[Bild:Vektoren.svg|mini|hochkant=1.5|Parallelverschiebung eines Dreiecks]]
[[Bild:Verschiebung.svg|mini|hochkant=1.5|Parallelverschiebung als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen]]
Im zweidimensionalen (euklidischen) Raum <math>\R^2</math> ist eine Parallelverschiebung eine mathematische Funktion, die jeden Punkt des Raums um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung verschiebt. Eine Parallelverschiebung wird also durch eine [[Affine Abbildung|affine lineare Funktion]]
:<math>\tau \colon \R^2 \to \R^2</math>
beschrieben mit
:<math>(x,y) \to (x+a,y+b)\quad </math>, wobei <math>a,b\in \R</math> fest gewählt sind.
Oder vektoriell:
:<math>\vec x \to \vec x + \vec v\quad </math>, mit <math>\ \vec v={a\choose b} </math>.
Die ''Hintereinanderausführung'' zweier Parallelverschiebungen ist wieder eine Parallelverschiebung.

Eine Parallelverschiebung ist als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen g und h darstellbar.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=4. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-8274-1697-1 |Seiten=109 |Abruf=}}</ref>

== Riemannsche Geometrie ==
[[Datei:Parallel transport sphere2.svg|mini|Paralleltransport eines Vektors entlang einer Kurve auf einer Kugeloberfläche.]]
{{Hauptartikel|Paralleltransport}}

In der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] wird der Begriff der Parallelverschiebung aus der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] auf gekrümmte Objekte wie zum Beispiel auf die Kugeloberfläche verallgemeinert. Mathematisch präzise werden diese gekrümmten Objekte als [[riemannsche Mannigfaltigkeit]]en definiert. [[Vektor]]en an diesen Mannigfaltigkeiten können entlang von Kurven parallel verschoben werden. Präzise formuliert wurde diese Methode durch [[Tullio Levi-Civita]]. Heute wird sie meist als [[Paralleltransport]] aber auch als Parallelverschiebung bezeichnet.

== Affine Geometrie ==

In der axiomatisch aufgebauten [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]] ([[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]]) nennt man eine [[Kollineation]] <math>\mathcal{\alpha}</math> eine Translation, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
* Falls überhaupt ein Punkt verändert wird, hat die Abbildung keinen Fixpunkt.

::T1:     <math>\forall g \in \mathcal{G}\colon\; \alpha(g) \parallel g </math>

::T2:     <math>\forall P \in \mathcal{P}\colon\; \alpha \neq \mathrm{id} \,\Rightarrow\, \alpha(P) \neq P </math>

(<math> \mathcal{P}</math> ist die Menge aller Punkte, <math>\mathcal{G}</math> die Menge aller Geraden, siehe [[Inzidenzgeometrie|Inzidenz]]). Diese Translationen können zum Beispiel in einer [[Affine Translationsebene|affinen Translationsebene]] als [[Ortsvektor]]en der Punkte verwendet werden.<ref>Degen (1976)</ref>

Auch hier ist eine Translation stets eine Affinität im Sinne der synthetischen Geometrie. Die Fortsetzung einer Translation im projektiven Abschluss des affinen Raumes ist eine [[projektive Perspektivität]] und also eine [[Projektivität]].

== Siehe auch ==
Bei der Definition des Begriffes ''Parallelverschiebung'' oder ''Translation'' werden in verschiedenen Gebieten der Geometrie und der linearen Algebra unterschiedliche Akzente gesetzt, wobei die verallgemeinerte Definition überall gültig ist. Siehe
* zum Begriff der Parallelverschiebung in der elementaren [[Ebene Geometrie|Geometrie der Zeichenebene]]: [[Kongruenzabbildung]].
* zum Begriff der Parallelverschiebung im dreidimensionalen Anschauungsraum: [[Bewegung (Mathematik)]].
* zum Begriff der Translation in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]]: [[Affine Translationsebene]].
* zur linearen Bewegung in der Physik: [[Translation (Physik)]]

== Literatur ==
Parallelverschiebung in der linearen Algebra und der ebenen und räumlichen Geometrie:
* Uwe Storch, Hartmut Wiebe: ''Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra''. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8
Translation in der synthetischen Geometrie:
* Wendelin Degen und Lothar Profke: ''Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie'', Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
* [[Günter Pickert]]: ''Ebene Inzidenzgeometrie.'' 2. Auflage, Frankfurt am Main 1968

== Weblinks ==
{{Commonscat|Translation (geometry)|Parallelverschiebung}}
* [https://www.selbstlernmaterial.de/m/s1ge/vb/vbindex.html Verschiebung und Bandornamente – Materialien zum selbständigen Arbeiten für Schüler]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Parallelverschiebung - Versionsgeschichte

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