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2024-10-29T07:38:07Z

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[[Datei:Parallel Transport.svg|thumb|Paralleltransport eines Vektors auf der Kugeloberfläche entlang eines geschlossenen Weges von A nach N und B und wieder zurück nach A. Der Winkel <math>\alpha</math>, um den der Vektor dabei gedreht wird, ist proportional zur eingeschlossenen Fläche innerhalb des Weges.]]
In der [[Differentialgeometrie]] bezeichnet '''Paralleltransport''' ({{enS|''parallel transport'' bzw. ''parallel translation''}}) oder '''Parallelverschiebung''' ein Verfahren, geometrische Objekte entlang glatter Kurven in einer [[Mannigfaltigkeit]] zu transportieren. [[Tullio Levi-Civita]] erweiterte 1917 die [[riemannsche Geometrie]] um diesen Begriff, der dann zur Definition des [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhangs]] führte.<ref>{{Literatur |Titel=Levi-Civita, Tullio |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Wenn die Mannigfaltigkeit eine [[kovariante Ableitung]] (im [[Tangentialbündel]]) besitzt, dann kann man [[Vektor]]en in der Mannigfaltigkeit entlang von Kurven so transportieren, dass sie bezogen auf den zur kovarianten Ableitung gehörenden Zusammenhang ''parallel'' bleiben. Entsprechend kann man zu jedem Zusammenhang einen Paralleltransport konstruieren. Ein [[Cartan-Zusammenhang]] erlaubt sogar das ''Liften von Kurven'' aus der Mannigfaltigkeit in das zugehörige [[Prinzipalbündel]]. Eine solche Kurvenliftung erlaubt den Paralleltransport von Bezugssystemen, das heißt den Transport einer Basis von einem Punkt zum anderen. Der zu einem Zusammenhang gehörende Paralleltransport erlaubt also in gewisser Weise, die lokale Geometrie einer Mannigfaltigkeit entlang einer Kurve zu bewegen.

Genau wie sich aus einem Zusammenhang ein Paralleltransport konstruieren lässt, lässt sich umgekehrt aus einem Paralleltransport ein Zusammenhang konstruieren. Insofern ist ein Zusammenhang ein [[infinitesimal]]es Analogon zu einem Paralleltransport beziehungsweise ein Paralleltransport die lokale Realisierung eines Zusammenhangs. Neben der lokalen Realisation eines Zusammenhangs liefert ein Paralleltransport auch eine lokale Realisation der [[Krümmung]], die [[Holonomie]]. Der [[Satz von Ambrose-Singer]] macht diese Beziehung zwischen Krümmung und Holonomie explizit.

== Paralleles Vektorfeld ==
Sei <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein Intervall und <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] mit [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] <math>\nabla</math>.

Ein [[Vektorfeld]] <math>V\colon\ I \to T_{\gamma(t)}M</math> entlang einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] <math>\gamma\colon\ I \to M</math> heißt ''parallel'' entlang <math>\gamma</math>, falls <math>\nabla_{ \gamma '(t)} V(\gamma (t)) = 0</math> für alle <math>t</math> gilt.

Ein Vektorfeld heißt ''parallel,'' falls es parallel bezüglich jeder Kurve in der Mannigfaltigkeit ist.

== Paralleltransport ==
Sei <math>M</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, <math>\gamma\colon\ I \to M</math> eine Kurve und <math>t_0, t_1 \in I</math> zwei reelle Zahlen. Dann existiert zu jedem <math>v_0 \in T_{\gamma(t_0)}M</math> ein eindeutiges paralleles Vektorfeld <math>V \colon M \to TM</math> entlang <math>\gamma</math>, so dass <math>v_0 = V(\gamma(t_0))</math> gilt. Mit Hilfe dieser Existenz- und Eindeutigkeitsaussage kann man die Abbildung, welche man ''Paralleltransport'' nennt, definieren:
Die Abbildung
:<math>\begin{align}
P_{\gamma(t_0), \gamma(t_1)}\colon\ T_{\gamma(t_0)}M \to T_{\gamma(t_1)}M,\quad
v_0 \mapsto V(\gamma(t_1)),
\end{align}</math>
welche einem Vektor <math>v_0 \in T_{\gamma(t_0)}M</math> sein eindeutiges paralleles Vektorfeld <math>V</math> ausgewertet an der Stelle <math>\gamma(t_1)</math> zuordnet.

Die Existenz und Eindeutigkeit folgt aus der Eigenschaft von [[Anfangswertproblem]]en [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearer gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme]], dessen eindeutige Lösung gemäß der globalen Version des [[Satz von Picard-Lindelöf|Satzes von Picard-Lindelöf]] global für alle Zeiten existiert.

=== Für den Levi-Civita-Zusammenhang ===
Wichtigster Spezialfall für den Paralleltransport ist der Transport eines Tangentialvektors entlang einer Kurve auf einer [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]], wobei der Zusammenhang der [[Levi-Civita-Zusammenhang]] ist.

Konkret: Ist <math>v_0\in T_pM</math> ein Tangentialvektor am Punkt <math>p</math> und <math>\gamma(t)</math> eine [[glatte Kurve]] mit <math>\gamma(0) = p</math>, so heißt ein [[Vektorfeld]] <math>v(t)</math> entlang <math>\gamma</math>, d. h. mit <math>v(t)\in T_{\gamma(t)}M</math>, genau dann ''Paralleltransport'' von <math>v_0</math>, wenn gilt:
:# <math>\nabla_{\gamma'(t)}v(t) = 0</math>
:# <math>v(0) = v_0,</math>
wenn also die kovariante Ableitung von <math>v(t)</math> entlang <math>\gamma</math> verschwindet.

Hierbei handelt es sich um ein lineares [[Anfangswertproblem]] 1. Ordnung, von dem man die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zeigen kann (s. o.).

Der Betrag eines Vektors, der parallel verschoben wird, ist konstant:

::<math>\frac{d}{dt} g(v(t),v(t)) = 2 g(\nabla_{\gamma'(t)}v(t), v(t)) = 2 \cdot 0 = 0.</math>

=== Entlang einer Geodätischen ===
Im Falle, dass <math>\gamma</math> eine [[Geodäte|Geodätische]] ist, hat der Paralleltransport besondere Eigenschaften.

Beispielsweise ist der Tangentialvektor einer proportional zur Bogenlänge parametrisierten Geodätischen selbst parallel:
::<math>\nabla_{\gamma'(t)}\gamma'(t) = 0</math>
Denn dies war genau die Definition einer Geodätischen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Der Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Geodäte und dem Vektor ist konstant, da die Beträge beider Vektoren ebenfalls konstant sind (siehe oben).

::<math>\frac{d}{dt} g(v(t),\gamma'(t)) = g(\nabla_{\gamma'(t)}v(t),\gamma'(t)) + g(v(t),\nabla_{\gamma'(t)}\gamma'(t)) = 0 + 0 = 0.</math>

=== In euklidischen Räumen ===
Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^n</math> ist die kovariante Ableitung die normale Ableitung in eine bestimmte Richtung. Sie verschwindet, wenn <math>v(t)</math>, abgesehen vom Basispunkt konstant ist, d. h., wenn alle Vektoren <math>v(t)</math> parallel sind.

Der Paralleltransport ist also eine Verallgemeinerung der [[Parallelverschiebung]] eines Vektors entlang einer Kurve.

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor=[[Christian Bär (Mathematiker)|Christian Bär]] | Titel=Elementare Differentialgeometrie | Auflage=2. | Verlag=De Gruyter | Ort=Berlin/New York | Datum=2010 | ISBN=978-3-11-022458-0 | Seiten=}}
* {{Literatur | Autor=John M. Lee | Titel=Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature | Auflage=1. | Verlag=Springer | Ort=New York/Berlin/Heidelberg | Datum=1997 | ISBN=0-387-98322-8 | Seiten= }}
* {{Literatur | Autor=[[Manfredo do Carmo]] | Titel=Riemannian Geometry | Auflage=1. | Verlag=Birkhäuser | Ort=Boston/Basel/Berlin | Datum=1992 | ISBN=0-8176-3490-8 | Seiten= | Übersetzer=Francis Flaherty | Originaltitel=Elementos de geometria diferencial | Originalsprache=pt | VerlagEA=Ao Livro Técnico | Originalort=Rio de Janeiro | Originaljahr=1971}}
* {{Literatur | Autor=Walter A. Poor | Titel=Differential Geometric Structures | Verlag=Dover | Ort=Mineola | Datum=2007 | ISBN=978-0-486-45844-1 | Seiten= }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]

Paralleltransport - Versionsgeschichte

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