imported>Mathze: /* Synthetische Geometrie */ Zeichensetzung

2025-08-26T07:08:07Z

Synthetische Geometrie: Zeichensetzung

Neue Seite

[[Datei:ParallelprojektionDPrinzip.png|300px|mini|Prinzip der Parallelprojektion]]
Eine '''Parallelprojektion''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] von Punkten des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], wobei die Projektionsstrahlen zueinander [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind. Treffen die Projektionsstrahlen im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] auf die Projektionsebene, handelt es sich um eine [[Orthogonalprojektion]]. Treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Bildebene, handelt es sich um eine schräge Parallelprojektion beziehungsweise eine [[Axonometrie]].<ref>{{Literatur |Autor=Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp |Titel=Leitfaden Geometrie. Für Studierende der Lehrämter |Auflage=6., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer Spektrum. Springer Fachmedien Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-06465-5 |Seiten=329 und 331}}</ref> Eine Parallelprojektion kann als Grenzfall einer [[Zentralprojektion]] angesehen werden, bei der sich das Projektionszentrum im [[Fernelement|Unendlichen]] befindet. Parallelprojektionen dienen häufig dazu, [[Schrägbild]]er von geometrischen Körpern herzustellen.

== Beschreibung ==
Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man bei einer Parallelprojektion dadurch, dass man die [[Parallel (Geometrie)|Parallele]] zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt. [[Gerade]]n werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind – soweit definiert – ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft. Die Größe eines projizierten [[Winkel]]s stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird ein [[Rechteck]] im Allgemeinen auf ein [[Parallelogramm]] abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt für [[Kreis (Geometrie)|Kreise]], die im Allgemeinen in [[Ellipse]]n übergehen.

[[Datei:Cube-parallel-proj-s.svg|300px|mini|Parallelprojektion eines Würfels: a) orthogonal, b) schief]]

Im Allgemeinen treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Projektionsfläche. Man spricht dann von einer ''schrägen'' oder ''schiefen Parallelprojektion''. Beispiele hierfür sind die [[Kavalierperspektive|Kavalierprojektion]] und [[Vogelperspektive]].

Am häufigsten wird eine [[Orthogonalprojektion]] (auch ''orthogonale'' oder ''orthographische Parallelprojektion'' genannt) angewendet. Hier treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene. Auf dieser Projektion beruhen die [[Technische Zeichnung|technischen Zeichnungen]] der Ingenieure und Architekten, wobei der Sonderfall dominiert, dass eine der drei Hauptebenen der oft würfelförmigen technischen Gegenstände parallel zur Projektionsfläche ist ([[Dreitafelprojektion]]). Um Zeichnungen mit räumlichem Eindruck zu erstellen, wird diese Parallelität aufgehoben. Die Gegenstände werden geneigt. Je nach Neigungswinkel(n) entstehen zum Beispiel [[Isometrische Axonometrie|Isometrien]] oder [[Dimetrie]]n. Die so erhaltenen Bilder werden oft fälschlicherweise als Bilder in Kavalierperspektive angesehen. Die Orthogonalprojektion entspricht einer [[Fotografie]] mit einem [[Telezentrisches Objektiv|telezentrischen Objektiv]] oder näherungsweise einer Fotografie aus großer Entfernung, vorteilhaft mit einem [[Teleobjektiv]] aufgenommen.

== Berechnung von Bildpunkten ==

Soll ein Punkt <math>P</math> auf eine (in [[Normalenform#Normalenform einer Ebenengleichung|Normalenform]] gegebene) Ebene <math>E:~\vec{n}\cdot\vec{x}-d=0</math> mittels einer Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung <math>\vec{v}</math> abgebildet werden, so ist der Bildpunkt von <math>P</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>g</math> durch <math>P</math> mit dem Richtungsvektor <math>\vec{v}</math>:

:<math>g:~\vec x = \overrightarrow{OP}+\lambda\vec{v},~\lambda\in\mathbb{R}</math>

Lässt man Ebene und Gerade schneiden, so ergibt sich für den Parameter <math>\lambda</math>:

:<math>\lambda = \frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{v}}</math>

Setzt man diesen in die Gerade <math>g</math> ein, so erhält man den Schnittpunkt dieser mit <math>E</math> und damit den Bildpunkt <math>P'</math>:

:<math>\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + \frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{v}}\cdot\vec{v}</math>

Ist die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Ebene <math>(\vec v = \vec n)</math>, so erhält man als Spezialfall die [[Orthogonalprojektion]] des Punkts auf die Ebene.

== Synthetische Geometrie ==
In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] spielt die Parallelprojektion einer Geraden in einer affinen Ebene auf eine andere Gerade der gleichen Ebene eine grundlegende Rolle. Die Definition lautet hier:
Sei <math>A</math> eine [[affine Ebene]] und seien <math>g</math> und <math>h</math> ''verschiedene'' Geraden der Ebene aufgefasst als Mengen der auf ihr liegenden Punkte. Eine [[bijektiv]]e Abbildung <math>\pi : g \rightarrow h</math> heißt Parallelprojektion von <math>g</math> auf <math>h</math>, wenn gilt:
# Schneiden sich <math>g</math> und <math>h</math> in einem Punkt <math>S</math>, dann gilt <math>\pi(S)=S</math>.
# Für zwei verschiedene Punkte <math>P, Q\in g</math>, die nicht zu <math>h</math> gehören, gilt stets
::<math>P\pi(P)\parallel Q\pi(Q)</math>.

Ergänzend wird aus formalen Gründen definiert: Für <math>g=h</math> ist die [[identische Abbildung]] die einzige Parallelprojektion.

=== Eigenschaften und Bedeutung ===
Die wichtigsten formalen Eigenschaften der so definierten Parallelprojektionen zwischen Geraden einer beliebigen, aber hier fest gewählten affinen Ebene:
* Jede Parallelprojektion der Ebene ist umkehrbar und ihre Umkehrabbildung ist eine Parallelprojektion.
* Zu zwei beliebigen Geraden <math>g,h</math> der Ebene existiert stets eine Parallelprojektion <math>\pi:g\rightarrow h</math>.
:* Diese Parallelprojektion ist die Identität, falls <math>g=h</math> ist.
:* Für <math>g\neq h</math> ist eine solche Parallelprojektion durch ein einziges Punkt-Bildpunktpaar <math>(P,\pi(P))</math> eindeutig bestimmt, sofern <math>P</math> nicht der Schnittpunkt der Geraden ist.
:* Wählt man zwei Punkte <math>P\in g, P'\in h</math>, die beide nicht Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> und <math> h </math> sind, dann existiert genau eine Parallelprojektion von <math>g</math> auf <math>h</math>, die <math>P</math> auf <math>P'</math> abbildet.
* Die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] von zwei Parallelprojektionen der Ebene, <math>\pi_{12} : g_1 \rightarrow g_2,\, \pi_{23} : g_2 \rightarrow g_3</math>, <math>\pi_{23}\circ\pi_{12}: g_1 \rightarrow g_3</math> ist stets eine bijektive Abbildung, aber sie ist im Allgemeinen keine Parallelprojektion.

Der Begriff der Parallelprojektion erlaubt es, den Begriff der [[Affinität (Mathematik)|Affinität]] auf [[Satz von Desargues|nichtdesarguesche]] affine Ebenen zu verallgemeinern. Allgemein wird definiert:
: Eine [[Kollineation]] <math>\alpha: A\rightarrow A</math> auf einer affinen Ebene heißt ''Affinität'', wenn für jede Gerade <math>g\subset A</math> die Einschränkung <math>\left. \alpha\right|_g : g\rightarrow \alpha (g)</math> durch eine endliche Komposition von Parallelprojektionen darstellbar ist.

Durch diese Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen bilden die verallgemeinerten Affinitäten eine [[Untergruppe]] der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] aller Kollineationen auf der affinen Ebene. Die ergänzende Definition für Parallelprojektionen, mit der die identische Abbildung der Ebene zu einer Affinität wird, sichert die Existenz wenigstens einer Affinität. Es ist nicht bekannt, ob es affine Ebenen gibt, auf denen die identische Abbildung die einzige Affinität ist.

Affinitäten erben durch ihre Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen alle [[Invariante (Mathematik)|Invarianzeigenschaften]] der Parallelprojektionen:

In einer affinen Ebene, die dem [[Fano-Axiom|affinen Fano-Axiom]] genügt, ist die Mitte von zwei Punkten invariant unter Parallelprojektionen und daher auch unter Affinitäten.

In einer [[Affine Translationsebene|affinen Translationsebene]] gilt
* Sind drei [[kollinear]]e Punkte <math>(T, P, Q)</math> ''kommensurabel'', dann sind es auch ihre Bilder unter jeder Parallelprojektion und jeder Affinität.
* Der ''Streckungsfaktor'' und das ''Teilverhältnis'' von drei verschiedenen kollinearen und kommensurablen Punkten sind invariant unter Parallelprojektionen und Affinitäten.
Da umgekehrt jede teilverhältnistreue Kollineation auf einer ''desargueschen'' Ebene die verallgemeinerte Definition einer Affinität erfüllt, sind für desarguesche Ebenen genau die teilverhältnistreuen Kollineationen Affinitäten. Eine desarguesche Ebene ist stets isomorph zu einer [[Ternärkörper|Koordinatenebene]] über einem [[Schiefkörper]] und eine affine Translationsebene mit der Zusatzeigenschaft, dass kollineare Punkte stets kommensurabel sind.

Damit fällt der verallgemeinerte Begriff „Affinität“ für desarguesche Ebenen mit dem aus der analytischen Geometrie gewohnten zusammen.

=== Beispiel ===
Eine ''Translation'' in einer affinen Inzidenzebene ist stets eine ''Affinität'' im Sinne der verallgemeinerten Definition (vgl. den Hauptartikel [[Affine Translationsebene]]). Allerdings existieren auch affine Inzidenzebenen, die außer der Identität keine weitere Translation zulassen.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Cauchy (Geometrie)|Satz von Cauchy]], über die mittlere Fläche konvexer Körper bei Parallelprojektion
* [[Axonometrie]], [[orthogonale Axonometrie]]

== Literatur ==
Darstellende Geometrie:
* {{Literatur
|Autor=Fucke, Kirch, Nickel
|Titel=Darstellende Geometrie
|Verlag=Fachbuch-Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=1998
|ISBN=3-446-00778-4}}
* {{Literatur
|Autor=Cornelie Leopold
|Titel=Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung
|Verlag=Verlag W. Kohlhammer
|Ort=Stuttgart
|Datum=2005
|ISBN=3-17-018489-X}}
* {{Literatur
|Autor=Kurt Peter Müller
|Titel=Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen
|TitelErg=Mathematik-ABC für das Lehramt
|Auflage=2. überarbeitete und erweiterte
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden
|Datum=2004
|Kapitel=2. Kapitel, 2.2.3
|Seiten=38ff
|Kommentar=Schiefe Parallelprojektion}}
* {{Literatur
|Autor= [[Eduard Stiefel]]
|Titel=Lehrbuch der darstellenden Geometrie
|Sammelwerk=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften
|WerkErg=Mathematische Reihe
|Band=6
|Auflage=2. veränderte
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Basel/Stuttgart
|Datum=1960
|Kommentar=Ausführliche und anwendungsnahe Darstellung der senkrechten Parallel- und speziell Dreitafelprojektion}}
Synthetische Geometrie:
* {{Literatur
|Autor=Wendelin Degen und Lothar Profke
|Titel=Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie
|Sammelwerk=Mathematik für das Lehramt an Gymnasien
|Auflage=1.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1976
|ISBN=3-519-02751-8}}
Zur Geschichte des Begriffes:
* {{Literatur
|Autor= [[Jeremy Gray]]
|Titel=Worlds out of nothing
|TitelErg=A course in the history of geometry of the 19th Century
|Auflage=1.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin/Heidelberg/New York
|Datum=2007
|ISBN=978-0-85729-059-5
|Kapitel=1. Kapitel}}
* {{Literatur
|Autor= [[Gaspard Monge]]
|Titel=Géométrie descriptive
|Auflage=7.
|Ort=Paris
|Datum=1847
|Sprache=fr
|Kommentar=Erste systematische Behandlung der Dreitafelprojektionen und der Parallelprojektion im allgemeinen, Erstauflage 1811
|Online=https://archive.org/details/gomtriedescript00monggoog}}
* {{Literatur
|Autor=Guido Schreiber
|Titel=Lehrbuch der darstellenden Geometrie
|TitelErg=nach Monge’s Géométrie descriptive
|Auflage=1. vollständig bearbeitete
|Verlag=Herder
|Ort=Karlsruhe und Freiburg
|Datum=1928
|Kommentar=Stark überarbeitete deutsche Übersetzung des Lehrbuchs von G. Monge
|Online=https://archive.org/details/lehrbuchderdars00schrgoog}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Technisches Zeichnen]]
[[Kategorie:Perspektive|!]]
[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Parallelprojektion - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Synthetische Geometrie */ Zeichensetzung