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2026-04-22T17:13:41Z

In höherdimensionalen Räumen befindliche Parallelotope

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Das '''Parallelotop''' beziehungsweise ''n''-Parallelotop ist für <math>n \ge 3</math> eine Verallgemeinerung des [[Parallelepiped]]s in den ''n''-dimensionalen Raum.

Das zweidimensionale Analogon des Parallelepipeds ist das [[Parallelogramm]].

== Definition ==
Ein ''n''-Parallelotop ist das [[Bild (Mathematik)|Bild]] des [[Würfel (Geometrie)|Einheitswürfels]] unter einer [[Affine Abbildung|affinen Abbildung]]. Der Einheitswürfel <math>I^n</math> ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt
:<math> I^n := \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}\,. </math>

Das Parallelotop ist ein konvexes [[Polytop (Geometrie)|Polytop]] mit <math>2^n</math> Ecken. Für <math>m<n</math> sind seine ''m''-dimensionalen Seiten selbst m-dimensionale Parallelotope.

== Volumen ==
Eine affine Abbildung <math>f\colon\R^n\to\R^n</math> kann man schreiben als <math>f(x) = A \cdot x + t</math>, wobei <math>A</math> die [[Abbildungsmatrix]] und <math>t</math> die Verschiebung ist. Das Volumen des Einheitswürfels ist Eins. Um das Volumen des Parallelotops <math>P</math> zu ermitteln, muss also untersucht werden, wie stark die affine Abbildung das Volumen verändert. Da ein Volumen unabhängig von einer Verschiebung ist, steckt dieser Wert allein in der Abbildungsmatrix. Indem man die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] dieser Matrix berechnet, erhält man auch den Faktor <math>|\det(A)|</math>, um den sich das Volumen ändert. Die Striche <math>|\cdot|</math> bezeichnen hier den [[Betragsfunktion|Betrag]]. Multipliziert man diesen Faktor mit dem Volumen des Einheitswürfels, so gilt trivialerweise <math>|\det(A)| \cdot 1 = |\det(A)|</math>, daher gilt
:<math>\operatorname{vol}(P) = |\det(A)|</math>,<ref>{{Internetquelle |url=https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=ela1_7.9 |titel=Erste Hilfe in Linearer Algebra {{!}} 7.9 Volumina von Parallelotopen – Oliver Deiser {{!}} aleph1 |abruf=2026-04-22}}</ref>
wobei <math>A</math> die Abbildungsmatrix der affinen Abbildung ist, die das Parallelotop <math>P</math> definiert.

== In höherdimensionalen Räumen befindliche Parallelotope ==
Das Parallelotop kann über <math>f\colon\R^n\to\R^m</math>, <math>f(x):=Ax+t</math> mit <math>n\le m</math> auch in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf wieder <math>t=0</math> gesetzt werden. Die Matrix <math>A\in\R^{m\times n}</math> ist für <math>n<m</math> nicht mehr quadratisch, womit die Berechnung über die Determinante unmöglich erscheint. Jedoch lässt sich eine allgemeine Formel finden, welche die Formel für quadratische Matrizen als Spezialfall enthält.

Das [[Graßmann-Algebra|äußere Produkt]] <math>\Lambda^n \R^m</math> ist ein Vektorraum, welcher sich mit einem kanonischen Skalarprodukt ausstatten lässt, indem
:<math>\langle\vec v_1\wedge\ldots\wedge\vec v_n,\vec w_1\wedge\ldots\wedge\vec w_n\rangle
:= \det(\langle\vec v_i,\vec w_j\rangle)</math>
für Blades definiert wird. Das Skalarprodukt von [[Multivektor|Multivektoren]] wird über die Bilinearität auf das von Blades zurückgeführt.

Wie bei jedem Skalarprodukt ist durch
:<math>\|X\| := \sqrt{\langle X,X\rangle}</math>
eine Norm gegeben.

Das Volumen des von den Vektoren <math>\vec v_1,\ldots,\vec v_n</math> aufgespannten Parallelotops ist gerade die Norm des Blades, d. h.
:<math>\operatorname{vol}(P) = \|\vec v_1\wedge\ldots\wedge\vec v_n\| = \sqrt{\det(\langle\vec v_i,\vec v_j\rangle)}.</math>
Gilt nun <math>\vec v_k = A\vec e_k</math>, wobei <math>(\vec e_1,\ldots,\vec e_n)</math> die kanonische Basis ist, dann ergibt sich
:<math>\operatorname{vol}(P) = \sqrt{\det(A^T A)}.</math>
Man bezeichnet <math>\det(A^T A)</math> als [[Gramsche Determinante]] zur Matrix <math>A</math>.

Hiermit lässt sich auch eine geometrische Überlegung zur [[Lineare Unabhängigkeit|linearen Abhängigkeit]] von <math>(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)</math> machen. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn das Parallelotop flach zusammenfällt, wenn also <math>\operatorname{vol}(P)=0</math> gilt. Man stellt sich dazu am einfachsten zunächst den Fall <math>n=2</math> und <math>m=3</math> vor, bei dem ein Parallelogramm zu einer Strecke zusammenfällt.

Die lineare Abbildung <math>f(x)=Ax</math> ist also genau dann injektiv, wenn ihre Gramsche Determinante nicht verschwindet, d. h. wenn <math>\det(A^T A)\ne 0</math> gilt. Nach der Äquivalenz von <math>X=0</math> und <math>\|X\|=0</math> ist die Abbildung auch genau dann injektiv, wenn das äußere Produkt der Spaltenvektoren von <math>A</math> nicht verschwindet, d. h.
:<math>\vec v_1\wedge\ldots\wedge\vec v_n \ne 0.</math>

== Literatur ==
* Konrad Königsberger: ''Analysis''. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Parallelotopes}}
{{Commonscat|Parallelepipeds}}
{{Wiktionary|Parallelepiped}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polyeder]]

Parallelotop - Versionsgeschichte

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