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2026-02-01T11:49:30Z

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Die '''Parallelogrammgleichung''' (auch '''Parallelogrammregel'''<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Ort= |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=305}}</ref>, '''Parallelogrammgesetz''' oder '''Parallelogrammidentität''') ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Satz, der seine Ursprünge in und seinen Namen von der elementaren [[Geometrie]] hat, aber in sehr ähnlicher Formulierung auch für [[komplexe Zahl]]en und [[Vektor]]en in [[Innenproduktraum|Innenprodukträumen]] gilt. Er liefert eine Beziehung zwischen den Längen der Seiten und den Längen der Diagonalen eines [[Parallelogramm|Parallelogramms]].

== Aussage in der Elementargeometrie ==
[[Datei:Parallelogrammgleichung 2D.svg|mini|Bezeichnungen am Parallelogramm]]

=== Satz ===
In jedem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der vier Seiten gleich der Summe der Quadrate der beiden Diagonalen.<ref>{{Literatur |Autor=Arens, Hettlich, Karpfinger, Kockelkorn, Lichtenegger, Stachel |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=704}}</ref> Für ein Parallelogramm mit den Seitenlängen <math>a,b</math> und den Diagonalenlängen <math>e.f</math> gilt also

: <math> 2\left(a^2+b^2\right)=e^2+f^2.</math>
Ist das Parallelogramm ein Rechteck, so sind die Diagonalen gleich lang und man erhält aus der Parallelogrammgleichung als Spezialfall den [[Satz des Pythagoras]].

=== Beweise ===

==== Mithilfe des Satz des Pythagoras ====
Der Satz folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe <math>h_a</math> auf der linken Seite bei der Diagonalen <math>f</math> mit den Abschnitten <math>q</math>. Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen
:<math>(a+q)^2 + h_a^2 = e^2</math>
:<math>(a-q)^2 + h_a^2 = f^2</math>
Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt <math>2(a^2 + q^2 + h_a^2) = e^2+f^2</math>.
Eine dritte Anwendung des Pythagoras liefert <math>q^2 + h_a^2 = b^2</math>, womit der Satz bewiesen ist.

==== Mithilfe des Kosinussatz ====
Der [[Kosinussatz]] wird zweimal angewendet, einmal auf das Dreieck <math>ABC</math> und einmal auf das Dreieck <math>BCD</math>:

:<math>\begin{align}
e^2 &= a^2 + b^2 - 2\;ab\cos \beta \\
f^2 &= c^2 + b^2- 2\;cb \cos \gamma
\end{align}</math>

Da <math>ABCD</math> ein Parallelogramm ist, sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und benachbarte Winkel ergeben zusammen <math>180^\circ</math>. Also ist <math>c=a</math> und <math>\gamma = 180^\circ - \beta </math>. Setzt man dies in die Gleichung für <math>f^2</math> ein und benutzt die Identität <math>\cos(180^\circ - \alpha)= - \cos \alpha</math>, so liest sich die zweite Gleichung als

:<math>f^2 = a^2 + b^2 + 2\, ab \cos \beta </math>

Die Addition der Gleichungen für <math>e^2</math> und <math>f^2</math> liefert nun die Parallelogrammgleichung.

[[Datei:Parallelogrammgleichung.svg|mini|Zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> spannen ein Parallelogramm auf]]

==== Mithilfe von Vektoren ====
Die Seiten des Parallelogramms werden wie in der Abbildung als [[Vektor|Vektoren]] aufgefasst. Dann gilt <math>\vec{e} =\vec{a}+\vec{b} </math> und <math>\vec{f}=\vec{a}-\vec{b}</math>. Mit den Rechenregeln für das [[Skalarprodukt]] und seiner geometrischen Definition erhält man die Quadrate der Diagonalen als

<math>\begin{align}
e^2 &= \vec e \cdot \vec e = (\vec a + \vec b )\cdot (\vec a + \vec b ) = a^2 + 2 \, \vec a \cdot \vec b + b^2 \\
f^2 &= \vec f \cdot \vec f = (\vec a - \vec b )\cdot (\vec a - \vec b ) = a^2 - 2 \, \vec a \cdot \vec b + b^2
\end{align}</math>

Die Addition von <math>e^2</math> und <math>f^2</math> liefert schließlich
:<math>e^2 + f^2 =2 a^2+ 2 b^2 = 2\left(a^2 + b^2 \right)</math>.

=== Verallgemeinerung und Umkehrung ===
{{Belege fehlen||Der nachfolgende Abschnitt}}
Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:
:<math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 + 4 x^2, </math>
wobei <math>x</math> den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.

Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist <math>x=0</math> und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.

Umgekehrt folgt:
Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist <math>x=0</math>. Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.

== Aussage für komplexe Zahlen ==

=== Satz ===
Für zwei [[Komplexe Zahl|komplexe]] Zahlen <math>z,w</math> gilt

:<math> 2\left(|z|^2+|w|^2\right) = |z+w|^2 + |z-w|^2. </math>

=== Beweis ===

Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der [[Gaußsche Zahlenebene|Gauß’schen Zahlenebene]] interpretiert, in der <math>z</math> und <math>w</math> dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen <math>z+w</math> und <math>z-w</math> aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten.
Unter Benutzung von <math>\left|z\right|^2 = z\overline{z}</math> für jede komplexe Zahl <math>z</math> gilt:
:<math>
\begin{align}
\left|z+w\right|^2 + \left|z-w\right|^2
&= (z+w)\overline{(z+w)}+(z-w)\overline{(z-w)} \\
&= (z+w)(\overline{z}+\overline{w})+(z-w)(\overline{z}-\overline{w}) \\
&= (z\overline{z} +w\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{w})+(z\overline{z} -w\overline{z}-z\overline{w}+w\overline{w}) \\
&= 2z\overline{z}+2w\overline{w} \\
&= 2\left|z\right|^2+2\left|w\right|^2 \\
\end{align}
</math>

== Aussage für Vektorräume ==

Die Betrachtung in [[Prähilbertraum|Prähilberträumen]] stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar.
Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]], zum anderen durch die Zurückführung von <math>\mathbb{C}</math> auf einen zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Vektorraum]] unter Definition einer Multiplikation und einer Norm), dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den je zur Verfügung stehenden Mitteln sicher nicht überflüssig.

=== Satz ===

In [[Vektorraum|Vektorräumen]] mit [[Skalarprodukt#In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen|Skalarprodukt]] (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:

:<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>

wobei <math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> die durch das [[Skalarprodukt]] (positiv semidefinite innere Produkt) [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] ([[Halbnorm]]) ist.

=== Beweis ===

Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Innenprodukt eines jeden Innenproduktraums bezüglich der Addition für beide Argumente linear ist (siehe [[Innenproduktraum#Formale Definition|Definition des Innenprodukts]] und [[Sesquilinearform]]). Dann erhält man:

: <math>
\begin{align}
\|x+y\|^2+\|x-y\|^2
&= \langle x+y, x+y\rangle + \langle x-y, x-y\rangle \\
&= \langle x, x+y\rangle +\langle y, x+y\rangle \ +\ \langle x, x-y\rangle - \langle y, x-y\rangle \\
&= \langle x, x \rangle +\langle x, y\rangle + \langle y, x \rangle +\langle y, y\rangle \ +\ \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle - \langle y, x\rangle + \langle y, y\rangle \\
&= 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y\rangle \\
&= 2(\|x\|^2+\|y\|^2)
\end{align}
</math>

=== Umkehrung ===

Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in [[Normierter Raum|normierten Vektorräumen]], deren [[Norm (Mathematik)|Norm]] nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der '''Satz von Jordan-von Neumann''' (nach [[Pascual Jordan]] und [[John von Neumann]]): Gilt in einem normierten Vektorraum <math>(V, \|{\cdot}\|)</math> die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt <math>\langle {\cdot},{\cdot}\rangle</math>, das die Norm erzeugt, das heißt, für alle <math>x \in V</math> gilt

:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.</math>

Dieses Skalarprodukt kann durch eine [[Polarisationsformel]] definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch

:<math>\langle x, y\rangle = \frac 14\left({\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}\right)</math>

und im komplexen Fall durch

:<math>\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)+\frac{i}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right).</math>

== Quellen ==
* {{Literatur
|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
|Titel=Funktionalanalysis
|Auflage=6., korrigierte Auflage
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-72533-6
|Seiten=203–204}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung|Beweis zur Parallelogrammgleichung}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Parallelogrammgleichung - Versionsgeschichte

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