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2026-02-04T05:35:00Z

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[[Datei:Parallelepiped-0.svg|mini|Ein Parallelepiped]]

Ein '''Parallelepiped''' oder '''Spat''' (früher auch ''Parallelflach'') ist ein [[Geometrie|geometrischer]] [[Körper (Geometrie)|Körper]], der von sechs [[Parallelogramm]]en begrenzt wird, von denen je zwei gegenüberliegende [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] (deckungsgleich) sind und in [[Parallel (Geometrie)|parallelen]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] liegen.

Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

[[Quader]], bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und [[Rhomboeder]], bei denen alle Kanten gleich lang und 3 [[Innenwinkel]] gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles [[Prisma (Geometrie)|Prisma]] mit einem Parallelogramm als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]].

== Formeln ==
=== Volumen ===
[[Datei:Parallelepiped-v.svg|mini|hochkant=1.4|Ein Parallelepiped wird von drei [[Vektor]]en erzeugt.]]

Stellt man die drei an einer [[Ecke]] zusammentreffende Kanten als [[Vektor]]en <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> dar, so ergibt sich das [[Volumen]] des Parallelepipeds aus dem Betrag des [[Spatprodukt]]es (gemischtes [[Skalarprodukt]] und [[Kreuzprodukt]]). Das Volumen <math>V</math> ist das Produkt der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] <math>G</math> ([[Parallelogramm]]) und der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math> des Parallelepipeds. Mit <math>G = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\gamma) = |\vec a \times \vec b|</math>, wobei <math>\gamma</math> der [[Winkel]] zwischen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist, und der Höhe <math>h = |\vec c| \cdot |\cos(\theta)|</math>, wobei <math>\theta</math> der Winkel zwischen <math>\vec c</math> und dem [[Normalenvektor]] auf der Grundfläche ist, ergibt sich
:<math>\begin{align}
V &= G \cdot h = (|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\gamma)) \cdot |\vec c| \cdot |\cos(\theta)| = |\vec a \times \vec b| \cdot |\vec c| \cdot |\cos(\theta)|
\\ &= |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|
\end{align}</math>

Das Spatprodukt kann als [[Determinante]] geschrieben werden. Für <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3)^T, \quad \vec b = (b_1,b_2,b_3)^T, \quad \vec c = (c_1,c_2,c_3)^T </math> ist das [[Volumen]] dann
:<math>V = \left| \det \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{pmatrix}\; \right|.
</math>

Eine nur von den [[geometrisch]]en Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige [[Formel]] für das [[Volumen]] ist
:<math>V = a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)}\, .</math>
Dabei sind <math>\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) </math> die [[Winkel]] zwischen den Kanten und <math>a,b,c </math> die Kantenlängen.

Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den [[Determinante#Eigenschaften|Eigenschaften einer Determinante]] und der geometrischen Deutung des [[Skalarprodukt]]s führen. Es sei <math>M</math> die 3x3-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Spaltenvektoren die [[Vektor]]en <math>\vec a, \vec b,\vec c</math> sind. Dann gilt
:<math> \begin{align}
V^2 &= (\det(M))^2 = \det(M) \cdot \det(M) = \det(M^T) \cdot \det(M) =\det (M^T \cdot M)
\\ &= \det \begin{pmatrix}
\vec a\cdot \vec a & \vec a\cdot \vec b & \vec a\cdot \vec c \\
\vec b\cdot \vec a & \vec b\cdot \vec b & \vec b\cdot \vec c \\
\vec c\cdot \vec a & \vec c\cdot \vec b & \vec c\cdot \vec c
\end{pmatrix} = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \cdot (1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma))
\end{align}</math>
Im letzten Schritt wurden die [[Gleichung]]en <math>\vec a \cdot \vec a = a^2, \quad \vec b \cdot \vec b = b^2, \quad \vec c \cdot \vec c = c^2, \quad \vec a\cdot \vec b = a \cdot b \cdot \cos(\gamma), \quad \vec a \cdot \vec c = a \cdot c \cdot \cos(\beta), \quad \vec b \cdot \vec c = b \cdot c \cdot \cos(\alpha) </math> benutzt.

=== Oberfläche ===
[[Datei:Parallelepipednetz.svg|mini|hochkant=1.4|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Parallelepipeds]]

Der [[Flächeninhalt]] der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen [[Seitenfläche]]n, den 6 [[Parallelogramm]]en:
:<math>\begin{align}
A &= 2 \cdot \left(|\vec a \times \vec b| + |\vec a \times \vec c| + |\vec b \times \vec c|\right)
\\ &= 2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) + 2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) + 2 \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)
\end{align} </math>.

=== Flächenwinkel ===
In der [[Ecke]], in der die [[Vektor]]en <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> zusammentreffen, liegen die [[Innenwinkel]] <math>\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) </math>. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein [[Tetraeder]]. Betrachtet man die [[Umkugel]] dieses Tetraeders, dann gilt nach dem [[Kosinussatz#Kosinussatz für Kugeldreiecke|Kosinussatz für Kugeldreiecke]] die [[Gleichung]]
: <math>\cos(\alpha) = \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) + \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma) \cdot \cos(\beta_a)</math>
Dabei ist <math>\beta_a</math> der [[Flächenwinkel]] zwischen den beiden [[Seitenfläche]]n, die am [[Vektor]] <math>\vec a</math> liegen.

Daraus folgt
: <math> \beta_a = \arccos \left(\frac{\cos(\alpha) - \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}\right) </math>
Die Flächenwinkel <math>\beta_b</math> und <math>\beta_c</math> ergeben sich entsprechend.

=== Raumwinkel ===
Der [[Raumwinkel]] in der [[Ecke]] eines [[Polyeder]]s kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html Spherical Excess]</ref>

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den [[Innenwinkel]]n <math>\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) </math> liegt, gilt
: <math>\begin{align}
\Omega_1 &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\theta_s}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \cdot \tan\left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}\right)
\\ &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{-\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\alpha - \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\alpha + \beta - \gamma}{4}\right)}\right)
\end{align}</math>
wobei <math>\theta_s = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}</math>, <math>\theta_a = \alpha</math>, <math>\theta_b = \beta</math> und <math>\theta_c = \gamma</math> ist.

Zwei diagonal gegenüber liegende [[Raumwinkel]] in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für
* <math>\theta_a = \alpha, \quad \theta_b = 180^\circ - \beta, \quad \theta_c = 180^\circ - \gamma</math>
* <math>\theta_a = 180^\circ - \alpha, \quad \theta_b = \beta, \quad \theta_c = 180^\circ - \gamma</math>
* <math>\theta_a = 180^\circ - \alpha, \quad \theta_b = 180^\circ - \beta, \quad \theta_c = \gamma</math>

=== Tabelle: Zusammenfassung ===
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Parallelepipeds mit den Kantenlängen ''a'', ''b'', ''c'' und den Innenwinkeln <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Parallelepiped'''
|<gallery widths="200" heights="150" perrow="2">
Parallelepiped-0.svg
Parallelepiped-v.svg
</gallery>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A = 2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) + 2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) + 2 \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5" |'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'''
|<math>h = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diagonale (Geometrie)|Raumdiagonale]]'''<br>
<math>|\vec a+\vec b+\vec c|</math>
|<math>d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) + 2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) + 2 \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen'''
'''benachbarten Flächen'''
|<math> \beta_a = \arccos \left(\frac{\cos(\alpha) - \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\tfrac{\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{-\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{\alpha - \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\tfrac{\alpha + \beta - \gamma}{4}\right)}\right)</math>
|}

== Raumfüllung mit Parallelepipeden ==
Der [[dreidimensional]]e [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] kann lückenlos mit [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Parallelepipeden ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen [[Parkettierung]]en werden ''[[Raumfüllung]]'' genannt.

Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein [[Gitter (Geometrie)|Gitter]]. Dieses Gitter enthält [[Parallel (Geometrie)|parallele]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]. Die im Gitter benachbarten [[Raumwinkel]] <math> \Omega_1 </math> und <math> \Omega_2 </math> entsprechen zusammen dem [[Flächenwinkel]] <math> \beta_a </math>. Der volle Flächenwinkel beträgt <math>2 \cdot \pi</math> und der volle Raumwinkel beträgt <math>4 \cdot \pi\ \mathrm{sr}</math>. Daher gilt <math> \beta_a = \frac{\Omega_1 + \Omega_2}{2} </math>. Entsprechend gilt <math> \beta_b = \frac{\Omega_1 + \Omega_3}{2} </math> und <math> \beta_c = \frac{\Omega_1 + \Omega_4}{2} </math>.

In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also <math> 2 \cdot \Omega_1 + 2 \cdot \Omega_2 + 2 \cdot \Omega_3 + 2 \cdot \Omega_4 = 4 \cdot \pi\ \mathrm{sr} </math>.

== Verallgemeinerung ==
Das [[Parallelotop]] beziehungsweise ''n''-Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im ''n''-[[Dimensionalität|dimensionalen]] [[Raum (Mathematik)|Raum]]. Allerdings wird auch diese Verallgemeinerung selbst auch als (''n''-dimensionales) Parallelepiped bezeichnet und die Begriffe Parallelotop, Parallelflach und Parallelepiped werden oft synonym verwendet. Das [[zweidimensional]]e Parallelotop ist das [[Parallelogramm]].

Ein ''n''-Parallelotop ist das [[Bild (Mathematik)|Bild]] des [[Würfel (Geometrie)|Einheitswürfels]] unter einer [[Affine Abbildung|affinen Abbildung]]. Der Einheitswürfel <math>I^n</math> ist eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], deren [[Koordinatensystem|Koordinaten]] einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt
: <math> I^n := \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\} </math>
Das Parallelotop ist ein konvexes [[Polytop (Geometrie)|Polytop]] mit <math>2^n</math> [[Ecke]]n. Für <math>m<n</math> sind seine ''m''-dimensionalen Seiten selbst ''m''-dimensionale Parallelotope.

== Literatur ==
* Konrad Königsberger: ''Analysis''. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

== Siehe auch ==

* [[Quader]]
* [[Rhomboeder]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Parallelepipeds}}
{{Wiktionary|Parallelepiped}}
* [https://de.serlo.org/mathe/geometrie/analytische-geometrie/flaechen-volumenberechnung/volumenberechnung-der-analytischen-geometrie/parallelotop Definition des Parallelepipeds] aus den Mathematik-Vorlesungen der Universität Stuttgart, abgerufen am 6. Dezember 2020
* [https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/parallelepiped Formeln zum Parallelepiped] aus dem Duden-Schülerlexikon, abgerufen am 6. Dezember 2020
* [https://www.mein-lernen.at/mathematik2/vektoren-raum/vektoren-volumen/parallelepiped Formeln, Beispiele und Übungen zum Parallelepiped] aus ''mein-lernen.at'', abgerufen am 6. Dezember 2020
* [https://rechneronline.de/pi/parallelepiped.php Parallelepiped-Rechner] aus ''rechneronline.de'', abgerufen am 6. Dezember 2020

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polyeder]]

Parallelepiped - Versionsgeschichte

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