imported>Sokrates 399: Typografie, Kleinigkeiten.

2026-03-14T09:28:47Z

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'''Parakompaktheit''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Er beschreibt eine Eigenschaft [[Topologischer Raum|topologischer Räume]], welche in vielen Sätzen der Topologie eine wesentliche Rolle spielt. Der Begriff der Parakompaktheit wurde im Jahre 1944 von dem französischen Mathematiker [[Jean Dieudonné]] eingeführt.<ref>Führer: ''Allgemeine Topologie mit Anwendungen.'' 1977, S. 135.</ref>

Tatsächlich sind viele der gängigen topologischen Räume sogar parakompakte [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]]. Manche Autoren setzen für parakompakte Räume die Hausdorff-Eigenschaft stets mit voraus.<ref>Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 84.</ref> Zu den parakompakten Hausdorff-Räumen zählen insbesondere alle [[Metrischer Raum|metrischen Räume]] (Satz von [[Arthur Harold Stone]]<ref>Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 90.</ref>) und alle [[Mannigfaltigkeit]]en (hier ist die Parakompaktheit Teil der üblichen Definition). Schwieriger ist es, nicht-parakompakte Räume zu finden. Ein gängiges Gegenbeispiel ist die sogenannte [[lange Gerade]].

Parakompaktheit ist eine abgeschwächte Form der [[Kompakter Raum|Kompaktheit]]; zum Beispiel ist die Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] in der üblichen Topologie parakompakt, aber nicht kompakt.

== Definition ==
Ein topologischer Raum <math>M</math> ist ''parakompakt'', falls jede ''[[offene Überdeckung]]'' eine ''lokal endliche offene Verfeinerung'' besitzt.

Zum Vergleich: Ein topologischer Raum <math>M</math> ist ''kompakt'', falls jede ''offene Überdeckung'' eine ''endliche Teilüberdeckung'' besitzt.

Dabei bedeutet:
* ''offene Überdeckung'' von <math>M</math>: eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>(U_i)_{i \in I}</math> von [[Offene Menge|offenen Mengen]], deren Vereinigung <math>M</math> enthält: <math>M \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i</math>;
* ''Teilüberdeckung'': eine Teilfamilie <math>(U_i)_{i \in I_0} (I_0 \subseteq I)</math>, deren Vereinigung immer noch <math>M</math> enthält;
* ''Verfeinerung'': eine neue Überdeckung <math>(V_j)_{j \in J}</math>, wobei jede Menge <math>V_j</math> in mindestens einer Menge <math>U_i</math> der alten Überdeckung enthalten sein muss;
* ''lokal endlich'': zu jedem <math>x \in M</math> gibt es eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], die nur endlich viele Mengen <math>V_j</math> schneidet.

== Beispiele ==
* [[Metrischer Raum|Metrische Räume]] sind parakompakt (''Satz von [[Arthur Harold Stone|A. H. Stone]]''). Die Umkehrung gilt nicht.
* [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en (die nach Definition Hausdorffsch sind und das [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllen) sind immer parakompakt. Oft wird die Parakompaktheit als Teil der Definition vorausgesetzt, sie folgt aber auch aus der Hausdorff-Bedingung und dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom. Nicht-Hausdorffsche Mannigfaltigkeiten müssen im Allgemeinen nicht parakompakt sein. Aus der Parakompaktheit folgt die Existenz einer [[Zerlegung der Eins]],<ref group="A">Für den Beweis dieses Satzes benötigt man die Zuhilfenahme des [[Lemma von Zorn|Zorn’schen Lemmas]] und damit die Annahme der Gültigkeit des [[Auswahlaxiom]]s. Siehe Horst Schubert: ''Topologie.'', 1975, S. 83–88!</ref> was die topologische Eigenschaft der Parakompaktheit zum Beispiel für die Integrationstheorie auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten bedeutsam macht.

== Eigenschaften ==
* Dieudonné-Theorem: Jeder parakompakte [[Hausdorff-Raum]] ist [[Normaler Raum|normal]]. Die Umkehrung gilt nicht, wie die [[lange Gerade]] belegt.
* Abgeschlossene Unterräume parakompakter Räume sind wieder parakompakt.
* [[Produkttopologie|Produkte]] parakompakter Räume sind im Allgemeinen nicht wieder parakompakt, nicht einmal normal, wie die [[Sorgenfrey-Ebene]] zeigt, siehe auch [[Satz von Tamano]].

== Abschwächungen ==
* Verlangt man die definierende Eigenschaft nur für abzählbare Überdeckungen, so spricht man von einem ''abzählbar parakompakten Raum''. Parakompakte Räume sind natürlich abzählbar parakompakt, die Umkehrung gilt nicht.
* Verlangt man in der Definition des parakompakten Raums von der Verfeinerung nur, dass sie punktendlich ist, das heißt jeder Punkt ist nur endlich vielen Mengen der Verfeinerung enthalten, so spricht man von einem ''[[Metakompakter Raum|metakompakten Raum]]''. Parakompakte Räume sind natürlich metakompakt. Das Beispiel der [[Dieudonné-Planke]] zeigt, dass die Umkehrung nicht gilt.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Jean Dieudonné
|Titel=Une généralisation des espaces compacts
|Sammelwerk=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série
|Band= 23
|Datum=1944
|Seiten=65-76
|Online=[https://zbmath.org/0060.39508 Eintrag 0060.39508 (''zbMATH Open'')]}}
* {{Literatur
|Autor=[[James Dugundji]]
|Titel=Topology
|Verlag=8th printing. Allyn and Bacon
|Ort=Boston
|Datum=1973
|OCLC=256193625}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3
|Seiten=135 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=Gregory Naber
|Titel=Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero dimensionality and cardinal Invariants
|Verlag=University Microfilms International
|Ort=Ann Arbor MI
|Datum=1977
|ISBN=0-8357-0257-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jun-iti Nagata]]
|Titel=Modern General Topology
|Reihe=North-Holland Mathematical Library
|BandReihe=33
|Auflage=2., überarbeitete
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam u. a.
|Datum=1985
|ISBN=0-444-87655-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Boto von Querenburg]]
|Titel=Mengentheoretische Topologie
|Auflage=3., neu bearbeitete und erweiterte
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2001
|ISBN=3-540-67790-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Seiten=84 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=Reading MA u. a.
|Datum=1970
|ISBN=0-201-08707-3
|Seiten=144;ff.}}
* {{Literatur
|Autor=A. H. Stone
|Titel=Paracompactness and product spaces
|Sammelwerk=Bulletin of the American Mathematical Society
|Band= 54
|Datum=1948
|Seiten=977-982
|Online=[https://zbmath.org/0032.31403 Eintrag 0032.31403 (''zbMATH Open'')]}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4694611-1}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit]]

Parakompakter Raum - Versionsgeschichte

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