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2024-07-19T14:04:16Z

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[[Datei:Paraboloid.png|300px|mini|Elliptisches Paraboloid]]
[[Datei:Hyperbol Paraboloid.pov.png|300px|mini|Hyperbolisches Paraboloid]]

Ein '''Paraboloid''' ist eine [[Fläche zweiter Ordnung]] ([[Quadrik]]) und wird in den einfachsten Fällen durch eine [[Gleichung]] beschrieben:
* <math>P1\colon \ z=x^2+y^2</math> für '''elliptisches Paraboloid'''
* <math>P2\colon \ z=x^2-y^2 </math> für ein '''hyperbolisches Paraboloid'''
''Elliptische'' Paraboloide begegnen einem beispielsweise als Oberflächen von [[Satellitenschüssel]]n und als [[Energieentwertung]]sdiagramme<ref>[[Karl-Eugen Kurrer|K.-E. Kurrer]]: ''Zur Darstellung der Energietransformation beim ebenen gekoppelten Reibungsstoß mit Hilfe des Energieentwertungsdiagramms''. In: Cassius Alexandru, Günter Gödert, Uwe Görn, Roland Parchem und Joachim Villwock (Hrsg.): ''Beiträge zur Mechanik''. Festschrift zum 65. Geburtstag von Prof. Dr. [[Rudolf Trostel]]. Universitätsbibliothek der TU Berlin, Abt. Publikation, Berlin 1993, ISBN 3-7983-1581-7, S. 148–169.</ref> beim [[Stoß (Physik)|Stoß]] rauer [[Starrkörper]].<br>''Hyperbolische'' Paraboloide sind [[Sattelfläche]]n. Sie enthalten [[Gerade]]n und werden deswegen von Architekten und [[Bauingenieurwesen|Bauingenieuren]] als leicht modellierbare Dachformen ([[hyperbolische Paraboloidschale]]n) verwendet<ref>K.-E. Kurrer: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. [[Ernst & Sohn]], Berlin 2018, S. 743–747, ISBN 978-3-433-03229-9</ref>.

Anhand der Gleichungen erkennt man, dass beide [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] viele [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] enthalten, was zur Namensgebung beigetragen hat:

<math>P1</math> ist eine [[Rotationsfläche]]. <math>P1</math> entsteht durch [[Rotationsfläche|Rotation]] der Parabel in der x-z-[[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit der Gleichung <math>z=x^2</math> um die z-Achse. <br><math>P2</math> ist ''keine'' Rotationsfläche. Aber auch bei <math>P2</math> ist bis auf zwei Ausnahmen jeder Schnitt mit einer Ebene durch die z-Achse eine Parabel. Z. B. ist der Schnitt mit der Ebene <math>x=0</math> (y-z-Ebene) die Parabel <math>z=-y^2</math>. <br>Beide Flächen lassen sich als [[Schiebfläche]]n auffassen und lassen sich durch verschieben einer Parabel entlang einer zweiten Parabel erzeugen.

Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:
* <math>P1</math> besitzt als Höhenschnitte ''[[Kreis]]e'' (für konstantes <math>z</math>). Im allgemeinen Fall sind es ''[[Ellipse]]n'' (siehe unten), was sich im Namenszusatz widerspiegelt,
* <math>P2</math> besitzt als Höhenschnitte ''[[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]]'' oder ''[[Gerade]]n'' (für <math>z=0</math>), was den Zusatz ''hyperbolisch'' rechtfertigt.

Ein hyperbolisches Paraboloid ist nicht mit einem [[Hyperboloid]] zu verwechseln.

== Eigenschaften ==

=== Elliptisches Paraboloid ===
Das elliptische Paraboloid ergibt sich durch [[Drehung|Rotation]] des [[Funktionsgraph|Graphen]] der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f(z) = \sqrt{z}</math> um die <math>z</math>-Achse. Für die [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] gilt <math>f'(z) = \tfrac{1}{2 \sqrt{z}}</math>. Das [[Volumen]] und die Oberfläche für ein elliptische Paraboloid mit der Höhe <math>h</math> ergeben sich nach den [[Guldinsche Regeln|Guldinschen Regeln]] mithilfe von [[Integralrechnung|Integralen]].[[Datei:Paraboloid of Revolution.svg|200px|mini|rechts|Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen]]

==== Volumen ====
:<math>V = \pi\int_0^h (f(z))^2 \ \mathrm{d}z
= \pi\int_0^h z \ \mathrm{d}z
= \frac{\pi h^2}{2}</math>

==== Oberfläche ====
:<math>\begin{align}
A &= 2\pi\int_0^h f(z)\sqrt{1+\left(f'(z)\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \sqrt{z}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2 \sqrt{z}}\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \frac{1}{2}\sqrt{4z + 1} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\left(\frac{1}{12}(4z + 1)^\frac{3}{2}\Big|_{z=0}^{z=h}\right)
\\ &= \frac{\pi}{6}\left((4h + 1)^\frac{3}{2} - 1\right)
\end{align}</math>

==== Tangentialebenen ====
Die [[Tangentialebene]] in einem Flächenpunkt <math>(x_0,y_0,f(x_0,y_0))</math> an den [[Funktionsgraph|Graphen]] einer [[Differenzierbare Funktion|differenzierbaren Funktion]] <math>f</math> hat die [[Gleichung]]
:<math>z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)</math>.

Für <math>f(x,y)=x^2+y^2</math> ergibt sich für die Gleichung der [[Tangentialebene]] im [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>(x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)</math>
:<math>z=2x_0x+2y_0y-(x_0^2+y_0^2)</math>.

==== Ebene Schnitte ====
Das elliptische Paraboloid <math>P1</math> ist eine [[Rotationsfläche]] und entsteht durch [[Drehung|Rotation]] der [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] <math>z=x^2</math> um die <math>z</math>-Achse. Ein ebener Schnitt von <math>P1</math> ist:
* eine ''[[Parabel (Mathematik)|Parabel]]'', falls die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] ''senkrecht'' (parallel zur <math>z</math>-Achse) ist.
* eine ''[[Ellipse]]'' oder ein ''[[Punkt (Geometrie)|Punkt]]'' oder ''leer'', falls die Ebene ''nicht senkrecht'' ist. Eine horizontale Ebene schneidet <math>P1</math> in einem ''[[Kreis]]''.
* ein ''[[Punkt (Geometrie)|Punkt]]'', falls die Ebene eine [[Tangentialebene]] ist.

==== Affine Bilder ====
[[Datei:Erdfunkstelle Raisting 2a.jpg|mini|[[Parabolantenne]]n zur [[Satellitenkommunikation]] haben die Form eines elliptischen Paraboloids.]]
Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von <math>P1</math>. Die einfachsten [[Affine Abbildung|affinen Abbildungen]] sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den [[Gleichung]]en
:<math>P1_{ab}\colon z=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0</math>.
<math>P1_{ab}</math> besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] in einer [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls <math>a\ne b</math> gilt. Dass ein beliebiges elliptisches Paraboloid auch immer [[Kreis]]e enthält, wird in ''[[Kreisschnittebene#Elliptisches Paraboloid|Kreisschnittebene]]'' gezeigt.

<math>P1_{ab}</math> ist
* [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zu den <math>xz</math>- bzw. <math>yz</math>-Koordinatenebenen.
* symmetrisch zur <math>z</math>-Achse, d. h. <math>(x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)</math> lässt <math>P1_{ab}</math> invariant.
* [[rotationssymmetrisch]], falls <math>a= b</math> ist.

[[Datei:Centrifugal 0.PNG|mini|Rotierendes Wasserglas]]
''Bemerkung:''
# Ein [[Rotationsparaboloid]] (d. h. <math>a=b</math>) hat als [[Parabolspiegel]] große technische Bedeutung, da alle [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] mit der Rotationsachse als Achse denselben [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]] besitzen.
# Wenn man ein mit Wasser gefülltes Glas mit konstanter [[Drehgeschwindigkeit]] um seine [[Symmetrieachse]] rotieren lässt, dreht sich das Wasser nach einer Weile mit dem Glas mit. Seine Oberfläche bildet dann ein Rotationsparaboloid.
# Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz '''Paraboloid''' genannt.

==== Homogene Koordinaten ====
Führt man [[homogene Koordinaten]] so ein, dass die [[Fernebene]] durch die [[Gleichung]] <math>x_4=0</math> beschrieben wird, muss man <math>x=\tfrac{x_1}{x_4}, y=\tfrac{x_2}{x_4},z=\tfrac{x_3}{x_4}</math> setzen. Nach Beseitigung des Nenners erhält man die homogene Beschreibung von <math>P_1</math> durch die Gleichung:
:<math>x_1^2+x_2^2=x_3x_4</math>.
Der Schnitt des Paraboloids mit der Fernebene <math>x_4=0</math> ist der [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>(0:0:1:0)</math>.

Die [[Koordinatentransformation]] <math>x_1=u_1, \; x_2=u_2,\; x_3=u_3+u_4,\; x_4=-u_3+u_4</math> liefert die Gleichung
:<math>u_1^2+u_2^2+u_3^2=u_4^2</math>.
In den neuen [[Koordinatensystem|Koordinaten]] schneidet die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>u_4=0</math> das Paraboloid nicht.

Führt man jetzt wieder [[affine Koordinaten]] durch <math>x=\tfrac{u_1}{u_4}, y=\tfrac{u_2}{u_4},z=\tfrac{u_3}{u_4}</math> ein, erhält man die Gleichung der [[Einheitskugel]]:
:<math>x^2+y^2+z^2=1 \ .</math>
Dies zeigt: Ein elliptisches Paraboloid ist ''projektiv'' äquivalent zu einer [[Kugel]].

=== Hyperbolisches Paraboloid ===
[[Datei:Hyperparab-s.svg|250px|mini|Hyperbolisches Paraboloid mit [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] und [[Gerade]]n als [[Schnittkurve]]n]]
[[Datei:Hyperbparab2-g-s.svg|250px|mini|Hyperbolisches Paraboloid im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]]]]
==== Tangentialebenen ====
Für <math>f(x,y)=x^2-y^2</math> ist die [[Gleichung]] der [[Tangentialebene]] (siehe oben) im [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>(x_0,y_0,x_0^2-y_0^2)</math>
:<math>z=2x_0x-2y_0y-x_0^2+y_0^2</math>.

==== Ebene Schnitte ====
<math>P2</math> ist im Gegensatz zu <math>P1</math> ''keine'' [[Rotationsfläche]]. Aber wie bei <math>P1</math> sind bei <math>P2</math> auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]]:

Der Schnitt einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit <math>P2</math> ist
* eine ''[[Parabel (Mathematik)|Parabel]]'', falls die Ebene senkrecht ([[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur <math>z</math>-Achse) ist und eine [[Gleichung]] <math>ax+by+c=0, a\ne \pm b</math> hat.
* eine ''[[Gerade]]'', falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung <math>y=\pm x+c</math> hat.
* ein sich ''schneidendes Geradenpaar'', falls die Ebene eine [[Tangentialebene]] ist (siehe Abbildung).
* eine ''[[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]'', falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (siehe Abbildung).

==== Weitere Eigenschaften ====
# Die Schnittparabeln mit [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur <math>xz</math>- oder <math>yz</math>-Ebene sind alle [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] zur Normparabel <math>z=x^2</math>.
# <math>P2</math> ist eine [[Schiebfläche]]. <math>P2</math> entsteht durch Verschiebung der [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] <math>z=x^2, y=0</math> mit ihrem Scheitel entlang der Parabel <math>z=-y^2, x=0</math>.
# Eine nicht senkrechte Ebene, die eine [[Gerade]] enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine [[Tangentialebene]].
# Da die [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] <math>P2</math> Geraden enthält, ist sie eine [[Regelfläche]].
#<math>P2</math> ist ein [[Konoid]].
# Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (ebenso wie [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] und [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]), ist aber nicht abwickelbar, da die [[Gaußsche Krümmung]] in jedem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] ungleich 0 ist. Die Gaußsche Krümmung ist überall kleiner als 0. Bei einer Kugel ist die Gaußsche Krümmung überall größer als 0. Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine [[Sattelfläche]].
# Durch eine [[Drehung]] des [[Koordinatensystem]]s um die <math>z</math>-Achse um 45 Grad geht die [[Gleichung]] <math>z=x^2-y^2 </math> in die einfachere Gleichung <math>z=2xy </math> über.

[[Datei:ParabHyper.png|250px|mini|Hyperbolisches Paraboloid mit [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] als Höhenschnitte]][[Datei:W-wa Ochota PKP-WKD.jpg|mini|rechts|[[Haltepunkt Warszawa Ochota|Bahnhof von Warszawa Ochota]], Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach]]

==== Affine Bilder ====

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von <math>P2</math>. Die einfachsten [[Affine Abbildung|affinen Abbildungen]] sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den [[Gleichung]]en
:<math>P2_{ab}:\ z=\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0</math>.

<math>P2_{ab}</math> ist
* [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zu den <math>xz</math>- bzw. <math>yz</math>-Koordinatenebenen.
* symmetrisch zur <math>z</math>-Achse, d. h. <math>(x,y,z)\rightarrow (-x,-y,z)</math> lässt <math>P2_{ab}</math> invariant.

''Bemerkung:''<br>Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (siehe Abbildung), da sie leicht mit [[Gerade]]n (Balken) modelliert werden können.

==== Interpolationsfläche von 4 Punkten ====
[[Datei:Hyp-paraboloid-ip.svg|250px|mini|Hyperbolisches Paraboloid als Interpolationsfläche von 4 Punkten]]
Ein hyperbolisches Paraboloid lässt sich auch als ''bilineare Interpolationsfläche'' von vier ''nicht'' in einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] liegenden [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] <math>\ \mathbf a_1,\;\mathbf a_2,\;\mathbf b_1,\;\mathbf b_2\ </math> auffassen<ref>G. Farin: ''Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design'', Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250</ref>:
* <math> {\mathbf x}(u,v)
=\begin{pmatrix}1-u & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bf a_1 & \bf b_1\\ \bf a_2 & \bf b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1-v\\v\end{pmatrix} \ </math>
:::<math>=(1-v)\big((1-u)\mathbf a_1 + u\mathbf a_2\big)\ +\
v\big((1-u)\mathbf b_1 + u\mathbf b_2\big)\ </math>.

Das Netz der Parameterlinien besteht aus [[Gerade]]n.

Für das in der Abbildung dargestellte Beispiel ist <math>\ \mathbf a_1=(0,0,0)^T,\;\mathbf a_2=(1,0,0)^T,\;\mathbf b_1=(0,1,0)^T,\;\mathbf b_2=(1,1,1)^T\ </math>. Das dadurch beschriebene hyperbolische Paraboloid hat die [[Gleichung]] <math> z=xy</math>.

Siehe hierzu auch die Darstellung in [[Baryzentrische Koordinaten#Hyperboloid durch die Punkte eines Tetraeders|baryzentrischen Koordinaten]].

==== Homogene Koordinaten ====
Führt man wie bei <math>P_1</math> [[homogene Koordinaten]] ein, erhält man die Beschreibung des hyperbolischen Paraboloids <math>P_2</math> durch die [[Gleichung]]:
:<math>x_1^2-x_2^2=x_3x_4</math>.
Der Schnitt des Paraboloids mit der [[Fernebene]] <math>x_4=0</math> besteht aus den beiden [[Gerade]]n <math>g_1: x_1+x_2=0, x_4=0,\; g_2: x_1-x_2=0, x_4=0\; </math>, die sich in dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>(0:0:1:0)</math> schneiden.

Die [[Koordinatentransformation]] <math>x_1=u_1, \; x_2=u_3,\; x_3=u_2+u_4,\; x_4=-u_2+u_4</math> liefert die Gleichung
:<math>u_1^2+u_2^2-u_3^2=u_4^2</math>.
Die Fernebene <math>u_4=0</math> schneidet das Paraboloid in einem [[Kreis]].

Geht man wieder zu [[Affine Koordinaten|affinen Koordinaten]] über, erhält man die Gleichung
:<math>x^2+y^2-z^2=1 </math>
eines einschaligen Hyperboloids.

Das hyperbolische Paraboloid ist also ''projektiv'' äquivalent zu einem [[Hyperboloid#Einschaliges Einheitshyperboloid|einschaligen Hyperboloid]].

== Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden ==
[[Datei:Parabol-el-zy-hy-s.svg|500px|mini|Elliptisches Paraboloid, [[parabolischer Zylinder]] (Grenzfläche), hyperbolisches Paraboloid]]
Lässt man in den [[Gleichung]]en

:<math>z=x^2 + \frac{y^2}{b^2} </math> (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

:<math>z=x^2 - \frac{y^2}{b^2} </math> (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math> b</math> gegen <math>\infty</math> laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche
:<math> z=x^2</math>.
Dies ist die Gleichung eines ''[[Parabolischer Zylinder|parabolischen Zylinders]]'' mit einer [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] als Querschnitt (siehe Abbildung).

== Anwendungen ==
Beispiele aus dem täglichen Leben sind [[Hohlspiegel|Reflektoren]] von [[Scheinwerfer]]n, [[Parabolantenne]]n und [[Parabolspiegel]] in der [[Astronomie]].

Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte [[Rotationsachse|Achse]] dreht, überlagern sich [[Gravitation|Schwerkraft]] und [[Fliehkraft]], und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das [[Flüssiger Spiegel|Quecksilber-Teleskop]]. Auf diese Weise kann man auch Parabolspiegel für [[Spiegelteleskop]]e gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen, da die beim Guss erhaltene Oberfläche bereits ein Rotationsparaboloid darstellt.[[Datei:Stapelchips.jpg|mini|[[Stapelchips]] ähneln in ihrer Form einem hyperbolischen Paraboloid, um die Stabilität zu erhöhen.]]

== Siehe auch ==
* [[Ellipsoid]]
* [[Rotationshyperboloid]]
* [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
* [[Konoid]]
* [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* [http://www.docbenton.com/MAPLE/animated_paraboloid.html Animiertes Paraboloid]

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]

Paraboloid - Versionsgeschichte

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