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2025-05-04T21:05:34Z

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'''Parabolic Blending''' ist ein Verfahren, um eine [[glatte Kurve]] durch eine Folge von Punkten zu legen. Man kann es je nach Problemstellung als explizite Darstellung y=y(x) oder als [[Parameterdarstellung]] x=x(t),y=y(t) verwenden.<ref>{{Literatur |Autor=Nadia Magnenat-Thalmann, Daniel Thalmann |Titel=Image Synthesis: Theory and Practice |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2012-12-06 |ISBN=978-4-431-68060-4 |Online=https://books.google.com/books?id=eW-rCAAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA33&dq=Parabolic+Blending&hl=en |Abruf=2024-01-04}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Olcay Ekşi, Hakan Üstünel |Titel=Application of parabolic blending for the estimation of thickness distribution in thermoformed products |Sammelwerk=Journal of Elastomers & Plastics |Band=53 |Nummer=6 |Datum=2021-10 |ISSN=0095-2443 |DOI=10.1177/0095244320959801 |Seiten=583–598 |Online=http://journals.sagepub.com/doi/10.1177/0095244320959801 |Abruf=2024-01-04}}</ref> In jedem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] zwischen zwei Punkten Nr. i und i+1 werden zwei quadratische [[Polynom]]e gebildet:
:<math>
p(x)
=
\frac{
(x-x_{i})(x-x_{i+1})
}{
(x_{i-1}-x_{i})(x_{i-1}-x_{i+1})
} y_{i-1}
+
\frac{
(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})
}{
(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})
} y_i
+
\frac{
(x-x_{i-1})(x-x_{i})
}{
(x_{i+1}-x_{i-1})(x_{i+1}-x_{i})
} y_{i+1}
</math>

:<math>
q(x)
=
\frac{
(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})
}{
(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})
} y_i
+
\frac{
(x-x_{i-1})(x-x_{i})
}{
(x_{i+1}-x_{i-1})(x_{i+1}-x_{i})
} y_{i+1}
+
\frac{
(x-x_{i})(x-x_{i+1})
}{
(x_{i+2}-x_{i})(x_{i+2}-x_{i+1})
} y_{i+2}
</math>
Um die Funktion y(x), die nur durch einzelne Punkte gegeben ist, zwischen dem Punkt Nr. i und dem Punkt Nr. i+1 darzustellen, werden beide [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] in diesem Intervall linear gemischt:
:<math>
y(x) =
\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i} p(x)
+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i} q(x)
</math>
Der allererste und der allerletzte Punkt wird dadurch nicht Teil der Kurve, sondern steuert die [[Tangente]].

Das Verfahren stammt ursprünglich aus dem Schiffsentwurf, allerdings reicht seine Qualität nicht aus, um damit Schiffslinien zu generieren oder zu glätten, denn die Krümmung ist unstetig. Es stellte im Schiffsentwurf ein primitives, einfaches und schnelles Verfahren dar, um Spantrisse zu visualisieren.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Spline-Interpolation]]
* [[Polynominterpolation]]
* [[Bézierkurve]]

[[Kategorie:Geometrische Modellierung]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Parabolic Blending - Versionsgeschichte

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