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2025-01-11T08:09:20Z

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[[Datei:Pappus Chain3.svg|mini|300px|Die Pappos-Kette im Arbelos]]
Die '''Pappos-Kette''' (auch ''Pappus-Kette'') ist in der [[Geometrie]] eine unendliche Folge einander berührender [[Kreis]]e in einem [[Arbelos]].<ref name="Herrmann"/> Sie ist benannt nach dem griechischen Geometer [[Pappos|Pappos von Alexandria]], der sie im [[3. Jahrhundert]] erstmals untersuchte.

== Beschreibung ==

[[Datei:Pappus Chain Full.svg|mini|120px|Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos]]
Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über <math>AB</math>, <math>AC</math> und <math>CB</math> (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der [[Inkreis]] des Arbelos mit dem Mittelpunkt <math>P_1</math> ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten <math>P_2</math>, <math>P_3</math> u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über <math>AB</math> und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über <math>AC</math>, die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über <math>CB</math> berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an <math>AB</math> [[Spiegelung (Geometrie)#Achsenspiegelung|gespiegelten]] Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der ''nicht'' alle Kreise der Kette berührt (hier der über <math>CB</math>), zu einem Glied der Kette.

Fügt man in die entstehenden Kreisbogendreiecke weitere größtmögliche Kreise ein<ref name="MathWorld"/>, entsteht eine [[Apollonios-Kreisfüllung]].<ref name="Herrmann"/>

== Konstruktion ==
[[Datei:papposKonstruktion.svg|mini|300px|Konstruktion der Pappos-Kette mittels Kreisspiegelung]]
Die Pappos-Kette lässt sich durch Ausnutzung der Eigenschaften der [[Kreisspiegelung]] konstruieren<ref name="Holzapfel"/>, siehe Bild. Man beginnt mit drei Punkten A, B und C, die auf einer Geraden g liegen, auf der sich C zwischen A und B befindet. Die Senkrechte zur Geraden g in C schneidet den Kreis k um A durch B (rot) in D, und die dortige [[Tangente]] an den Kreis schneidet die Gerade g im Bildpunkt C' von C.

Der Kreis über AB (grün) wird durch Kreisspiegelung an k auf die Senkrechte zu g in B abgebildet (grün). Ebenso ist die Senkrechte zu g in C' (blau) Spiegelbild des Kreises mit Durchmesser AC (blau). Der Kreis über CB wird schließlich in den Kreis über BC' gespiegelt.

Zwischen die Senkrechten zu g in den Punkten B und C' fügt man weitere Kreise ein, die einander und diese Senkrechten berühren. Die Kreise der Pappos-Kette entstehen durch Kreisspiegelung dieser Kreise am Kreis k. Dazu wird die Tangente des Kreises mit Mittelpunkt E in F konstruiert, die durch A führt und die den Papposkreis (um H) ebenfalls tangiert – in F'. Der Berührungspunkt F' ist das Spiegelbild von F, das über die Tangente an den Inversionskreis in G, die durch F führt, ermittelt wird. Der Bildpunkt F' ist der [[Fußpunkt]] von G auf AF und die Verlängerung von GF' liefert den Mittelpunkt H des Papposkreises, der nun gezeichnet werden kann.

Die weiteren Kreise der Pappos-Kette werden analog konstruiert.

== Eigenschaften ==

[[Datei:Pappus Chain Theorem.svg|mini|300px|Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie]]
Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über <math>CB</math> erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der [[Indexmenge (Mathematik)|Indizierung]] der Kreismittelpunkte <math>P_n</math> in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit <math>r_n</math>. Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien <math>a = \overline{CB}/2 = r_0</math> und <math>b = \overline{AC}/2</math>.

* Der Kreis mit der Nummer <math>n</math> hat den Radius <math>r_n=\frac {ab(a+b)}{n^2a^2+b(a+b)}</math>.
* Der Mittelpunkt <math>P_n</math> des Kreises mit der Nummer <math>n</math> hat den Abstand <math>2nr_n</math> von der Arbelos-Grundlinie <math>AB</math>. Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
* Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer [[Ellipse]] (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken <math>AB</math> und <math>AC</math>.
* Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

== Verwandte Kreisarrangements ==

=== Kreiskette zwischen Kreis und Gerade ===
[[Datei:General_Pappus_chain_between_circle_and_line.svg|mini|300px|Kreiskette zwischen zwei Kreisen (grün und blau) sowie einer Geraden (schwarz)]]
{{Siehe auch|Ford-Kreis}}
Nahe verwandt mit der Pappos-Kette ist die Kreiskette, die in das Kreisbogendreieck zwischen einem Kreis – der grüne Kreis im Bild, im folgenden Großkreis genannt – und einer ihn tangierenden Geraden eingeschrieben wird, siehe Bild. Ihre Konstruktion erfolgt analog zur Pappos-Kette. Die Kette hat die folgenden Eigenschaften:<ref name="Aharonov"/>

* Das Verhältnis der Radien zweier aufeinander folgender Kreise in der Kette strebt gegen eins.
* Wenn R der Radius des Großkreises ist, unter dem die Kette liegt, und rn der Radius des letzten eingeschriebenen Kreises ist, dann gilt
::<math>\frac1{\sqrt{r_{n+1}}}=\frac1{\sqrt{R}}+\frac1{\sqrt{r_n}}</math>
* Wenn der Radius des Großkreises (n=1) gleich eins ist und der größte eingeschriebene Kreis (n=2) den Radius ein viertel hat, dann gilt:
::<math>r_n=\frac1{n^2}, n=2,3,\dots,\quad 1=d_{12}=\sum_{n=2}^\infty d_{n,n+1}
=\sum_{n=2}^\infty\frac2{n(n+1)}</math>
: Darin ist <math>d_{n,n+1}</math> der horizontale Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise n und n+1.
* Der Großkreis berühre in der [[xy-Ebene]] im Ursprung die x-Achse, die die begrenzende Gerade stelle. Wenn dann R der Radius des Großkreises, K=1/R seine Krümmung und r2 der Radius des ersten eingeschriebenen Kreises ist, xn die x-Koordinate des Kreismittelpunkts, rn der Radius und kn der [[Kehrwert]] des Radius – die Krümmung – des n-ten Kreises ist, dann gilt für n=2,3,…:
::<math>k_n= K + k_{n-1} + 2\sqrt{Kk_{n-1}},\;
r_n=\frac1{k_n},\;x_n=2\sqrt{Rr_n}</math>

=== Coxeters loxodromische Folge von tangierenden Kreisen ===
[[Datei:Coxeter spiral.svg|mini|100px|Coxeters Spiralen (grau)]]
Bei [[Coxeters loxodromische Folge von tangierenden Kreisen|Coxeters loxodromischer Folge von tangierenden Kreisen]] bilden die Radien der Kreise eine [[geometrische Folge]] und es wird auch hier immer nur in eines von drei Kreisbogendreiecken ein weiterer Kreis eingeschrieben.

=== Apollonios-Kreisfüllung ===
[[Datei:ApollonianGasket-10 18 23 27.svg|mini|100px|Apollonios-Kreisfüllung]]
Bei der [[Apollonios-Kreisfüllung]] wird in das Kreisbogendreieck zwischen drei sich paarweise berührenden Kreisen ein weiterer möglichst großer Kreis eingeschrieben und dieser Vorgang rekursiv fortgesetzt. Hier werden also sämtliche entstehenden Kreisbogendreiecke rekursiv gefüllt, während bei der Pappos-Kette immer nur in eines von drei Kreisbogendreiecken ein weiterer Kreis eingeschrieben wird.

== Siehe auch ==
* [[Steiner-Kette]]
* [[Buch der Lemmata]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pappus chain|3=S}}
* Jürgen Köller: [http://www.mathematische-basteleien.de/arbelos.htm#Pappus-Kette ''Pappus-Kette''.] Mathematische Basteleien.
* Walter Fendt: [http://www.walter-fendt.de/html5/mde/papposchain_de.htm ''Die Pappos-Kette''.] (HTML5-App). ''HTML5-Apps zur Mathematik''.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="MathWorld">
{{MathWorld |id=PappusChain |author=Floor van Lamoen, Eric W. Weisstein |title=Pappus Chain
}}</ref>
<ref name="Herrmann">
{{Literatur
| Autor=Dietmar Herrmann
| Titel=Die antike Mathematik
| TitelErg=Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen
| Seiten=374
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin, Heidelberg
| ISBN=978-3-642-37611-5
| DOI=10.1007/978-3-642-37612-2
| Datum=2014
}}</ref>
<ref name="Holzapfel">
{{Internetquelle
| autor=M. Holzapfel
| url=https://www.michael-holzapfel.de/themen/grenzwert/kreise/kreisketten.htm
| sprache=de
| titel=Kreisketten
| abruf=2023-11-08
}}</ref>
<ref name="Aharonov">
{{Literatur
| Autor=Dov Aharonov, Kenneth Stephenson
| Titel=Geometric Sequences Of Discs In The Apollonian Packing
| Sammelwerk=[[St. Petersburg Mathematical Journal]]
| Band=9
| Nummer=3
| Jahr=1998
| Seiten=13ff.
| Online=https://www.researchgate.net/publication/268442754
}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]

Pappos-Kette - Versionsgeschichte

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