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2025-12-30T07:54:44Z

deutsche Wortstellung (Verbklammer)

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{{Infobox Verteilung
| name = Panjer-Verteilung
| type = discret
| pdf_image =
| cdf_image =
| parameters = a,b
| support = <math>\N\cup\{0\}</math>
| pdf =
| cdf =
| mean = <math>\frac{a+b}{1-a}</math>
| median =
| mode =
| variance = <math>\frac{a+b}{(1-a)^2}</math>
| skewness =
| kurtosis =
| entropy =
| mgf =
| char =
| fisher =
}}
Die '''Panjer-Verteilung''' (nach [[Harry Panjer]]) ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], welche die Verteilungen [[negative Binomialverteilung]], [[Binomialverteilung]] (für <math>p \in [0,1)</math>) und [[Poisson-Verteilung]] in einer [[Verteilungsklasse]] vereint. Somit gehört sie zu den [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariaten]] [[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Sie wird in der [[Versicherungsmathematik]] als Schadenzahlverteilung eingesetzt, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.

== Charakterisierung ==
Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf <math>\mathbb N_0</math>, für die es Konstanten <math>a, b \in \mathbb R</math> mit <math>a+b \ge 0</math> gibt, so dass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte <math>p_k = P(X=k)</math> gilt:
:<math>
p_k= \left(a + \frac{b}{k}\right) \cdot p_{k-1},~~k \ge 1.
</math>
Die Wahrscheinlichkeit <math>p_0</math> ergibt sich aus der Normierungsbedingung
:<math>
\sum_{k=0}^\infty p_k = 1.
</math>
Eine Folge <math>(p_k)_{k \in \N_0}</math> mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle [[stochastische Folge]], die als '''Panjer-Folge''' bezeichnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Stochastische Folgen |TitelErg=Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46175-4 |DOI=10.1007/978-3-662-46176-1 |Fundstelle=''Kap. 8: Panjer-Folgen'', S. 95–104}}</ref>

== Eigenschaften ==

[[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Panjer-Verteilung sind gegeben durch
:<math>
E(X) = \frac{a+b}{1-a},~~\operatorname{Var}(X) = \frac{a+b}{(1-a)^2}.
</math>

Es ist
:<math>
\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)} = \frac{1}{1-a},
</math>
woraus folgt, dass
:<math>
\operatorname{Var}(X) > E(X) ~~\iff a > 0.
</math>
:<math>
\operatorname{Var}(X) = E(X) ~~\iff a = 0.
</math>
:<math>
\operatorname{Var}(X) < E(X) ~~\iff a < 0.
</math>

== Spezialfälle ==

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! style="width:60px"| Verteilung
! style="width:60px"| <math> P[N=k] </math>
! style="width:60px"| <math> a </math>
! style="width:68px"| <math> b </math>
! style="width:45px"| <math> p_0 </math>
! style="width:35px"| <math> W_N(x) </math>
! style="width:35px"| <math> E[N] </math>
! style="width:35px"| <math> \operatorname{Var}(N) </math>
|-
|[[Binomial-Verteilung|Binomial]]
|<math>\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} </math>
|<math> \frac{p}{p-1} </math>
|<math> \frac{p(n+1)}{1-p} </math>
|<math> (1-p)^n </math>
|<math> (px+(1-p))^{n} </math>
|<math> np </math>
|<math> np(1-p) </math>
|-
|[[Poisson-Verteilung|Poisson]]
|<math> e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!} </math>
|<math> 0 </math>
|<math> \lambda </math>
|<math> e^{- \lambda} </math>
|<math> e^{\lambda(s-1)} </math>
|<math> \lambda </math>
|<math> \lambda </math>
|-
|[[Negative Binomialverteilung|Negativ Binomial]]
|<math> \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k </math>
|<math> 1-p </math>
|<math> (1-p)(r-1) </math>
|<math> p^r </math>
|<math> \left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r </math>
|<math> \frac{r(1-p)}{p} </math>
|<math> \frac{r(1-p)}{p^2} </math>
|-
|}

Mit <math>a=0,~b=\lambda,~p_0=e^{-\lambda}</math> erhält man die [[Poisson-Verteilung]]. In diesem Fall ist also <math>\operatorname{Var}(X) = E(X)</math>.

[[Datei:Panjer-Binomial.png|mini|300px|Panjer- und Binomialverteilung]]
Mit <math>a=-\frac{p}{1-p},~b=(n+1) \cdot \frac{p}{1-p},~p_0=(1-p)^n</math> erhält man die [[Binomialverteilung]]. In diesem Fall ist <math>\operatorname{Var}(X) < E(X)</math>.

Mit <math>a=1-p,~b=(r-1) \cdot (1-p),~p_0=p^r</math> erhält man die [[Negative Binomialverteilung]] (Zählung der Misserfolge).
Hier ist nun <math>\operatorname{Var}(X) > E(X)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Panjer-Algorithmus]]

== Literatur ==
* Thomas Mack: ''Schadenversicherungsmathematik''. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X.
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Verteilungsklasse]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Panjer-Verteilung - Versionsgeschichte

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