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2026-05-01T06:57:38Z

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Die '''Panjer-Rekursion''' (oder auch '''Panjer-Algorithmus''') ist ein [[Algorithmus]] um die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] einer speziellen zusammengesetzten [[Zufallsvariable]]
: <math>S := \sum_{i=1}^N X_i := \sum_{n=0}^{\infty} \chi_{\{\omega \in \Omega | N(\omega) = n\}}\sum_{i=1}^n X_i</math>
zu berechnen. Dabei sind <math>N</math> und <math>X_i</math> [[Zufallsvariable]]n, welche ein [[kollektives Modell]] bilden, und <math>\chi</math> bezeichnet die [[Indikatorfunktion]].

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von [[Harry Panjer]] erstmals veröffentlicht.<ref>{{cite journal |first=Harry H. |last=Panjer |date=1981 |title=Recursive evaluation of a family of compound distributions. |journal=ASTIN Bulletin |volume=12 |issue=1 |pages=22–26 |doi=10.1017/S0515036100006796 |url=http://www.casact.org/library/astin/vol12no1/22.pdf |format=PDF |language=en}}</ref> Er wird im [[Versicherungswesen]] häufig benutzt.

== Vorbedingungen ==
Wir sind an der speziellen zusammengesetzten [[Zufallsvariable]] <math>\textstyle S = \sum_{i=1}^N X_i</math> interessiert, wobei <math>N</math> und <math>X_i</math> die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

=== Schadenanzahlverteilung ===
<math>N</math> ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. <math>N \in \mathbb{N}_0</math>. <math>N</math> ist unabhängig von <math>X_i</math>.

Weiterhin muss <math>N</math> ein Element der [[Panjer-Verteilung|Panjer-Klasse]] sein.
Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in <math>\N_0</math>, welche die folgende Relation erfüllen:
:<math>p_k= \left(a + \frac{b}{k}\right) \cdot p_{k-1}</math> mit <math>~~k \ge 1</math> und für <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a+b \ge 0</math>.
Der Wert <math>p_0</math> wird so bestimmt, dass <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty p_k = 1</math> erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper<ref>{{cite journal |author=B. Sundt and W. S. Jewell |date=1981 |title=Further results on recursive evaluation of compound distributions |journal=ASTIN Bulletin |volume=12 |issue=1 |pages=27–39 |doi=10.1017/S0515036100006802 |url=http://www.casact.org/library/astin/vol12no1/27.pdf |format=PDF |language=en}}</ref>, dass nur die [[Binomialverteilung]], die [[Poisson-Verteilung]] und die [[Negative Binomialverteilung]] in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei <math>W_N(x)</math> die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] bezeichnet.

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! style="width:60px"| Verteilung
! style="width:60px"| <math> P[N=k] </math>
! style="width:60px"| <math> a </math>
! style="width:68px"| <math> b </math>
! style="width:45px"| <math> p_0 </math>
! style="width:35px"| <math> W_N(x) </math>
! style="width:35px"| <math> E[N] </math>
! style="width:35px"| <math> Var(N) </math>
|-
|[[Binomialverteilung|Binomial]]
|<math>\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} </math>
|<math> \frac{p}{p-1} </math>
|<math> \frac{p(n+1)}{1-p} </math>
|<math> (1-p)^n </math>
|<math> (px+(1-p))^{n} </math>
|<math> np </math>
|<math> np(1-p) </math>
|-
|[[Poisson-Verteilung|Poisson]]
|<math> e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!} </math>
|<math> 0 </math>
|<math> \lambda </math>
|<math> e^{- \lambda} </math>
|<math> e^{\lambda(x-1)} </math>
|<math> \lambda </math>
|<math> \lambda </math>
|-
|[[Negative Binomialverteilung|Negative Binomial]]
|<math> \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k </math>
|<math> 1-p </math>
|<math> (1-p)(r-1) </math>
|<math> p^r </math>
|<math> \left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r </math>
|<math> \frac{r(1-p)}{p} </math>
|<math> \frac{r(1-p)}{p^2} </math>
|-
|}

=== Einzelschadenverteilung ===
Wir nehmen an, dass <math>X_i</math> identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von <math>N</math> sind. Weiterhin muss <math>X_i</math> auf einem Gitter <math>h \mathbb{N}_0</math> mit Gitterlänge <math>h>0</math> verteilt sein.

: <math>f_k = P[X_i = hk].</math>

== Rekursion ==
Der Algorithmus verwendet eine [[Rekursion]], um die Wahrscheinlichkeiten <math>g_k = P[S = hk] </math> zu berechnen.

Der Startwert ist: <math>g_0 = W_N(f_0)</math>
:mit den Spezialfällen
::<math>g_0 = p_0\cdot \exp(f_0 b) \text{ für } a = 0,</math>
:und
::<math>g_0 = \frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}} \text{ für } a \ne 0.</math>

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:
:<math>g_k = P[S = hk] = \frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.</math>

== Beispiel ==
[[Datei:Expba07.jpg|gerahmt|Abbildung 1]]
Abbildung 1 zeigt die approximierte [[Dichtefunktion]] von <math>\textstyle S \,=\, \sum_{i=1}^N X_i</math> wobei <math>\textstyle N\, \sim\, \operatorname{NegBin}(3{,}5; 0{,}3)</math> und <math>\textstyle X \,\sim \,\operatorname{Frechet}(1{,}7;1)</math>.
Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite <math>h = 0{,}04</math> diskretisiert (siehe auch [[Fréchet-Verteilung]]).

{{Absatz}}

== Siehe auch ==
* [[Panjer-Verteilung]]
* [[Blackwell-Girshick-Gleichung]]

== Literatur ==
* Schmidt, Klaus D.: ''Versicherungsmathematik'', Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Versicherungswesen]]
[[Kategorie:Versicherungsmathematik]]
[[Kategorie:Algorithmus]]

Panjer-Algorithmus - Versionsgeschichte

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