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Eine '''pandigitale Zahl''' (aus griechisch ''παν:'' „jedes“ und ''digital'' im Sinne der Darstellung durch Ziffern) ist eine [[Dezimalzahl|dezimale]] [[ganze Zahl]], die jede der zehn [[Ziffer]]n von 0 bis 9 genau einmal enthält. Die erste Ziffer darf dabei nicht 0 sein.

Pandigitale Zahlen haben weder in der [[Mathematik]] noch in irgendeinem Anwendungsgebiet eine wirkliche Bedeutung. Sie werden zumeist als Kuriosität in mathematischen [[Rätsel]]n nach Art der [[Lateinisches Quadrat|Lateinischen Quadrate]] oder der [[Sudoku]]s verwendet.

Ein Beispiel ist die Zahl 1.748.592.603.

Jede pandigitale Zahl hat die [[Quersumme]] 45 und ist damit durch 9 [[Teilbarkeit|teilbar]]:
: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Es gibt insgesamt 9 · 9! = 3.265.920 pandigitale Zahlen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Stelle (da die Null ausgeschlossen ist), 9 für die zweite (da die erste Ziffer ausgeschlossen ist), 8 für die dritte (die ersten beiden Ziffern dürfen nicht noch einmal verwendet werden), 7 für die vierte usw.

Die ersten pandigitalen Zahlen sind 1.023.456.789, 1.023.456.798, 1.023.456.879, 1.023.456.897, 1.023.456.978 ({{OEIS|A050278}}).

Die größte pandigitale Zahl ist 9.876.543.210.

Es gibt 244.423 Fälle, in denen eine pandigitale Zahl das ganzzahlige Vielfache einer anderen pandigitalen Zahl ist. Dies sind oftmals auch mehrere Multiplikationsketten hintereinander mit gleichen oder unterschiedlichen Faktoren.

* 6760 pandigitale Zahlen starten eine Kette mit mindestens zwei Schritten
* 68 davon starten eine Kette mit gar drei Schritten

Die kleinste [[Primzahl]], die [[Teilermenge|Teiler]] keiner einzigen pandigitalen Zahl ist, ist 111.119. Es gibt allerdings einige größere Primzahlen, die dann wieder Teiler mindestens einer pandigitalen Zahl sind.

Die größte Primzahl, die Teiler einer pandigitalen Zahl ist, lautet 1.097.393.447. Mit 9 multipliziert ergibt sie die pandigitale Zahl 9.876.541.023.

== Multidigital ==

Eine allgemeinere Definition von pandigitalen Zahlen ist die folgende: Eine Zahl oder ein [[Ausdruck (Mathematik)|mathematischer Ausdruck]], der jede Ziffer zu einer Basis <math>n</math> genau einmal enthält. In Frankreich werden solche Zahlen auch ''multidigital'' genannt, die Zahlen zur Basis 10 ''decadigital''.

Zur Basis 4 ist 1320 eine pandigitale Zahl und 2 + 1 = 3 + 0 eine pandigitale Summe.

== Pandigitale Brüche ==
Pandigitale Brüche sind Brüche, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele:
: <math> \frac{1}{2}= \frac{7269}{14538} </math> oder <math>\frac{1}{3}= \frac{5832}{17496}</math> oder <math> \frac{1}{8}= \frac{8174}{65392} </math>

== Pandigitale Formeln ==
Pandigitale Formel sind Formeln, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele:
: <math> (1+9^{-4^{6\cdot7}})^{3^{2^{85}}}</math>
approximiert die Zahl [[Eulersche Zahl|Eulersche Zahl e]] auf 18457734525360901453873570 dezimale Stellen genau.<ref>{{Internetquelle |url=https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0804.html |titel=Problem of the Month (August 2004) |werk=erich-friedman.github.io |sprache=en |abruf=2024-06-04}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.johndcook.com/blog/2014/03/30/amazing-approximation-to-e/ |titel=Amazing approximation to e |werk=johndcook.com |sprache=en |abruf=2024-06-04}}</ref>

== Besondere pandigitale Zahlen ==
3.816.547.290 ist die einzige<ref>{{Internetquelle |url=https://www.worldofnumbers.com/ninedig4.htm |titel=The Nine Digits Page with some Ten Digits (pandigital) exceptions |werk=worldofnumbers.com |hrsg=World!Of Numbers |sprache=en |abruf=2024-06-04}}</ref> pandigitale Zahl, bei der die ersten ''n'' Ziffern (als Zahlen gelesen) jeweils durch ''n'' teilbar sind; die erste Ziffer durch 1, die ersten beiden Ziffern durch 2, die ersten drei Ziffern durch 3 usw.:

{| style="font-family:monospace"
|-
| 3 || → durch  1 teilbar
|-
| 38 || → durch  2 teilbar
|-
| 381 || → durch  3 teilbar
|-
| 3816 || → durch  4 teilbar
|-
| 38165 || → durch  5 teilbar
|-
| 381654 || → durch  6 teilbar
|-
| 3816547 || → durch  7 teilbar
|-
| 38165472 || → durch  8 teilbar
|-
| 381654729 || → durch  9 teilbar
|-
| 3816547290 || → durch 10 teilbar
|}

9.814.072.356 ist die größte pandigitale [[Quadratzahl]].<ref>Gleick: ''Die Information''. 1. Auflage. Redlineverlag, 2011, ISBN 978-3-86881-312-8, S. 366</ref> Ihre [[Quadratwurzel]] ist die [[Zahlenpalindrom|Palindromzahl]] 99066.

Insgesamt gibt es 87 pandigitale Quadratzahlen, jedoch keine einzige pandigitale [[Kubikzahl]] und auch keine pandigitale Zahl mit einer ganzzahligen Wurzel noch höheren Grades.

Es gibt nur 3 pandigitale Zahlen, deren [[Primfaktorzerlegung]]en nur aus Potenzen einstelliger Primzahlen, sprich 2, 3, 5 und 7, bestehen. Jene sind

* 3.891.240.675 = 33 * 52 * 78
* 6.195.732.480 = 213 * 32 * 5 * 75
* 9.487.215.360 = 28 * 32 * 5 * 77

Für jede Zahl ''n'' lassen sich diejenigen pandigitalen Zahlen bestimmen, in deren [[Primfaktorzerlegung]]en die höchste [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] der jeweiligen Zahl als ''nk'' vorkommt, während durch ''nk+1'' keine pandigitale Zahl teilbar ist. Es gibt z. B. drei pandigitale Zahlen, die durch 221 teilbar sind, jedoch keine, die durch 222 teilbar ist, nämlich

* 3.076.521.984 = 221 * 32 * 163
* 3.718.250.496 = 221 * 32 * 197
* 6.398.410.752 = 221 * 33 * 113

Bezogen auf die Zahl 3 gibt es dagegen nur eine pandigitale Zahl, die durch 315 teilbar ist, 316 ist dagegen nicht mehr vertreten:

* 7.246.198.035 = 315 * 5 * 101
Die Zahl 4 ist als Potenz von 2 mit den gleichen Zahlen vertreten wie oben genannt sowie einer zusätzlichen pandigitalen Zahl, die durch 410 = 220 teilbar ist:

* 9.805.234.176 = 220 * 32 * 1039

Bei der Zahl 5 ist es – analog zu 3 – nur ein Kandidat, teilbar durch 59, 510 kommt nicht mehr vor:

* 9.123.046.875 = 33 * 59 * 173

So lässt sich das für jede beliebige Zahl fortführen.

Die Zahl 6 ist beispielsweise gar mit 13 pandigitalen Zahlen vertreten, die durch 68 teilbar sind, während 69 nicht mehr als Teiler einer pandigitalen Zahl vorkommt.

Bei der Zahl 7 ist 78 die höchste Potenz, vertreten durch die bereits oben genannte Zahl:

* 3.891.240.675 = 33 * 52 * 78
** Diese ist auffällig durch die Tatsache, dass sie sich ansonsten nur aus 3er- und 5er-Potenzen zusammensetzt.

Die Zahl 8 ist als Potenz der Zahl 2 mit denselben Kandidaten vertreten, die durch 87 = 221 teilbar sind und die Zahl 9 als Potenz der Zahl 3 mit 8 Vertretern, die durch 97 = 314 teilbar sind, einer davon ist der oben genannte, auch durch 315 teilbare Vertreter

== Siehe auch ==
* [[Liste besonderer Zahlen]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=PandigitalNumber |title=Pandigital Number}}
* {{MathWorld |id=PandigitalFraction |title=Pandigital Fraction}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]

Pandigitale Zahl - Versionsgeschichte

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