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Als '''Paarmenge''', '''Zweiermenge''', '''ungeordnetes Paar''' (zur Abgrenzung gegen ein [[geordnetes Paar]]) oder einfach nur '''Paar''' bezeichnet man in der [[Mengenlehre]] die durch <math>\{a,b\}</math> symbolisierte Menge, die genau die [[Mathematisches Objekt|Objekte]] <math>a</math> und <math>b</math> als [[Element (Mathematik)|Elemente]] enthält. Es gilt also:
:<math>z \in \{a,b\} \; \iff\; z=a \lor z=b</math>.

In der älteren, [[Naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]], die noch nicht [[Axiomatisierung|axiomatisiert]] war, war die Existenz einer durch [[Extensionalitätsprinzip|extensionale]] Aufzählung beschriebenen Menge intuitiv gerechtfertigt. In axiomatischen Mengenlehren wird seit der [[Zermelo-Mengenlehre]] von 1907 dagegen die Existenz von Paarmengen durch ein Paarmengenaxiom gefordert. Dieses Axiom wurde in alle wichtigen Mengenlehren übernommen, beispielsweise in die [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZF oder die [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] NBG. Dieses '''Paarmengenaxiom''' lautet in verbaler Präzisierung: Für alle ''A'' und ''B'' gibt es eine Menge ''C'', die genau ''A'' und ''B'' als Elemente hat. In prädikatenlogischer Präzisierung lautet es:
: <math>\forall A \colon \forall B \colon \exist C\colon \forall D\colon (D\in C \iff (D=A \lor D=B))</math>

Das Paarmengenaxiom ist in ZF und NBG allerdings ein redundantes Axiom, denn dort kann es aus den anderen Axiomen folgendermaßen abgeleitet werden: Man nimmt die leere Menge per [[Leermengenaxiom]], bildet zweimal die Potenzmenge per [[Potenzmengenaxiom]] und erhält so die spezielle Paarmenge <math>\{\emptyset,\{\emptyset\}\}</math>, deren Elemente per [[Ersetzungsaxiom]] durch beliebige andere Elemente ersetzt werden können. In der älteren Zermelo-Mengenlehre ohne Fraenkels Ersetzungsaxiom von 1921 war diese Ableitung noch unmöglich.

Die im Paarmengenaxiom geforderte Menge ist aufgrund des [[Extensionalitätsaxiom]]s eindeutig und wird in der oben angegebenen Form notiert. Über die Art der Elemente sagt das Paarmengenaxiom nichts aus. Die Objekte können variieren, je nach der gewählten Mengenlehre. Im Rahmen von ZF und NBG, die beide eine reine Mengenlehre darstellen, sind es ausschließlich Mengen, in einer Mengenlehre mit [[Urelement]]en können es auch solche sein, etwa in [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#ZF mit Urelementen|ZFU]].

Ein zusätzliches Axiom für die [[einelementige Menge]] oder Einermenge ist nicht erforderlich. Denn die Menge <math>\{a,b\}</math> muss nicht unbedingt zwei ''verschiedene'' Elemente enthalten. Im Fall <math>a=b</math> liegt nur eine einelementige Menge vor, da Elemente in Mengen nicht doppelt gezählt werden. Ebenso ist auch kein Axiom für größere durch Aufzählung gewonnene Mengen nötig, denn man gewinnt größere endliche Mengen sukzessive über das [[Vereinigungsaxiom]]. Alle diese Mengen mit extensionaler Aufzählung der Elemente werden also definiert:
:<math>\{a\}:=\{a,a\}</math>,

:<math>\{a,b,c\} := \{a,b\} \cup \{c\}</math>,

:<math>\{a,b,c,d\}:= \{a,b,c\}\cup\{d\}</math>
und so weiter.

== Andere Bedeutung ==
Manchmal wird der Begriff „Paarmenge“ auch im Sinn einer ''Menge von Paaren'' auch für das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] zweier Mengen verwendet.

== Literatur ==

* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo.'' 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

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[[Kategorie:Mengenlehre]]

Paarmenge - Versionsgeschichte

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