imported>Bert Niehaus: /* p-Norm mit 0 */

2026-01-21T16:51:04Z

p-Norm mit 0

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{{SEITENTITEL:''p''-Norm}}
[[Datei:Vector-p-Norms qtl1.svg|mini|Einheitskreise verschiedener ''p''-Normen in zwei Dimensionen]]

Die '''''p''-Normen''' sind in der [[Mathematik]] eine Klasse von [[Vektornorm]]en, die für [[reelle Zahl]]en <math>p \geq 1</math> definiert sind. Wichtige Spezialfälle sind dabei die [[Summennorm]] <math>(p=1)</math>, die [[euklidische Norm]] <math>(p=2)</math> und als Grenzwert für <math>p \rightarrow \infty</math> die [[Maximumsnorm]]. Alle <math>p</math>-Normen sind zueinander [[Äquivalente Normen|äquivalent]], für wachsendes <math>p</math> [[Monoton fallende Funktion|monoton fallend]] und erfüllen die [[Minkowski-Ungleichung]] sowie die [[Hölder-Ungleichung]]. Die Mengen konstanter <math>p</math>-Norm ([[Einheitssphäre]]n) besitzen allgemein die Form von [[Superellipse|Superellipsoiden]] oder Subellipsoiden. Die <math>p</math>-Normen bilden den Grundbaustein für Normen weiterer [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]], wie [[Folge (Mathematik)|Folgen]], [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] und [[Operator (Mathematik)|Operatoren]].

== Definition ==

Die <math>p</math>-Norm eines [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Vektor]]s <math>x = (x_1, \ldots ,x_n) \in {\mathbb K}^n</math> mit <math>{\mathbb K}=\R</math> oder <math>{\mathbb K}=\Complex</math> ist für reelles <math>1 \leq p < \infty</math> durch

: <math>\| x \|_p := \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^p\right)^{1/p}</math>

definiert, wobei <math>| x_i |</math> der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Komponente <math>x_i</math> ist. Für die Definition ist es dabei unerheblich, ob es sich bei <math>x</math> um einen [[Matrix (Mathematik)#Elemente der Matrix|Zeilen- oder einen Spaltenvektor]] handelt. Im Fall <math>n=1</math> entsprechen alle <math>p</math>-Normen der [[Betragsfunktion#Betragsnorm|Betragsnorm]] einer reellen oder komplexen Zahl.

Die Menge der Vektoren mit <math>p</math>-Norm eins wird [[Einheitssphäre]] der Norm genannt, wobei nur im Fall <math>p=2</math> die Einheitssphäre tatsächlich der aus der [[Geometrie]] bekannten [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] entspricht. Die Einheitssphären der <math>p</math>-Normen haben allgemein in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] die Form von [[Superellipse]]n <math>(2 oder Subellipsen <math>(1 und in drei und höheren Dimensionen die Form von [[Ellipsoid|Superellipsoiden]] beziehungsweise Subellipsoiden.

== Wichtige Spezialfälle ==
[[Datei:Vector norms.svg|mini|hochkant=0.7|Die Einheitskreise der Summennorm, der euklidischen Norm und der Maximumsnorm in zwei Dimensionen]]

=== Summennorm ===
{{Hauptartikel|Summennorm}}

Die 1-Norm wird auch Betragssummennorm oder kurz Summennorm genannt und ist durch

: <math>\| x \|_1 = \sum_{i=1}^n | x_i |</math>

definiert. Sie entspricht der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]], in drei Dimensionen die Form eines [[Oktaeder]]s und in allgemeinen Dimensionen die Form eines [[Kreuzpolytop]]s.

=== Euklidische Norm ===
{{Hauptartikel|Euklidische Norm}}

Die 2-Norm ist die euklidische Norm und durch

: <math>\| x \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}</math>

definiert. Sie entspricht der Wurzel aus der Summe der [[Betragsquadrat]]e der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]], in drei Dimensionen die Form einer [[Kugel]]oberfläche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die euklidische Norm die anschauliche [[Länge (Mathematik)|Länge]] eines Vektors in der Ebene oder im Raum.

=== Maximumsnorm ===
{{Hauptartikel|Maximumsnorm}}

Für den Grenzwert <math>p \rightarrow \infty</math> erhält man die ∞-Norm (Unendlich-Norm), die oft auch zu den <math>p</math>-Normen gezählt wird. Sie wird auch Maximumsnorm oder Tschebyschow-Norm genannt und ist durch

: <math>\| x \|_\infty = \max_{i=1, \ldots , n} |x_i|</math>

definiert. Sie entspricht damit dem Betrag der betragsgrößten Komponente des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]], in drei Dimensionen die Form eines [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] und in allgemeinen Dimensionen die Form eines [[Hyperwürfel]]s.

Dass die Maximumsnorm tatsächlich als Grenzwert der <math>p</math>-Normen für <math>p \rightarrow \infty</math> entsteht, folgt für <math>x \neq 0</math> aus

: <math>\lim_{p \rightarrow \infty} \| x \|_p = \lim_{p \rightarrow \infty} \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^p\right)^{1/p} \!\!\!\!\! = \| x \|_\infty \cdot \lim_{p \rightarrow \infty} \left(\sum_{i=1}^n \left( \frac{| x_i |}{\| x \|_\infty} \right)^p \right)^{1/p} \!\!\!\!\! = \| x \|_\infty \cdot \lim_{p \rightarrow \infty} S^{1/p} = \| x \|_\infty</math>,

da für die Summe <math>1 \leq S \leq n</math> gilt und somit der Grenzwert von <math>\sqrt[p]{S}</math> für <math>p \rightarrow \infty</math> gleich Eins ist. Die untere Schranke von <math>S</math> wird dabei für einen Vektor angenommen, dessen Komponenten bis auf eine alle gleich Null sind, und die obere Schranke <math>n</math> für einen Vektor, dessen Komponenten alle den gleichen Betrag besitzen. Durch Weglassen des Limes ist so auch ersichtlich, dass die Maximumsnorm niemals größer als die übrigen <math>p</math>-Normen ist.

=== p-Norm mit <math>0 ===
[[File:P-Norm animation of unit circle.gif|thumb|<math>p</math>-Norm mit Visualisierung des zugehörigen Einheitskreises in Abhängigkeit von <math>p</math>]]
Für <math>0 erzeugt die <math>p</math>-Norm keine [[konvexe Menge|konvexe]] Nullumgebung mehr. Dann muss man die die absolute Homogenität der <math>p</math>-Norm durch die absolute <math>p</math>-Homogenität der <math>p</math>-Norm ersetzen. In einem Vektorraum über einem Körper <math>\mathbb{K}</math> gilt dann:
:<math>
\underset{v\in V}{\forall}
\,\,\,\,\,\,
\underset{\lambda\in \mathbb{K}}{\forall}
\,\,\,\,\,\,
\|\lambda \cdot v\|_p = |\lambda| \cdot \|v\|_p \mbox{ mit } 0 
In der Animation ist <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> und <math>V=\mathbb{R}^2</math>. Ab <math>p\geq 1</math> ist der Einheitskreis [[konvexe Menge|konvex]] und die zuhörige <math>p</math>-Norm ist absolut homogen.
:<math>
\underset{v\in V}{\forall}
\,\,\,\,\,\,
\underset{\lambda\in \mathbb{K}}{\forall}
\,\,\,\,\,\,
\|\lambda \cdot v\|_p = |\lambda|^p \cdot \|v\|_p \mbox{ mit } p\geq 1
</math>
Die [[Dreiecksungleichung]] gilt auch für die <math>p</math>-Norm mit <math>0 :
:<math>
\underset{v,w \in V}{\forall}
\,\,\,\,\,\,
\| v + w \|_p \leq \|v\|_p + \|w\|_p
</math>

== Beispiele ==
'''Reeller Vektor'''

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des reellen Vektors <math>x = (3,-2,6)</math> sind jeweils gegeben als

: <math>
\begin{align}
\| x \|_1 \,\, & = | 3 | + | {-2} | + | 6 | = 11 \\
\| x \|_2 \,\, & = \sqrt{|3|^2 + |{-2}|^2 + |6|^2} = \sqrt{49} = 7 \\
\| x \|_3 \,\, & = \sqrt[3]{| 3 |^3 + | {-2} |^3 + | 6 |^3} = \sqrt[3]{ 251 } \approx 6{,}308 \\
\| x \|_\infty & = \max\{ |3|, |{-2}|, |6| \} = 6
\end{align}
</math>

'''Komplexer Vektor'''

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des komplexen Vektors <math>x = (3-4i, {-2i})</math> sind jeweils gegeben als

: <math>
\begin{align}
\| x \|_1 \,\, & = |3-4i| + |{-2i}| = 5 + 2 = 7 \\
\| x \|_2 \,\, & = \sqrt{ |3-4i|^2 + |{-2i}|^2 } = \sqrt{ 5^2 + 2^2 } = \sqrt{29} \approx 5{,}385 \\
\| x \|_3 \,\, & = \sqrt[3]{|3-4i|^3 + |{-2i}|^3} = \sqrt[3]{ 5^3 + 2^3} = \sqrt[3]{ 133 } \approx 5{,}104 \\
\| x \|_\infty & = \max\{ |3-4i|, |{-2i}| \} = \max\{ 5, 2 \} = 5
\end{align}
</math>

== Eigenschaften ==
=== Normaxiome ===

Alle <math>p</math>-Normen inklusive der Maximumsnorm erfüllen die drei [[Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]] [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]]. Die Definitheit folgt aus der Positivität der [[Potenzfunktion]]en für positive Argumente und der Eindeutigkeit der [[Nullstelle]] an der Stelle <math>0</math>, womit

: <math>\| x \|_p = 0 \; \Leftrightarrow \; \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^p\right)^{1/p} \!\!\!\!\! = 0 \; \Rightarrow \; \sum_{i=1}^n | x_i |^p = 0 \; \Rightarrow \; x = ( 0, \ldots , 0) = 0</math>

gilt. Die Homogenität folgt aus der Homogenität der [[Betragsfunktion#Betragsnorm|Betragsnorm]] über

: <math>\| \alpha \, x \|_p = \left( \sum_{i=1}^n | \alpha \, x_i |^p \right)^{1/p} \!\!\!\!\! = \left( \sum_{i=1}^n | \alpha |^p \, | x_i |^p \right)^{1/p} \!\!\!\!\! = | \alpha | \, \left( \sum_{i=1}^n | x_i |^p \right)^{1/p} \!\!\!\!\! = | \alpha | \, \| x \|_p</math>.

Die [[Dreiecksungleichung]] für <math>p</math>-Normen ist gerade die [[Minkowski-Ungleichung#Formulierung für Folgen|Minkowski-Ungleichung]]

: <math>\| x + y \|_p \leq \| x \|_p + \| y \|_p</math>,

die wiederum auf der folgenden [[Hölder-Ungleichung]] basiert.

=== Hölder-Ungleichung ===
{{Hauptartikel|Hölder-Ungleichung}}

Sind <math>1 \leq p, q \leq \infty</math> zueinander konjugierte Exponenten, das heißt <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> mit der Konvention <math>\tfrac{1}{\infty} = 0</math>, dann gilt für die entsprechenden <math>p</math>-Normen

: <math>\sum_{i=1}^n | x_i \, y_i | \leq \| x \|_p \cdot \| y \|_q</math>,

was wiederum aus der [[Youngsche Ungleichung (Produkt)|Youngschen Ungleichung]] folgt. Für den Fall <math>p=q=2</math> entspricht die Hölder-Ungleichung der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]].

=== Monotonie ===

Die <math>p</math>-Normen sind für einen festen Vektor <math>x</math> und für wachsendes <math>p</math> [[Monoton fallende Funktion|monoton fallend]], das heißt für <math>1 \leq p < r \leq \infty</math> gilt

: <math>\| x \|_r \leq \| x \|_p</math>.

Diese Eigenschaft folgt für <math>r < \infty</math> und <math>x \neq 0</math> aus der Monotonie der Potenzfunktionen <math>z^r \leq z^p</math> für <math>z \in [0,1]</math> durch

: <math>\| x \|_r = \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^r \right)^{1/r} \!\!\!\!\! = \| x \|_p \left(\sum_{i=1}^n \left( \frac{| x_i |}{\| x \|_p}\right)^r \right)^{1/r} \!\!\!\!\! \leq \| x \|_p \left(\sum_{i=1}^n \left( \frac{| x_i |}{\| x \|_p}\right)^p \right)^{1/r} \!\!\!\!\! = \| x \|_p \left( \frac{\| x \|^p_p}{\| x \|^p_p} \right)^{1/r} \!\!\!\!\! = \| x \|_p</math>,

da der Bruch jeweils nur einen Wert zwischen Null und Eins annehmen kann. Für einen gegebenen Vektor <math>x</math> ist damit die Summennorm die größte und die Maximumsnorm die kleinste <math>p</math>-Norm (siehe auch die obigen Beispiele). Gleichheit über alle <math>p</math>-Normen gilt genau dann, wenn der Vektor höchstens eine Komponente ungleich Null besitzt, also beispielsweise der [[Nullvektor]] oder der <math>i</math>-te [[Einheitsvektor]] ist. Gleichbedeutend mit der Monotonie ist, dass sich die Einheitskugeln der <math>p</math>-Normen für wachsendes <math>p</math> gegenseitig enthalten, das heißt für <math>p < r</math> gilt

: <math>\{ x \colon \| x \|_p \leq 1\} \subset \{ x \colon \| x \|_r \leq 1\}</math>.

=== Äquivalenz ===

Alle <math>p</math>-Normen sind zueinander [[Norm (Mathematik)#Äquivalenz von Normen|äquivalent]], das heißt zu einem beliebigen Paar von <math>p</math>-Normen <math>\| \cdot \|_p, \| \cdot \|_r</math> mit <math>1 \leq p \leq r \leq \infty</math> gibt es zwei positive Konstanten <math>c_1</math> und <math>c_2</math>, sodass für alle <math>x \in V</math>

: <math>c_1 \| x \|_r \leq \| x \|_p \leq c_2 \| x \|_r</math>

gilt. Die untere Konstante <math>c_1</math> ist aufgrund der Monotonie immer gleich Eins. Die obere Konstante <math>c_2</math> hängt von den gewählten Normen ab und wird für einen Vektor mit betragsmäßig gleichen Komponenten (etwa den [[Einsvektor]]) angenommen. Die Hölder-Ungleichung ergibt nämlich bei Wahl der Hölder-Exponenten <math>p'=\tfrac{r}{p}</math> und <math>q'=\tfrac{1}{1-p/r}</math> für <math>p,r < \infty</math>

: <math>\| x \|_p = \left( \sum_{i=1}^n | x_i |^p \cdot 1 \right)^{1/p} \!\!\!\! \leq \left( \! \left( \sum_{i=1}^n \left(| x_i |^p \right)^{r/p} \right)^{p/r} \!\!\!\! \cdot \left( \sum_{i=1}^n 1^{1/(1-p/r)} \right)^{1-p/r} \right)^{1/p} \!\!\!\!\!\! = n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{r}} \, \| x \|_r</math>.

Mit der Konvention <math>\tfrac{1}{\infty} = 0</math> im Exponenten bleibt diese Abschätzung auch für <math>p = \infty</math> oder <math>r = \infty</math> gültig. Die Äquivalenzkonstante <math>c_2</math> der <math>p</math>-Normen ist für <math>p \leq r</math> in der folgenden Tabelle noch einmal zusammengefasst dargestellt:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- style="height:3em;"
!style="width:8em;"|
!style="width:8em;"| <math>1</math>-Norm
!style="width:8em;"| <math>r</math>-Norm
!style="width:8em;"| <math>\infty</math>-Norm
|- style="height:3em;"
! <math>1</math>-Norm
| <math>1</math> || <math>n^{1-\frac{1}{r}}</math> || <math>n</math>
|- style="height:3em;"
! <math>p</math>-Norm
| <math>1</math> || <math>n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{r}}</math> || <math>n^{\frac{1}{p}}</math>
|- style="height:3em;"
! <math>\infty</math>-Norm
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
|}

Hierbei ist beispielsweise der Eintrag in der ersten Zeile und zweiten Spalte für <math>r=2</math> als

: <math>\| x \|_1 \leq n^{1-\frac{1}{2}} \cdot \| x \|_2 = \sqrt{n} \cdot \| x \|_2</math>

zu lesen. Die <math>p</math>-Normen unterscheiden sich für einen festen Vektor <math>x</math> somit maximal um den Faktor <math>n</math>. Die optimalen Konstanten in solchen Normabschätzungen führen zur Berechnung von Abständen im [[Minkowski-Kompaktum]].

=== Absolutheit ===

Alle <math>p</math>-Normen inklusive der Maximumsnorm sind absolut, das heißt, für alle Vektoren <math>x \in {\mathbb K}^n</math> gilt

: <math>\| x \|_p = \| | x | \|_p</math>,

wobei <math>| x | = ( |x_1| , \ldots , |x_n|)</math> den komponentenweisen Betrag eines Vektors darstellt.

=== Komponentenweise Monotonie ===

Aufgrund der Absolutheit sind die <math>p</math>-Normen für festes <math>p</math> mit <math>1 \leq p \leq \infty</math> im Betrag jeder Komponente eines Vektors <math>x \in {\mathbb K}^n</math> [[Monoton wachsende Funktion|monoton wachsend]], das heißt, es gilt

: <math>\| x \|_p \leq \| y \|_p</math>

für alle <math>x, y \in {\mathbb K}^n</math> mit <math>| x_i | \leq | y_i |</math> für <math>i=1, \ldots, n</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Friedrich L. Bauer]], [[Josef Stoer]], Christoph Witzgall |Titel=Absolute and monotonic norms |Sammelwerk=Numerische Mathematik |Band=3 |Nummer=1 |Datum=1961 |Seiten=257–264}}</ref> Für <math>1\le p<\infty</math> gilt sogar strenge Monotonie

: <math>\| x \|_p < \| y \|_p</math>

für alle <math>x,y\in {\mathbb K}^n</math> mit <math>|x_i| \leq |y_i|</math> für <math>i=1, \ldots, n</math> und <math>|x_k| < |y_k|</math> für mindestens ein <math>k \in \{ 1, \ldots, n \}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Matthias Ehrgott |Titel=Multicriteria Optimization |Auflage=2. |Verlag=Springer |Datum=2005 |Seiten=111–113}}</ref>

== Verallgemeinerungen ==
[[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|mini|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]]
=== Fall ''p'' < 1 ===
[[Datei:Astroid.svg|mini|Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist in zwei Dimensionen eine [[Astroide]].]]

Die für <math>0 definierte Abbildung

: <math>\| x \|_p = \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^p\right)^{1/p}</math>

ist keine Norm, da die resultierende Einheitskugel nicht mehr [[Konvexe Menge|konvex]] ist und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird. Diese Abbildungen sind lediglich [[Norm (Mathematik)#Quasinormen|Quasinormen]], wobei die Dreiecksungleichung durch die schwächere Ungleichung <math>\| x + y \| \leq k \cdot \left( \| x \| + \| y \| \right)</math> für eine reelle Konstante <math>k>1</math> ersetzt wird.

=== ''ℓp''-Normen ===
{{Hauptartikel|Folgenraum}}

Die <math>\ell^p</math>-Normen sind die Verallgemeinerung der <math>p</math>-Normen auf [[Folgenraum|Folgenräume]], wobei lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird. Die <math>\ell^p</math>-Norm einer in <math>p</math>-ter Potenz betragsweise summierbaren [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_n)_n \in {\mathbb K}^{\N}</math> ist dann für <math>1 \leq p < \infty</math> gegeben als

: <math>\|(a_n)\|_{\ell^p} = \left( \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p \right)^{1/p}</math>.

Für den Grenzwert <math>p \rightarrow \infty</math> ergibt sich der Raum der beschränkten Folgen mit der [[Supremumsnorm]].

=== ''Lp''-Normen ===
{{Hauptartikel|Lp-Raum}}

Weiter können die <math>p</math>-Normen auf [[Funktionenraum|Funktionenräume]] verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst werden die <math>{\mathcal L}^p</math>-Normen einer in <math>p</math>-ter Potenz auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>\Omega</math> [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbaren]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon \Omega \rightarrow {\mathbb K}</math> für <math>1 \leq p < \infty</math> als

: <math>\| f \|_{{\mathcal L}^p(\Omega)} = \left( \int_\Omega | f(x) |^p \, dx \right)^{1/p}</math>,

definiert, wobei im Vergleich zu den <math>\ell^p</math>-Normen lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Diese Normen sind zunächst nur [[Halbnorm]]en, da nicht nur die [[Nullfunktion]], sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man hier die Menge der [[Äquivalenzklasse]]n von Funktionen <math>[ f ] \in L^p(\Omega)</math>, die fast überall gleich sind, und erhält auf diesen [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räumen]] die <math>L^p</math>-Normen durch

: <math>\| \, [ f ] \, \|_{L^p(\Omega)} = \| f \|_{{\mathcal L}^p(\Omega)}</math>.

Für den Grenzwert <math>p \rightarrow \infty</math> ergibt sich so der Raum der [[Wesentliches Supremum|wesentlich beschränkten]] Funktionen mit der [[Norm (Mathematik)#Wesentliche Supremumsnorm|wesentlichen Supremumsnorm]]. Die <math>L^p</math>-Normen und -Räume lassen sich von dem [[Lebesgue-Maß]] auch auf allgemeine [[Maß (Mathematik)|Maße]] verallgemeinern und von reell- oder [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] auf Banachraum-wertige Funktionen, indem der Betrag durch die entsprechende Norm ersetzt wird.

=== Matrixnormen ===
{{Hauptartikel|Matrixnorm}}

Indem eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A = (a_{ij}) \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> einfach als entsprechend langer Vektor aus <math>{\mathbb K}^{m \cdot n}</math> angesehen wird, können [[Matrixnorm]]en direkt über die <math>p</math>-Normen definiert werden. Beispiele für solche Matrixnormen sind die auf der 2-Norm basierende [[Frobeniusnorm]] und die auf der ∞-Norm basierende [[Gesamtnorm]]. Matrixnormen werden jedoch meist von einer <math>p</math>-Norm als [[Natürliche Matrixnorm|induzierte Matrixnorm]]

: <math>\| A \|_p = \max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|_p}{\| x \|_p} = \max_{\| x \|_p = 1}\| Ax \|_p</math>.

abgeleitet. Beispiele für so definierte Matrixnormen sind die auf der 1-Norm basierende [[Spaltensummennorm]], die auf der 2-Norm basierende [[Spektralnorm]] und die auf der ∞-Norm basierende [[Zeilensummennorm]]. Eine weitere Möglichkeit Matrixnormen zu definieren besteht darin, die <math>p</math>-Norm des Vektors der [[Singulärwertzerlegung|Singulärwerte]] der Matrix zu betrachten, wie dies bei den [[Matrixnorm#Schatten-Normen|Schatten-<math>p</math>-Normen]] der Fall ist. Auf analoge Art und Weise können auch Normen für allgemeinere [[Linearer Operator|lineare Operatoren]] definiert werden.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=Hans Wilhelm Alt
|Titel=Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung
|Auflage=5.
|Verlag=Springer-Verlag
|Datum=2008
|ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gene Golub]], Charles van Loan
|Titel=Matrix Computations
|Auflage=3.
|Verlag=Johns Hopkins University Press
|Datum=1996
|ISBN=978-0-8018-5414-9}}
* {{Literatur
|Autor=Roger Horn, Charles R. Johnson
|Titel=Matrix Analysis
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=1990
|ISBN=978-0-521-38632-6}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=VectorNorm|title=Vector Norm}}
* {{PlanetMath|id=VectorPnorm|title=Vector p-norm|author=Andrea Ambrosio, Logan Hanks, Pedro Sanchez}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

P-Norm - Versionsgeschichte

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